航天器碰撞概率計算方法研究進展

楊維維 趙勇 陳小前 王振國

（國防科技大學航天與材料工程學院，長沙 410073）

1 引言

隨著人類航天事業(yè)的快速發(fā)展，近地空間在軌運行航天器數(shù)量急劇攀升，大大提高了軌道飛行器碰撞的可能性。2009年2月10日美國“銥－33”衛(wèi)星與已報廢多年的俄羅斯“宇宙－2251”衛(wèi)星相撞，這是首次在軌衛(wèi)星相撞事件，使航天器在軌安全問題成為研究焦點。

目前國內外對航天器碰撞風險評估最常用的方法，是最小距離法和碰撞概率法。最小距離法相對簡單，但虛警率高，易導致頻繁軌道機動從而降低飛行效率，且不能提供量化的評估指標，不便于制定最優(yōu)碰撞規(guī)避機動策略［1］。為了提高決策準確度并減少機動次數(shù)，美國航天飛機在2001年采用了基于碰撞概率法的防撞規(guī)避機動［2］。碰撞概率法綜合考慮了航天器與目標的相遇幾何關系和狀態(tài)誤差協(xié)方差，能更有效地進行碰撞風險評估。因此，近年來基于碰撞概率的空間目標碰撞預警和規(guī)避機動研究受到廣泛關注。

本文首先描述了航天器相遇問題，介紹了航天器線性及非線性相對運動條件下幾種典型碰撞概率計算方法并歸納了各方法的特點及適用性；同時，總結了某時刻的瞬時碰撞概率及最大瞬時碰撞概率的計算方法；最后分析了現(xiàn)階段研究存在的問題及未來的研究方向。

2 航天器相遇問題描述

考慮到空間環(huán)境及狀態(tài)測量的不確定性，一般采用橢球體描述質心位置測量誤差分布。對于近圓軌道航天器，其速度方向基本與橢球最大主軸一致。除誤差橢球外，航天器有自身物理安全區(qū)域。目前研究大多采用球體作為航天器剛體包絡體，忽略航天器姿態(tài)對相遇模型的影響，球半徑也稱為等效半徑。對于形狀明顯不規(guī)則的航天器，如航天飛機、國際空間站等，則需要考慮非球形包絡體，從而提高碰撞概率計算精度。

通常將可操作的航天器稱為主對象（或主星），對應的次對象（或次星）可為軌道碎片或是在軌工作或報廢的航天器。一般將兩航天器的位置誤差方差nσ聯(lián)合起來形成聯(lián)合誤差橢球，將剛體包絡體聯(lián)合起來形成聯(lián)合包絡體，中心位于主星質心。相遇域指描述相遇模型的空間區(qū)域，Chan通過數(shù)值積分，得出相對運動可近似為直線的相遇域范圍［3］。圖1給出了包絡體為球形的航天器相遇示意。

圖1 航天器相遇示意Fig.1 Description of spacecraft encounters

由圖1可知，當相對位置r與相對速度矢量v 垂直時，兩目標相距距離最小，即兩者處于垂直于v 的平面上，定義該平面為相遇平面，并以該平面為基準面定義相遇坐標系［4］；碰撞概率定義為兩個位置預報有誤差的空間物體發(fā)生碰撞的概率［5］，即兩物體距離小于聯(lián)合等效半徑的概率。設位置誤差聯(lián)合協(xié)方差為C，相遇域內高斯概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）定義為

碰撞概率為

式中 V為等效半徑rA的包絡體在相遇域內運動所掃過的體積。

由定義可知，碰撞概率是指整個相遇過程的總碰撞概率。對于線性相對運動，聯(lián)合球體掃過的體積為無限長圓柱體，可將三維積分轉化為二維面積積分。但對于非線性相對運動，由于相對速度大小和方向均隨時間變化，定義的坐標系也隨之改變，誤差橢球的形狀、大小及方向都為時變，三維積分計算較為復雜。

對于某些特殊應用，如構形重構等，更關注機動過程中某時刻的碰撞概率，即瞬時碰撞概率。這時積分體積V 即為聯(lián)合包絡體。若次星的位置誤差協(xié)方差未知，可計算瞬時碰撞概率最大可能值，為預警最壞情況提供依據(jù)。

3 線性相對運動碰撞概率計算

早期研究的航天器和空間碎片的碰撞問題主要針對線性相對運動，其計算方法比較成熟。常用線性相對運動碰撞概率計算的基本假設為：

1）相遇時間短（通常為幾秒），相對運動可以簡化為線性模型；

2）相對速度矢量在相遇期間保持不變，積分體近似為無限長圓柱體；

圖2 航天器線性相對運動相遇平面示意Fig.2 Encounter plane of spacecraft with linear relative motion

3）兩空間目標位置誤差PDF在相遇期間保持不變。

通常聯(lián)合協(xié)方差C 包含非對角項ρxz，文獻［6］分析了協(xié)方差相關性對碰撞概率的影響。為簡化處理，作坐標系旋轉變換使得協(xié)方差陣在新坐標系Ox′z′中為對角矩陣C′。對非各向同性情況，不失一般性，設σx′＞σz′，再次進行坐標轉換，使新坐標系中C″對角項相等（即文獻［4］提出的空間壓縮），若聯(lián)合包絡體為球體，則此時積分圓截面A′變換為橢圓截面A″。該坐標變換不可避免地帶來原有幾何關系的失真，如圖2所示。

典型的線性相對運動碰撞概率計算方法有：Foster等推導的極坐標形式的二維數(shù)值積分法（NASA 模型）；Patera的沿截面輪廓一維積分法；Alfano沿軸向的一維積分法以及Chan的近似解析表達計算法［7－11］。

（1）NASA 模 型［7］

模型計算公式如下：

式中 φ＝π／2－φ，φ為坐標軸旋轉角，如圖2所示。

（2）Patera模型［8－9］

經(jīng)過兩次坐標轉換后，積分降為關于橢圓聯(lián)合包絡體輪廓的線積分。

式中 θ為原點到橢圓輪廓上點的連線與坐標軸的夾角。碰撞概率沿橢圓輪廓逆時針方向進行數(shù)值積分。

（3）Alfano模型［10］

將二維積分在相遇面（x′，z′）上降為一維積分，模型計算公式如下：

式中 erf［·］為高斯誤差函數(shù)。

（4）Chan模型［11］

假設rA／σ為小量（rA／σ≤0.1）且0≤re／σ≤100，采用等價截面面積法將橢圓截面A″用圓A?代替，從而將二維積分簡化為一維Rician PDF 積分，推導出無窮級數(shù)形式表達的解析解。其零階近似計算公式為：

對于圓碰撞截面，文獻［3，10］給出了以上計算方法的仿真比較，4種模型得出的碰撞概率精度均達10－5。NASA 模型是嚴格基于圓橫截面推導的精確解，數(shù)值積分精度與步長相關，但計算量較大；Patera模型未做任何假設，其結果與NASA 模型的誤差最小；Alfano模型中由于誤差函數(shù)需通過數(shù)值計算，其結果包含計算誤差函數(shù)的截斷誤差；Chan模型采用解析表達近似計算，其優(yōu)點是計算速度快且解析表達有利于進行參數(shù)影響分析。模型計算誤差除截斷誤差外，還包含截面近似轉換帶來的誤差，精度不及其他3種方法，但仿真表明誤差仍在可接受范圍內。其缺點是模型適用條件較為嚴格，對于未來導航精度較高的航天器不適用。

通常航天器包含多種形狀部件（如球體、圓柱、圓錐及長方體等）。在相遇面上，這些部件往往因相互遮擋使得包絡體截面形狀不規(guī)則。NASA 模型只能用于圓截面，不能推廣到復雜截面。Patera和Alfano模型可擴展應用到復雜包絡截面航天器，如繩系衛(wèi)星，但積分計算較繁瑣［12］。由于采用等價截面面積法，Chan模型可用于近似計算任意復雜結構航天器的碰撞概率，如國際空間站，其計算精度與截面圓近似程度相關［3］。

除上述方法外，文獻［4］推導了圓軌道航天器的相遇幾何描述參量（過交線高度差、時間差及軌道面夾角）和RSW 坐標系誤差協(xié)方差表示的碰撞概率解析表達，本質上與Chan模型一致。

4 非線性相對運動碰撞概率

對于非線性相對運動，積分體積不再是無限長圓柱體，上節(jié)描述的計算方法均不再適用。非線性相對運動碰撞概率計算具有如下特點［13］：

1）與線性相對運動碰撞概率計算方法的輸入?yún)?shù)相同；

2）整個相遇過程中位置誤差PDF可隨時間變化，即誤差橢球的形狀、大小及方向可變；

3）空間目標在相遇面上的截面可隨時間變化。

非線性相對運動碰撞概率計算方法的難點在于積分體積的描述及其計算的復雜性。即使包絡體在實際空間中靜止，但只要誤差橢球發(fā)生旋轉變化，則包絡體中心在新坐標系下將沿圓弧移動。積分體積V 一般呈現(xiàn)帶有曲線軸且截面積變化的管狀，如圓環(huán)、橢圓環(huán)甚至是卷餅狀［3］。當相對運動軌跡具有高度非線性時，相對速度可能反向導致積分體自相交，這時計算更為復雜。因此，非線性相對運動碰撞概率計算很難獲得精確解，大多只能采用近似處理。

目前典型的非線性運動碰撞概率計算方法有：Patera的柱坐標系描述的對稱空間積分形式，Alfano的笛卡爾坐標系分段積分模型以及Chan提出的近似解析模型［3，12－13，15－16］。

（1）Patera模型［12－13］

該模型采用對稱空間概念，經(jīng)坐標變換使C 對稱化，然后通過正交變換至相遇系。將積分體積沿相對速度方向按時間分段計算，假設各時間步長內PDF、rA以及v為常數(shù)，定義參數(shù)z／σ計算碰撞概率速率，通過時間積分計算總的碰撞概率，值得注意的是，聯(lián)合包絡體掃過的體積不能重疊。該方法的精度主要取決于假設條件速度方向不變的滿足程度。

通過與蒙特卡洛仿真進行比較，建議采用3σ相遇橢球體；但當出現(xiàn)相對速度反向時，3σ法不適用［14］。

（2）Alfano模型［15］

該模型將積分體積沿相對速度方向分為多段，各段對應的概率求和得出總碰撞概率。分段步長需充分小以滿足線性相對運動假設，然后選擇任意線性運動的模型計算二維碰撞概率。沿相對速度方向的一維概率通過兩端點的馬氏距離（Mi，Mf）計算。各段碰撞概率為一維及兩維的概率乘積。對于非線性運動，積分段之間存在間隙和重疊，若相對運動軌跡向協(xié)方差橢球中心彎曲，則重疊部分發(fā)生在較大概率密度區(qū)域，間隙發(fā)生在較小概率密度區(qū)域。盡管重疊與間隙的體積幾乎相等，但求和后導致總碰撞概率偏大。該模型的誤差主要取決于運動軌跡相對誤差橢球中心的彎曲度。

對于典型的橢圓環(huán)積分，將其分為多個小圓柱，沿相對速度方向z軸的概率為

為平衡計算速度和數(shù)值精度，文獻［15］通過試差法得出：一般最大時間步長設置為100s，圓柱體之間連接的最大允許角度為1°。

（3）Chan模型［3，16］

假設條件：1）相對運動共面無漂移，滿足C－W 方程；2）各向同性，即三軸位置誤差方差均為σ且時不變；3）聯(lián)合球體半徑時不變。采用數(shù)值估算面積及等效面積法將積分體積轉換為圓環(huán)，二維環(huán)面積分采用一階近似解析解，可得近似碰撞概率為

式中 c為相對運動橢圓中心沿軸向偏移常量。對于圓相對運動軌跡，式（10）為精確解。當Rr／σ2＜0.1時，有近似解析解：

該模型的主要誤差來自采用等效面積法對積分體積的影響及一階近似的截斷誤差。當A／σ＞1.5時，將橢圓環(huán)分成多個區(qū)域采用線性模型的近似解析解計算各區(qū)域的碰撞概率。

綜上所述，Patera與Alfano模型均沿速度方向分割積分體積，將三維非線性碰撞概率轉化為二維線性概率與一維（相對速度方向）概率的乘積。分段步長足夠小以滿足線性相對運動的基本假設條件。Petera模型根據(jù)時間步長分段，Alfano模型根據(jù)相對速度方向距離步長分段。而Chan模型基于C－W 方程推導的橢圓相對軌跡，沿垂直于運動平面方向分割體積，利用近似解析解計算二維環(huán)面積分。展開式（9）可得：

由式（8）可知，Patera與Alfano模型在本質上是等價的，但Patera模型采用對稱空間可能會引起角度失真、物理意義不明確（比如坐標旋轉變換導致相對速度不再是軌跡切線）等問題。當時間積分步長足夠小時，二維概率計算方法是Alfano與Patera模型差異的主要原因。Chan模型將三維積分簡化為一維積分，計算速度較快，但受假設條件的限制。當Rr／σ2足夠小時，可利用解析表達式（11）求導得出最大碰撞概率對應的幾何構形，從而指導編隊航天器相對構型的安全設計。文獻［15］對有精確解的積分體積為圓環(huán)的碰撞概率進行了仿真比較，得出3種模型的誤差為2%左右。

除上述模型外，文獻［15］還提出了在Mahalanobis空間創(chuàng)建三維像素網(wǎng)格的方法，但該方法不易理解且計算較為復雜。文獻［17］提出的計算方法與Alfano模型相似，考慮了分段小圓柱體之間的間隙與重疊區(qū)域的計算從而提高精度，但同時也大大增加了計算量。

5 瞬時碰撞概率

對于非線性相對運動相遇模型，計算總碰撞概率并不能有效進行碰撞預警，針對某些應用，如長期近距離相對飛行任務，更關注最大瞬時碰撞概率。瞬時碰撞概率定義為某時刻次星位置落在總包絡體內的概率［5］。瞬時碰撞概率計算方法主要有直接法、近似分布法及等效體積法。仿真結果表明近似分布法易產(chǎn)生虛預警，對小碰撞概率事件不適用［3］。

最大瞬時碰撞概率定義為相對運動過程中瞬時碰撞概率的最大值，也可廣義定義為誤差協(xié)方差未知情況下，某時刻瞬時碰撞概率最大可能值。它是描述兩航天器某時刻發(fā)生碰撞可能性的主要指標，在空間目標碰撞預警工程中具有重要的意義［18］。計算最大瞬時碰撞概率主要有以下3種方法：

（1）直接法［5］

直接利用數(shù)值優(yōu)化技術尋找指定時間段內的最大瞬時碰撞概率，其優(yōu)點是不要求目標函數(shù)光滑，也無需導數(shù)信息；但計算量較大，不能滿足實時預警的需求。

（2）最大PDF法［19－20］

假設PDF在包絡體內近似相等（即rA?σ），最大瞬時碰撞概率問題轉化為求包絡體中心最大概率密度函數(shù)，即文獻［5］定義的擬最大瞬時碰撞概率。當聯(lián)合協(xié)方差矩陣C 各向同性時，等價于最小距離處對應的瞬時碰撞概率。當C 未知時，可根據(jù)式（1）對C 求導取極值，估算瞬時碰撞概率最大可能值。

（3）近似解析法［3，18］

式中 β＝rA／re。由式（13）可知，瞬時碰撞概率最大值不僅與β相關，而且與橢球方向角φ 相關。

當相對位置不確定性較大時，通過式（2）計算的概率值較低，造成一種不可能碰撞的假象，即Alfano提出的“概率稀釋”現(xiàn)象［21］。當協(xié)方差C 未知時，盡管可通過計算瞬時碰撞概率最大可能值進行保守評估，但研究表明：碰撞概率對協(xié)方差的變化比較敏感，尤其是方差小于概率極值點對應的方差值時更為突出［22］。為降低虛預警律，可采用蒙特卡洛仿真分析法估算碰撞概率，但碰撞為小概率事件，需要大量樣本點（通常量級為幾萬～幾百萬），其計算代價不容忽視。

在實際應用中，考慮到計算量的問題，常聯(lián)合使用幾種指標分層次進行安全風險評估。隨著評估精確度的提高，計算量也隨之增加。文獻［19］將最小距離及最大瞬時碰撞概率作為交會軌跡安全的定量評價指標。一旦追星3σ橢球與目標星控制區(qū)有交集，則需計算兩星的最大瞬時碰撞概率。文獻［23］將確定碰撞概率的步驟劃分為估計瞬時碰撞概率、總碰撞概率及蒙特卡洛仿真分析3個層次。一旦當前層次計算結果超出門限，則需進行下一層次更精確的估計。當航天器相對距離很?。ㄐ∮?00m）時，建議結合最小距離進行安全風險評估［24］。

6 存在的問題及發(fā)展方向

概括起來，線性相對運動碰撞概率計算分為直接法、近似法。根據(jù)積分處理的方式不同，直接法分為極坐標下積分，沿包絡體輪廓線積分和沿坐標軸一維積分。非線性相對運動碰撞概率計算采用直接法計算量較大，目前主要采用分段線性近似積分累加?，F(xiàn)階段航天器碰撞概率計算方法研究還存在以下問題：

1）當系統(tǒng)成員大于2時，如近距離編隊飛行，其構形約束較強，且有一定的相對姿態(tài)，碰撞模型變得較為復雜。目前的研究大多忽略相對姿態(tài)的影響，且相對運動簡化為共面圓或橢圓，對于兩顆以上的航天器碰撞概率問題描述與計算還有待研究。

2）關于狀態(tài)及位置誤差協(xié)方差的外推公式，大多基于C－W 方程，未考慮軌道偏心率及攝動等因素的影響。對非線性相對運動，C－W 方程會產(chǎn)生誤差積累，碰撞危險度的預測將產(chǎn)生偏差。盡管文獻［20］采用非線性系統(tǒng)基于協(xié)方差分析描述函數(shù)法（Covariance Analysis Description Equation Technique，CADET）建立了考慮導航和控制偏差的相對狀態(tài)及其協(xié)方差矩陣的傳播模型。但由于CADET為統(tǒng)計模型，不能對某時刻瞬時碰撞風險進行有效指導。此外，估計的狀態(tài)誤差協(xié)方差本身存在不確定性。目前僅研究了線性相對運動一定假設條件下碰撞概率的置信度問題。對于非線性條件下，誤差橢球的大小和形狀均存在不確定性時碰撞概率置信度的評估方法還有待進一步的研究。

3）故障是威脅航天器安全的主要因素。目前對故障模式下的碰撞概率研究很少。針對“概率稀疏”現(xiàn)象，碰撞概率的可靠性對位置確定精度的要求有待進一步分析。當位置誤差協(xié)方差未知時，為降低虛預警律，建議應盡可能在瞬時碰撞概率極值處設定不確定性進行分析研究。

4）目前為止，碰撞概率計算只考慮了位置誤差的影響，根據(jù)假設精確的相對速度矢量推導相遇幾何，未考慮相對速度不確定性的影響。事實上，相遇面是由相對速度定義，即便是微小的方向改變也可能使碰撞概率計算結果發(fā)生巨大變化。此外，現(xiàn)有的瞬時碰撞概率僅與某時刻的靜態(tài)參數(shù)相關，未考慮相遇模式及相對速度對碰撞風險的影響（很顯然，同一位置，兩者接近的碰撞風險比兩者遠離的碰撞風險大）。對于機動過程中的碰撞風險評估，由于未考慮航天器是否有足夠的時間執(zhí)行規(guī)避機動，現(xiàn)有的瞬時碰撞概率計算不能滿足要求。

事實上，影響航天器飛行安全的因素復雜而繁多，碰撞風險除了受導航系統(tǒng)影響之外，還與系統(tǒng)性能參數(shù)相關，比如航天器的規(guī)避控制能力，相對導航定位速率以及通信性能，甚至系統(tǒng)可靠性等。但目前的碰撞概率計算模型無法進行擴展，難以加入其他影響安全的因素。結合其他安全評估指標，在性能基礎上研究航天器近距離飛行安全性是今后研究的方向。

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