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    函數(shù)零點(diǎn)問題歸類例析

    2012-02-01 02:32:06江蘇省丹陽市珥陵高級中學(xué)丁金霞
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年23期
    關(guān)鍵詞:丹陽市例析零點(diǎn)

    ☉江蘇省丹陽市珥陵高級中學(xué) 丁金霞

    函數(shù)零點(diǎn)問題歸類例析

    ☉江蘇省丹陽市珥陵高級中學(xué) 丁金霞

    函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考的??碱}型,此類問題的考查主要有4個(gè)方面:(1)零點(diǎn)的求解;(2)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(3)已知零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的范圍;(4)零點(diǎn)所在的區(qū)間.下面就這幾個(gè)問題的求解方法舉例分析.

    一、零點(diǎn)的求解

    例1(2012年上海高考)函數(shù)f(x)=4x-2x+1-3的零點(diǎn)是________.

    解析:原方程可化為(2x)2-2·2x-3=0,解得2x=3或2x=-1(舍去),故x=log23.

    例2(2012年湖北高考)函數(shù)f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ).

    A.2 B.3 C.4 D.5

    點(diǎn)評:求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)問題,直接利用f(x)= 0來求解即可.

    二、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷

    針對零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,我們通常采用數(shù)形結(jié)合的方法來處理.

    又x∈[0,π]時(shí),0<f(x)<1,在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=f(x)的圖像如圖1,由圖知y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).

    點(diǎn)評:對于三角函數(shù)的零點(diǎn)問題,一般需要規(guī)定自變量的取值范圍;圖形的引入使函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解更加直觀明了.

    三、已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍

    例5 已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),求a的取值范圍.

    點(diǎn)評:本試題主要考查了函數(shù)的圖像及其性質(zhì),利用函數(shù)圖像確定兩函數(shù)的交點(diǎn),從而確定參數(shù)的取值范圍.

    四、零點(diǎn)所在的區(qū)間

    對于零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷,一般是利用二分法原理:函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)的充分條件是f(a)f(b)<0.

    點(diǎn)評:注意f(a)f(b)<0只是f(x)在區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)的充分非必要條件.FH

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