多目標微分進化改進算法及應用

劉長良 于 明

(華北電力大學控制科學與工程學院，河北 保定 071003)

多目標微分進化改進算法及應用

劉長良 于 明

(華北電力大學控制科學與工程學院，河北 保定 071003)

微分進化算法作為一種新型、簡單、高效的并行隨機優(yōu)化算法，近年來在許多領域得到了應用，多目標微分進化便是其中的一種。針對傳統(tǒng)多目標微分進化算法中微分進化控制參數(shù)不能自適應調(diào)整、算法容易出現(xiàn)早熟和退化的現(xiàn)象，采用慣性權重參數(shù)自適應調(diào)整的控制策略以及改進的擁擠距離算法對多目標微分進化進行改進，并將改進后的算法用于控制系統(tǒng)PID參數(shù)優(yōu)化仿真試驗。結(jié)果表明，改進后的多目標微分進化算法具有較好的收斂性和分布性以及較高的搜索效率。

多目標 優(yōu)化算法 微分進化 自適應 參數(shù)優(yōu)化 PID

0 引言

控制系統(tǒng)PID參數(shù)優(yōu)化屬于多目標優(yōu)化的問題，因其各個目標函數(shù)之間存在相互競爭的關系，采用單目標優(yōu)化往往不能統(tǒng)籌兼顧，從而造成控制質(zhì)量的下降［1］。雖然目前國內(nèi)外廣泛采用傳統(tǒng)工業(yè)過程調(diào)節(jié)PID控制方法，但對控制器參數(shù)進行人工整定不僅需要熟練的整定技巧和經(jīng)驗，而且當被控對象特性發(fā)生變化時，控制器參數(shù)沒有相應的自適應調(diào)節(jié)能力。

多目標進化算法(multi-objective evolutionary algorithms，MOEAs)的研究始于 20 世紀 80 年代［2］。在其研究過程中，由Deb等人提出的NSGA-Ⅱ算法以及由Zitzler等人提出的SPEA-Ⅱ算法應用較多［3］。自Rainer Storn和Kenneth Price于1995年提出了一種更有效、更簡便的微分進化算法(differential evolution，DE)以來，許多學者致力于將其擴展應用到多目標進化領域的研究中，先后出現(xiàn)了PDE、PDEA、MODE和DEMO 等算法［4-7］。

以上這些多目標進化算法均旨在追求收斂性和多樣性這兩個優(yōu)化指標，并且這些算法基本上都用到了以下兩種策略:①通過構(gòu)造Pareto候選解集保留所獲得的非劣解，并通過適當?shù)拇胧?空間分布密度信息)來維持解的多樣性;②依據(jù)解集中個體間的Pareto支配關系和空間密度信息來確定個體的優(yōu)劣［8］。但由于基本微分進化算法存在控制參數(shù)不能自適應調(diào)整的問題，參數(shù)的人為設定難以使尋優(yōu)效果達到最佳;算法中的貪婪選擇策略導致選擇壓力過大，并且當種群中決策變量中的某一維趨于相同時，微分向量為零［9］。這些因素都使得種群產(chǎn)生“早熟”問題。

1 基本微分進化算法

基本微分進化算法(DE)是一種基于種群優(yōu)化的進化算法，它在求優(yōu)過程中具有高效性、收斂性和魯棒性等優(yōu)點［10］，適用于無約束連續(xù)變量的全局優(yōu)化。

基本微分進化算法的進化過程包括變異、交叉和選擇三個基本操作。以一個規(guī)模為NP的種群為例，其中的個體均為N維向量，第i個個體定義如下:

1.1 變異操作

在第G代中，目標個體向量為Xi，G，而變異后的個體向量為Vi，G。變異操作過程有多種方法，本文采用如下變異策略。

式中:DE為算法名稱;rand為隨機函數(shù);r1、r2、r3為介于1和NP之間互不相同的隨機整數(shù);F∈(0，1)，為變異算子，用于控制變異的幅度，即差值的放大倍數(shù)。

1.2 交叉操作

為了維持種群個體的多樣性，在此引入交叉操作的方法，即由目標向量和變異向量不同基因位的數(shù)值，重新組合產(chǎn)生試驗向量 Ui=(u0，i，…，uN-1，i)T。交叉操作的產(chǎn)生方法具體如下。

式中:G代表“第 G 代”;rand為隨機函數(shù)，randj［0，1］為在0和1之間產(chǎn)生的一個隨機數(shù)，j=0，1，…，N-1;jrand∈［0，N-1］;CR為交叉算子且為介于0和1之間的連續(xù)實數(shù)，如果CR的值較大，DE的收斂速度會加快;如果CR的值較小，DE的魯棒性會更好，但會增加問題的執(zhí)行時間。式(3)是二項式交叉算子，許多文獻經(jīng)常采用這種形式。

1.3 選擇操作

新一代個體的產(chǎn)生方式為:

式中:f()為待優(yōu)化的目標函數(shù)。在此過程中如果新產(chǎn)生的子代個體的適應度比父代強，即子代個體更優(yōu)良，那么Ui，G將取代其相應的父代個體進入種群，參與下一代的進化。

2 改進的多目標微分進化算法

2.1 多目標優(yōu)化問題

在多目標優(yōu)化問題(multi-objective problem，MOP)中，某個目標性能的提高常常是以損害其他目標為代價，因而只能在多個目標之間進行折衷處理，以達到整體最優(yōu)。在MOP中，常用定義如下。

① Pareto占優(yōu)

A＜B(A占優(yōu)B)，當且僅當:

式中:A和B為決策空間中兩個不同的個體。

② Pareto最優(yōu)或Pareto非劣

A是Pareto最優(yōu)解(非劣解)，當且僅當:

式中:d為向量維數(shù)。

所有Pareto最優(yōu)解的集合稱為Pareto最優(yōu)解集;Pareto最優(yōu)解對應的目標函數(shù)值稱為非劣目標向量;所有非劣目標向量形成的區(qū)域稱為Pareto前沿。多目標優(yōu)化問題的求解實際上是找到盡可能多的Pareto最優(yōu)解，且使其相應的目標向量在Pareto前沿中均勻分布［11］。

2.2 改進的多目標進化算法

2.2.1 控制參數(shù)調(diào)整策略

在微分進化算法中，控制參數(shù)的設置與調(diào)整是一個重要且困難的問題，目前還沒有一種慣行的控制參數(shù)設置與調(diào)整機制。針對上述問題，許多文獻提出了控制參數(shù)自適應調(diào)整的策略，如采用模糊自適應的參數(shù)調(diào)整方法和依據(jù)群體適應度方差對控制參數(shù)進行調(diào)整的方法等［12-13］。

本設計采用粒子群算法中慣性權重動態(tài)調(diào)整思想來動態(tài)調(diào)整DE中的變異因子F和交叉因子CR［14］。在搜索的初始階段，由于個體隨機分布在解空間中，因此，向量差值較大，這就要求算法的控制參數(shù)F相對小一些。但隨著種群的不斷進化，個體逐漸靠近最優(yōu)個體，算法中變異操作產(chǎn)生的差值擾動會逐漸變小，這就要求此時的F相對大一些，使得變異操作后的向量能夠開拓新的搜索空間。同樣，對于交叉因子CR也是如此?；谝陨戏治觯疚牟扇〉目刂茀?shù)調(diào)整策略為:

式中:Fmax和Fmin分別為變異因數(shù)F的最大值和最小值;lmax和l分別為設定的最大進化代數(shù)和當前的進化代數(shù);CRmax和CRmin分別為交叉因數(shù)CR的最大值和最小值。

2.2.2 擁擠距離算法改進

NSGA-II算法依據(jù)同一個Pareto非劣排序等級中擁擠距離大的個體被保留的原則進行選擇操作。設個體B的前后相鄰兩個個體分別為A和C，擁擠距離(稀疏度)DC(B)定義如下:

式中:fi(A)與fi(C)分別為個體A和個體C在第i個目標函數(shù)上的值。邊界個體的擁擠距離定義為無窮大，保證無條件進入下一代。擁擠距離計算示意圖如圖1所示。

圖1(a)～圖1(c)為兩目標優(yōu)化問題，A、B、C處于同一個Pareto非劣排序等級。很明顯，個體B在圖1(a)中的稀疏度均優(yōu)于圖1(b)與圖1(c)，但按原始的擁擠距離算法不能判別出個體B在圖1(a)和圖1(c)中的優(yōu)劣。這樣，隨著進化代數(shù)的增加，會導致解的分布性和多樣性劣化［11］。由此可見，這種算法存在較大的局限性。

改進后的擁擠距離算法示意圖如圖1(d)所示，設O為A和C的中心點。改進的擁擠距離DC(B)計算方法如下:

式(10)反映了個體稀疏度既與其在目標函數(shù)上鄰域的大?。踗i(A)-fi(C)］有關，又與分布均勻程度［fi(B)-fi(O)］有關，由此判斷出個體B在圖1(a)中的稀疏度要優(yōu)于圖1(c)。

圖1 擁擠距離計算示意圖Fig.1 Calculation of the crowded distance

改進的多目標微分進化算法流程圖如圖2所示。

圖2 改進算法流程圖Fig.2 Flowchart of the improved algorithm

3 仿真研究

3.1 過熱蒸汽溫度優(yōu)化模型

火電廠過熱蒸汽溫度對象具有大慣性、大延遲、非線性和時變的特性。影響過熱蒸汽溫度的因素有很多，如機組負荷、火焰中心位置、給水溫度、煙溫和流速、減溫水流量等［15］。目前，通常采用的串級汽溫閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 串級汽溫閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of the cascade closed-loop steam temperature control system

圖3中，內(nèi)回路為PI控制器，外回路為PID控制器，W1(s)為惰性區(qū)傳遞函數(shù)，W2(s)為導前區(qū)傳遞函數(shù)，d1和d2分別為輸出測量干擾和控制量干擾，yr為給定值，y為輸出測量值。

某一超臨界600 MW直流鍋爐高溫過熱器在75%負荷下，主汽溫對噴水擾動的動態(tài)特性為［16］:

優(yōu)化工作的任務就是應用改進的多目標微分進化算法對PID控制器的比例Kp、積分Ki和微分Kd在其可行域空間內(nèi)進行尋優(yōu)，使系統(tǒng)能穩(wěn)定運行，且上升時間tr、超調(diào)量σ(%)和調(diào)節(jié)時間ts的組合達到最優(yōu)。顯然，這三種性能指標是相互競爭的關系。只有采用多目標優(yōu)化，才能克服傳統(tǒng)單目標方法中的性能退化問題，以達到綜合最優(yōu)的控制效果。

3.2 改進算法仿真研究

在本算例中，Kp、Ki和Kd的取值范圍分別為［0.001，4］、［0.001，2］和［0.001，50］。內(nèi)環(huán)為 PI調(diào)節(jié)，控制器參數(shù)固定為比例增益Kp2=10、積分增益Ki2=0.1［16］。設定汽溫最大允許超調(diào)量為5%，系統(tǒng)穩(wěn)定時間不大于600 s，上升時間不超過300 s，仿真時間為2 500 s。

改進的多目標微分進化算法的參數(shù)設置為種群規(guī)模100、進化代數(shù)500、交叉因子下限CRmin=0.1、上限CRmax=0.9、變異因子下限Fmin=0.1、上限Fmax=0.9。

經(jīng)過500代的進化后，產(chǎn)生多組Pareto最優(yōu)解，決策者在實際運行中只能從諸多Pareto最優(yōu)解中選取一個作為最終方案。本文依據(jù)文獻［11］中的模糊集理論方法來確定最優(yōu)的折衷解。最終尋優(yōu)結(jié)果為:

對于輸出主蒸汽溫度單位階躍響應，應用改進的多目標微分進化算法對PID控制器進行參數(shù)整定后，得到的幅值響應與文獻［16］粒子群算法和單目標優(yōu)化得到的結(jié)果相對比，得到的主汽溫階躍響應曲線如圖4所示，PID及階躍響應性能參數(shù)如表1所示。

圖4 主汽溫階躍響應曲線Fig.4 Step response curves of main steam temperature

表1 PID及階躍響應性能參數(shù)Tab.1 Parameters of PID and step response performance

從表1可以看出，應用改進的多目標微分進化方法得到的曲線超調(diào)量明顯小于應用單目標優(yōu)化和粒子群算法得到的超調(diào)量，三者的峰值時間相差不多，但多目標微分進化方法仍優(yōu)于后兩者;然而對于調(diào)節(jié)時間來說，應用改進的多目標微分進化方法得到的結(jié)果卻不及單目標優(yōu)化方法。究其原因，正是多目標優(yōu)化的特性所致，即一個優(yōu)化目標性能的提高必然以其他性能劣化為代價。

總體來看，應用本文提出的改進的多目標微分進化方法得到的系統(tǒng)具有良好的魯棒性，且能夠仿真出超調(diào)量很小的響應曲線，調(diào)節(jié)時間和峰值時間也相對令人滿意。

4 結(jié)束語

本文將微分進化算法與多目標優(yōu)化相結(jié)合，并對傳統(tǒng)算法的不足進行了改進。將改進后的多目標微分進化算法應用于主汽溫PID控制器參數(shù)優(yōu)化設計，實現(xiàn)了主汽溫的多目標優(yōu)化控制。從仿真結(jié)果可以看出，使用改進后的多目標微分進化算法優(yōu)化得到的最優(yōu)參數(shù)對主汽溫進行控制，其階躍響應過程表現(xiàn)出較好的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，超調(diào)量、上升時間和調(diào)節(jié)時間三個目標函數(shù)均得到了較好的優(yōu)化，獲得了最優(yōu)的綜合控制效果。

由此可見，即使對于火電廠過熱蒸汽溫度對象這種具有大慣性、大延遲、非線性和時變特性的復雜系統(tǒng)，改進的多目標微分進化算法也能獲得良好的優(yōu)化效果。因此，進一步探索和研究多目標微分進化算法對于這種需進行多目標優(yōu)化的復雜控制系統(tǒng)具有極其重要的意義。

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Improved Multi-objective Differential Evolution Algorithm and Its Application

As a new type of simple and efficient parallel stochastic optimization method，the differential evolution algorithm has been applied in many fields in recent years and multi-objective differential evolution is just one of them.In traditional multi-objective differential evolution algorithm，the differential evolution control parameters cannot be adaptively adjusted，thus the algorithm is easy to be precocious and degraded.By adopting the control strategy of inertia weight parameter adaptive adjustment and the improved crowding distance algorithm，the multiobjective differential evolution is improved.The improved algorithm is used in simulation experiment for parameter optimization of PID control system.The result indicates that the improved algorithm features better convergence，distribution and high search efficiency.

Multi-objective Optimization algorithm Differential evolution Self-adaptive Parameter optimization PID

TP18

A

國家863計劃基金資助項目(編號:2007AA041106)。

修改稿收到日期:2011-03-30。

劉長良(1966-)，男，2002畢業(yè)于華北電力大學自動化專業(yè)，獲博士學位，教授，博士生導師;主要從事火電機組熱工系統(tǒng)建模與控制方面的研究。