豎向地震動(dòng)作用下的高墩橋梁P-△效應(yīng)分析

楊濤

(中鐵第五勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，北京102600)

高墩在墩頂縱向水平力作用下產(chǎn)生水平變位，使作用在墩頂上的上部結(jié)構(gòu)的重力荷載以及墩身自身的重力荷載產(chǎn)生了偏心，在橋墩內(nèi)將引起二次變力和變形，即P-△效應(yīng)。隨著我國(guó)橋梁建設(shè)的不斷發(fā)展，大跨、高墩的體系已很普遍，實(shí)際觀測(cè)到的豎向地震動(dòng)峰值有超過1 g的。這樣豎向地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響并不再是無(wú)足輕重，特別是P-△效應(yīng)問題比較突出。由于豎向地震作用的影響，這種P-△效應(yīng)將加大，而使高墩進(jìn)一步處于不利狀態(tài)。因此，高墩在進(jìn)行結(jié)構(gòu)性能分析時(shí)應(yīng)該計(jì)算P-△效應(yīng)引起的內(nèi)力和變形。

1 工程背景

該橋位于乾縣縣城西北，為西(安)-平(涼)線上重點(diǎn)橋梁，設(shè)計(jì)時(shí)速120 km/h。主橋采用(54+3×90+54)m預(yù)應(yīng)力混凝土剛構(gòu)連續(xù)組合梁。橋址處抗震設(shè)防烈度為8度，地震動(dòng)峰值加速度為0.1 g，反應(yīng)譜特征周期0.40 s。

橋梁采用變高度、變截面箱梁。1～4號(hào)墩均采用矩形空心墩，其中1、4號(hào)墩為活動(dòng)墩，2、3號(hào)墩為固定墩。

1號(hào)墩墩高68 m，墩身及頂帽采用C35混凝土，墩頂設(shè)2.5 m實(shí)體段，墩底設(shè)3 m實(shí)體段，縱向?yàn)橹逼?，橫向外側(cè)自頂帽下緣以下2.5 m處變坡，外坡30∶1，內(nèi)坡40∶1，縱向?qū)挒? m，橫向?qū)挒?～11.7 m，矩形墩壁縱向厚度為0.7 m，橫向厚度為0.8～1.25 m。

2號(hào)墩墩高67.5 m，梁底下5 m范圍內(nèi)墩身采用C50混凝土，其余部分采用C40混凝土，墩頂設(shè)2 m實(shí)體段，墩底設(shè)4 m實(shí)體段，橋墩縱向?yàn)橹逼?，橫向外側(cè)箱梁底面以下2 m處變坡，外坡30∶1，內(nèi)坡40∶1，縱向?qū)挒? m，橫向?qū)挒?.4～11.76 m，矩形墩壁縱向厚度為0.7 m，橫向厚度為0.8～1.24 m。

3號(hào)墩墩高66 m，梁底下5 m范圍內(nèi)墩身采用C50混凝土，其余部分采用C40混凝土，墩頂設(shè)2 m實(shí)體段，墩底設(shè)4 m實(shí)體段，橋墩縱向?yàn)橹逼?，橫向外側(cè)箱梁底面以下2 m處變坡，外坡30∶1，內(nèi)坡40∶1，縱向?qū)挒? m，橫向?qū)挒?.4～11.66 m，矩形墩壁縱向厚度為0.7 m，橫向厚度為0.8～1.24 m。

4號(hào)墩墩高21 m，墩身及頂帽采用C35混凝土，墩頂設(shè)2.5 m實(shí)體段，墩底設(shè)3 m實(shí)體段，縱向?yàn)橹逼?，橫向外側(cè)自頂帽下緣以下2.5 m處變坡，外坡45∶1，內(nèi)坡65∶1，縱向?qū)挒? m，橫向?qū)挒?.4～11.35m，矩形墩壁縱向厚度為0.6 m，橫向厚度為0.65～0.69 m。

主橋總體布置圖如圖1所示。

圖1 主橋總體布置圖(單位：cm)

2 動(dòng)力計(jì)算模型

2.1 計(jì)算原理

P-△效應(yīng)問題是一種幾何非線性問題，在單質(zhì)點(diǎn)體系中，當(dāng)考慮到P-△影響時(shí)，相對(duì)位移u產(chǎn)生的次生效應(yīng)為一作用于支承點(diǎn)的彎矩它相當(dāng)于在水平方向的一個(gè)附加力：

式中：F(t)為豎向力;M為單質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量;v¨g(t)為豎向地震動(dòng)加速度;v¨(t)為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)豎向加速度反應(yīng)。由于考慮到了水平與垂直兩個(gè)運(yùn)動(dòng)分量的運(yùn)動(dòng)，故有兩個(gè)自由度，所以運(yùn)動(dòng)方程為：

式中cx、cy與kx、ky分別為體系的水平與豎向的阻尼系數(shù)和剛度。

式中：u(t)、v(t)分別為體系在y處的質(zhì)點(diǎn)在x與y方向的相對(duì)位移;u¨g、v¨g分別為x與y方向的地震動(dòng)加速度。上式左邊第二項(xiàng)即表示P-△效應(yīng)。其分析流程如圖2所示。

圖2 P-△分析的流程

2.2 計(jì)算模型

橋梁結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布，以及邊界連接條件決定了結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力特性。因此，在特殊橋梁的地震反應(yīng)分析中，為了真實(shí)地模擬橋梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，所建立的計(jì)算模型必須如實(shí)地反映結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布，以及邊界連接條件。

本文采用橋梁專用有限元軟件MIDAS/Civil建立模型。在對(duì)該橋建立模型時(shí)，主要采用了梁?jiǎn)卧?、剛性單元、主從單元、彈簧單元，主梁、橋墩及承臺(tái)均采用梁?jiǎn)卧M，剛構(gòu)墩與主梁之間的連接采用剛性單元模擬，支座采用主從單元模擬。

為考慮地基變形的影響，分別建立了兩個(gè)不同的模型。

模型A：橋墩底部加水平和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧;

模型B：橋墩底部直接固結(jié)。

計(jì)算模型如圖3所示。

圖3 全橋有限元模型

3 自振特性計(jì)算

在以上模型的基礎(chǔ)上，分別計(jì)算了該橋在兩種計(jì)算模型下的自振特性，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)計(jì)算。模型A、模型B的前十階自振頻率見表1。

表1 自振頻率結(jié)果對(duì)比表Hz

對(duì)比表1的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，模型A的自振頻率比模型B的小，這主要是因?yàn)槟Ｐ虯中引入了彈簧單元模擬地基作用的影響，模型B中邊界條件為各墩墩底直接固結(jié)，所以計(jì)算出的自振頻率模型A較小。模型A將地基變形的影響用位于橋墩底部的水平和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧來(lái)模擬是合理的，因此本文以模型A進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)計(jì)算。圖4給出了前4階振型的示意圖。

圖4 前4階振型示意圖

4 P-△效應(yīng)分析

為了便于分析豎向地震作用下考慮P-△效應(yīng)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響，本文在對(duì)該橋進(jìn)行非線性動(dòng)力時(shí)程分析時(shí)采用三向輸入，即在兩個(gè)相互垂直的水平方向(橫橋向和縱橋向)分別輸入汶川地震時(shí)記錄的兩條安評(píng)地震波(P1和P2)進(jìn)行分析，如圖5、圖6所示。垂直分量按照水平地震基本加速度α值的65%進(jìn)行動(dòng)力分析。

圖5 P1波加速度時(shí)程曲線

圖6 P2波加速度時(shí)程曲線

各墩的動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)(墩底彎矩、墩底剪力和墩頂位移)峰值計(jì)算結(jié)果見表2至表4。

表2 墩底彎矩計(jì)算結(jié)果kN·m

表3 墩底剪力計(jì)算結(jié)果kN

表4 各墩頂位移計(jì)算結(jié)果cm

圖7和圖8分別給出了P2波作用下考慮P-△效應(yīng)的1號(hào)墩和4號(hào)墩墩頂位移時(shí)程曲線。

圖7 1號(hào)墩墩頂位移時(shí)程曲線

圖8 4號(hào)墩墩頂位移時(shí)程曲線

對(duì)比分析以上計(jì)算結(jié)果可以看出：

(1)P1波作用下，考慮P-△效應(yīng)影響的內(nèi)力和位移相比不考慮P-△效應(yīng)影響的內(nèi)力和位移值有所增加，但就其差值來(lái)說，影響并不明顯。這主要是在P1波作用下，橋墩還處在彈性工作狀態(tài)，豎向地震動(dòng)對(duì)橋墩的地震響應(yīng)本來(lái)就不是太大。而在P2波作用下，各墩的內(nèi)力和變形均出現(xiàn)了較大幅度的變化，例如1號(hào)墩在P2波作用下，考慮了P-△效應(yīng)后其墩頂最大位移增大了9.48%，這是一個(gè)不容忽視的問題。分析其原因，主要是P2波作用下，橋墩已進(jìn)入非線性工作狀態(tài)，豎向地震動(dòng)對(duì)橋墩地震響應(yīng)的影響很大，會(huì)因P-△效應(yīng)的影響而使其內(nèi)力和位移顯著增加。

(2)比較各表數(shù)據(jù)可以看出，P-△效應(yīng)對(duì)各墩內(nèi)力和位移影響的增大率隨著墩高度的增加而增大。由于4號(hào)墩較其他幾個(gè)墩低，P-△效應(yīng)對(duì)該墩的影響明顯要小于對(duì)其他各墩的影響。需要說明的是，個(gè)別墩內(nèi)力和位移出現(xiàn)了負(fù)值，這是由于豎向地震動(dòng)以高頻成分為主，高振型含量豐富，那種蛇形變形使各質(zhì)點(diǎn)重量對(duì)體系下方部位產(chǎn)生的附加彎矩反號(hào)，所以計(jì)算出的結(jié)果有可能出現(xiàn)負(fù)值。

(3)比較圖6和圖7可以看出，由于P-△效應(yīng)使得1、4號(hào)墩的縱橋向墩頂位移出現(xiàn)了中軸偏移現(xiàn)象，1號(hào)墩的偏移量為1.96 cm，4號(hào)墩的偏移量為0.22 cm，墩頂出現(xiàn)了較大的永久位移。由表3的數(shù)據(jù)可知，其它幾個(gè)墩也都有不同程度的偏移。

5 結(jié)語(yǔ)

在同時(shí)考慮到豎向地震作用和P-△效應(yīng)之后，由于非線性的影響，豎向作用加強(qiáng)了水平地震動(dòng)的影響，從而加大水平反應(yīng);而且這種影響是隨著原反應(yīng)的大小而改變的，若不考慮豎向影響時(shí)的原水平反應(yīng)大，則加強(qiáng)也大。P-△效應(yīng)對(duì)高墩的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對(duì)矮墩的影響，但是并不是考慮了P-△效應(yīng)后所有的內(nèi)力和變形都增大，P-△效應(yīng)會(huì)增加結(jié)構(gòu)的永久變形。

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