多維平差問題粗差的局部分析法

孫海燕，黃華兵，王喜娜

武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079

1 引 言

由于儀器、測(cè)量環(huán)境和觀測(cè)人員等方面的原因，觀測(cè)值有時(shí)會(huì)包含粗差。如果觀測(cè)值中含有粗差，采用最小二乘法進(jìn)行平差時(shí)，粗差的存在不可避免會(huì)對(duì)平差結(jié)果產(chǎn)生不利影響，甚至導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。這個(gè)結(jié)論已經(jīng)得到理論上的證明和實(shí)踐的驗(yàn)證。

現(xiàn)在已經(jīng)有許多方法來消除或減弱粗差的影響。這些方法通常分為兩類。一類是依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理對(duì)粗差進(jìn)行探測(cè)與定位并將其剔除，這方面的研究以文獻(xiàn)［1］的粗差探測(cè)法為代表。另一類是穩(wěn)健估計(jì)（又稱抗差估計(jì)），這種方法不需要對(duì)粗差進(jìn)行定位與剔除，而是選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法（如L1范數(shù)最小估計(jì)、M估計(jì)等），使得估計(jì)結(jié)果不受或少受粗差的影響。在實(shí)際計(jì)算中，這些方法大都是通過給含有粗差的觀測(cè)值一個(gè)較小的權(quán)，從而減小該觀測(cè)值在平差中的作用。常用的方法主要是選權(quán)迭代法，如丹麥法、文獻(xiàn)［2］提出的驗(yàn)后方差估計(jì)法和文獻(xiàn)［3—5］提出的IGG方案。實(shí)際上這兩類方法都依賴于通過平差計(jì)算得到的改正數(shù)，而含有粗差的觀測(cè)值并不一定得到較大的改正數(shù)，因而有時(shí)會(huì)造成誤判。也有研究人員從真誤差出發(fā)，提出了有益的方法。文獻(xiàn)［6］提出了多維粗差同時(shí)定位定值法（LEGE法），文獻(xiàn)［7］提出了粗差的擬準(zhǔn)檢定法（QUAD法）。使用LEGE法和QUAD法都需要進(jìn)行平差計(jì)算，同樣也受到改正數(shù)的影響，比如作為LEGE法判斷依據(jù)的單位權(quán)中誤差是改正數(shù)的函數(shù)，QUAD法選擇擬準(zhǔn)觀測(cè)的指標(biāo)也是改正數(shù)的函數(shù)。

實(shí)際上，在處理粗差之前應(yīng)該分析多維平差問題中是否存在一類觀測(cè)值，出現(xiàn)在其中的粗差是不可發(fā)現(xiàn)或無法定位的。粗差處理方法不能有效處理這類粗差，故其對(duì)平差結(jié)果可能會(huì)產(chǎn)生較大影響。能否發(fā)現(xiàn)某個(gè)觀測(cè)值中的粗差，或者消除或減弱其影響，不僅取決于多余觀測(cè)數(shù)等全局性指標(biāo)，而且與粗差出現(xiàn)的位置有關(guān)。關(guān)于粗差所處位置對(duì)粗差處理的影響，文獻(xiàn)［8］曾提出杠桿觀測(cè)的概念，指出不論實(shí)際誤差如何，杠桿觀測(cè)只得到低改正，這使得杠桿觀測(cè)含有的粗差比其他位置的粗差難于發(fā)現(xiàn)。

綜上所述，本文試圖建立一種局部的粗差分析方法，不依賴于平差計(jì)算和改正數(shù)，確定出現(xiàn)在某個(gè)位置的粗差是否可以被發(fā)現(xiàn)和定位，并且在此基礎(chǔ)上給出一種粗差探測(cè)方法。

2 局部分析法

在討論局部分析法之前，先分析一個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)，如圖1所示。

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)Fig.1 Leveling network

圖1中，A點(diǎn)高程已知，其余8點(diǎn)高程待求，觀測(cè)值等精度，觀測(cè)方向如箭頭所示。

無論觀測(cè)值取何值，h1的改正數(shù)為0，h3和h7的改正數(shù)大小相等。

假設(shè)水準(zhǔn)網(wǎng)中只有一個(gè)粗差。若h1含有粗差，則根據(jù)改正數(shù)不可能發(fā)現(xiàn)粗差。若粗差出現(xiàn)在h3或h7上，則必然導(dǎo)致錯(cuò)誤。由于h3和h7的改正數(shù)大小相等，結(jié)果只能是h3和h7都有粗差或者都沒有粗差，這兩種結(jié)果都與實(shí)際情況不符。

從圖1水準(zhǔn)網(wǎng)的分析可以看出，粗差能否被正確處理與其位置密切相關(guān)?；诖耍疚奶岢龆嗑S平差問題粗差的局部分析法。

2.1 局部分析法原理

局部分析法的主要思路是從局部考察一個(gè)觀測(cè)值，討論平差問題能否容忍出現(xiàn)在其中的粗差。具體做法是將局部化作一個(gè)一維問題，再應(yīng)用一維問題粗差分析的結(jié)論進(jìn)行討論。

首先，給出一維問題粗差分析的結(jié)論。設(shè)對(duì)一個(gè)真值未知的被觀測(cè)量進(jìn)行m次觀測(cè)。m＝1時(shí)，觀測(cè)值的真值未知，故其含有的粗差是不可發(fā)現(xiàn)的。m＝2時(shí)，兩個(gè)觀測(cè)值之差的理論值為0，比較觀測(cè)值即可確定二者是否含有粗差，但無法確定誰含有粗差。m≥3時(shí)，根據(jù)穩(wěn)健估計(jì)中位數(shù)法，如果觀測(cè)值中含有k（0＜k＜m／2）個(gè)粗差，那么中位數(shù)是正常觀測(cè)值，故粗差可以全部定位；如果含有k（k≥m／2）個(gè)粗差，則不能定位。

對(duì)于多維平差問題，比較一個(gè)被觀測(cè)量的觀測(cè)值與其組合觀測(cè)，可發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值和組合觀測(cè)是否含有粗差。組合觀測(cè)定義為：設(shè)s為多維平差問題的一個(gè)被觀測(cè)量，其觀測(cè)值為L，如果存在其他被觀測(cè)量s1、s2、…、sm（對(duì)應(yīng)觀測(cè)值為L1、L2、…、Lm）的函數(shù)f滿足f（s1，s2，…，sm）＝s，則稱f（L1，L2，…，Lm）為s的組合觀測(cè)。另外，一維問題的粗差分析要求觀測(cè)值是誤差獨(dú)立的，所以在多維平差問題的粗差分析中使用的組合觀測(cè)也應(yīng)當(dāng)是誤差獨(dú)立的，即要求所有組合觀測(cè)兩兩之間沒有公共觀測(cè)值。根據(jù)組合觀測(cè)確定誤差獨(dú)立組合觀測(cè)以后，即可將誤差獨(dú)立組合觀測(cè)與觀測(cè)值看做對(duì)被觀測(cè)量的重復(fù)觀測(cè)，從而可以應(yīng)用一維問題的結(jié)論分析被觀測(cè)量。

設(shè)s為多維平差問題的一個(gè)被觀測(cè)量，其觀測(cè)值為L。記s的誤差獨(dú)立組合觀測(cè)數(shù)為m1，包含觀測(cè)值和誤差獨(dú)立組合觀測(cè)的總獨(dú)立觀測(cè)數(shù)為m2。根據(jù)m1的取值討論如下：

（1）m1＝0時(shí)，m2＝1，由一維問題結(jié)論可知觀測(cè)值含有的粗差是不可發(fā)現(xiàn)的。

（2）m1＝1時(shí)，m2＝2，可以發(fā)現(xiàn)粗差但不能定位。

（3）m1≥2時(shí)，m2≥3，如果被觀測(cè)量k（0＜k＜m2／2）個(gè)獨(dú)立觀測(cè)含有粗差，那么可以定位粗差。

局部分析法的關(guān)鍵是計(jì)算被觀測(cè)量的誤差獨(dú)立組合觀測(cè)數(shù)。下面給出根據(jù)多維平差問題函數(shù)模型確定誤差獨(dú)立組合觀測(cè)數(shù)的一般方法。

2.2 誤差獨(dú)立組合觀測(cè)

多維平差問題的函數(shù)模型為

可從B中選取t行組成矩陣B2（t×t），使得B2可逆，余下的n－t行構(gòu)成矩陣B1。按此選法可得對(duì)應(yīng)的和d2，于是式（1）可寫為

B2可逆，式（3）化為），將其代入式（2）即得

具體算法為：

（2）如果G3為空，執(zhí)行第5步；否則，從G3取一種選法（不放回），組成B2和B1。

（3）如果B2可逆，執(zhí)行第4步；否則，執(zhí)行第2步。

（5）上述步驟完成后，得到G1，計(jì)算G1元素的成員數(shù)，記min為最少的成員數(shù)，max為最多的成員數(shù)。設(shè)q＝min。

（6）如果q＞max，算法結(jié)束；否則，取成員數(shù)為q的一個(gè)組合觀測(cè)f1，將其從G1中移除，并加入G2。

（7）遍歷G1，移除與f1有共同成員的組合觀測(cè)。

（8）若G1為空，則算法結(jié)束；否則，執(zhí)行第9步。

（9）如果成員數(shù)為q的組合觀測(cè)未取完，執(zhí)行第6步；如果已取完，令q＝q＋1，執(zhí)行第6步。

（10）算法結(jié)束。

得到誤差獨(dú)立組合觀測(cè)數(shù)并不能確定哪個(gè)觀測(cè)值含有粗差，還需要通過其他方法作進(jìn)一步探測(cè)。下面給出一種基于局部分析法的粗差探測(cè)方法。

3 基于局部分析法的粗差探測(cè)

令

由式（5）可知w的真值為零，所以式（6）計(jì)算值就是真誤差。根據(jù)誤差傳播律可求得w的中誤差σw，如果｜w｜≤2σw（偶然誤差服從正態(tài)分布時(shí)），并且不考慮粗差相互抵消的情況，則可認(rèn)為w定義式中的觀測(cè)值都沒有粗差。然后依次對(duì)其他誤差獨(dú)立組合觀測(cè)進(jìn)行分析，即可確定L～（i）的獨(dú)立觀測(cè)所涉及的哪些觀測(cè)值不含粗差。對(duì)平差問題的其他被觀測(cè)量作上述分析，同樣可以確定一部分不含粗差的觀測(cè)值。分析完所有的被觀測(cè)量后，可確定出不含粗差的觀測(cè)值，余下的即為含粗差觀測(cè)值。

4 算 例

算例采用文獻(xiàn)［9］的例7－4，是一個(gè)測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差，如圖2所示。

圖2 測(cè)角網(wǎng)Fig.2 Goniometric network

圖2中，A、B、C為已知點(diǎn)，坐標(biāo)見表1，D為待定點(diǎn)。角度觀測(cè)值為等精度（中誤差1.7″，先驗(yàn)精度），列于表2。其中∠2含有粗差。

表1 已知點(diǎn)坐標(biāo)Tab.1 Coordinates of known points m

表2 角度觀測(cè)值Tab.2 Observed value of angles ″

設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)真值為（10 122.16m，10 312.44m），計(jì)算出6個(gè)角度被觀測(cè)量的真值，列于表3的第2列。列出測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程，根據(jù)設(shè)計(jì)矩陣計(jì)算每個(gè)被觀測(cè)量的誤差獨(dú)立組合觀測(cè)，結(jié)果列于表3。表3中，角度單位為″。w為被觀測(cè)量的觀測(cè)值與組合觀測(cè)的差值，σw為w的中誤差，m1為誤差獨(dú)立組合觀測(cè)數(shù)，m2為包含觀測(cè)值和誤差獨(dú)立組合觀測(cè)的總獨(dú)立觀測(cè)數(shù)。

根據(jù)局部分析法，由表3的m2可知，如果的獨(dú)立觀測(cè)有1個(gè)粗差，可以定位，多于1個(gè)時(shí)則不能定位。其他5個(gè)角度被觀測(cè)量與有相同的結(jié)論。

表3 測(cè)角網(wǎng)分析結(jié)果Tab.3 Analysis results of goniometric network ″

以表3的第4行為例，w表示∠1與4.23∠4＋1.89∠5－912 817.3的差值，可以看出｜w｜≤2σw，于是w表達(dá)式中涉及的∠1、∠4和∠5不含粗差，分析所有被觀測(cè)量可確定∠1、∠3、∠4、∠5和∠6不含粗差。那么，余下的∠2即為含粗差觀測(cè)值，這與給定的觀測(cè)值含粗差情況相符。

5 結(jié) 論

局部分析法逐個(gè)分析平差問題的觀測(cè)值能否容忍粗差，克服了從整體上分析可容忍粗差個(gè)數(shù)的不合理性，實(shí)質(zhì)上是將多維平差問題轉(zhuǎn)換為多個(gè)一維問題進(jìn)行討論，其優(yōu)點(diǎn)在于無需進(jìn)行平差計(jì)算，僅依據(jù)平差問題的函數(shù)模型，因而適用于一般的平差問題。

由于各種粗差處理方法均不能正確處理不可發(fā)現(xiàn)和無法定位的粗差，為消除或減弱其對(duì)平差結(jié)果的影響，使用穩(wěn)健估計(jì)等方法之前應(yīng)當(dāng)采用局部分析法分析平差問題。

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