時變采樣周期網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)混合H2／H∞動態(tài)輸出反饋控制

樊金榮

（華中科技大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢，430074）

在網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)（NCS）的研究中，大多數(shù)假定傳感器采樣間隔為已知定常數(shù)。實際上，網(wǎng)絡(luò)帶寬資源有限，負載變化、器件故障及外部干擾等因素會導(dǎo)致采樣周期在一定范圍內(nèi)波動［1－2］。時變采樣周期NCS的建模有三種方式：①連續(xù)系統(tǒng)方法：當采樣周期比較小時，把系統(tǒng)建模成一個帶有時變輸入時延的連續(xù)系統(tǒng)模型［3－4］；②混合系統(tǒng)方法：將系統(tǒng)建模成有限脈沖系統(tǒng)［5－6］。文獻［7］認為，這兩種方法對時延大于采樣周期不能普遍適用；③離散系統(tǒng)方法：它可分為離散切換系統(tǒng)［8－10］和帶范數(shù)有界不確定性系統(tǒng)［11－12］。前者假定采樣周期在已知集合內(nèi)按某種規(guī)律（或隨機）取值，顯然有限個隨機值不能完全表示采樣周期的連續(xù)波動；后者選取采樣周期的標稱值，將采樣周期的不確定性部分轉(zhuǎn)化為范數(shù)有界不確定性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。然而在該處理過程中，通常假定時延為常數(shù)或忽略時延。目前，在時變采樣周期控制器設(shè)計方面基本上是狀態(tài)反饋控制器，有關(guān)滿足混合H2／H∞性能指標動態(tài)輸出控制方面的研究少見報道。為此，本文采用矩陣Jordan分解變換方法，將具有時變采樣周期和時延的NCS建模為離散時間凸多面體不確定系統(tǒng)，以線性矩陣不等式的形式，給出滿足混合魯棒H2／H∞性能的動態(tài)輸出反饋控制器存在的充分條件和具體參數(shù)表達式，從而獲得系統(tǒng)動態(tài)性能和穩(wěn)定性兩方面的平衡，數(shù)值仿真結(jié)果表明所設(shè)計的控制器能夠保持系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

1 NCS數(shù)學(xué)模型

考慮如下連續(xù)線性系統(tǒng)：

在繼續(xù)討論之前，先作如下合理假設(shè)：①網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中傳感器時鐘驅(qū)動，兩個連續(xù)采樣時刻的間隔定義為采樣周期，即采樣周期和時延時變、未知但有界，即這里僅考慮短時延的情形，其中數(shù)據(jù)沒有丟包發(fā)生，所有的數(shù)據(jù)都能到達執(zhí)行器。

基于上述假設(shè)，對系統(tǒng)（1）進行離散化，得到：

其中：Ji，i＝1，2，…，p稱為Jordan塊，對于互異實特征值互異共軛復(fù)根0），相應(yīng)的Jordan塊的指數(shù)函數(shù)可分別寫為

參數(shù)k描述Jordan小塊的維數(shù)（大?。琓i為模式矩陣，

使用Jordan分解和式（4）描述的Jordan塊，對實數(shù)和復(fù)數(shù)特征根，相應(yīng)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAct可分別寫為

Si，m為一個與相對應(yīng)的矩陣，在元素出現(xiàn)的地方置1，其他元素全部為0；的定義與此類似。由于指數(shù)函數(shù)的定積分仍是指數(shù)形式，可以把式（2）中包含變量可得到：

其中：v為系統(tǒng)矩陣Ac的最小多項式次數(shù)。對應(yīng)的時變函數(shù)ai（t）（i＝1，2，…，v）在特征根為非零實數(shù)λi∈?時，可寫為tmeλit的形式。若特征根為0，則寫為αi（t）可用Kronecker符號函數(shù)δ1，l描述，l＝1，取為1，其他為0。若特征根為共軛復(fù)數(shù)λi＝σi＋jωi，αi（t）可寫為tmeσitcos（ωit）和tmeσitsin（ωit）。這里有兩個變量hk和τk，t分別被取代為tahk和tahk－τk。則時變函數(shù)αi（t）的數(shù)量為ζ＝2v。Mi和Ni可通過式（5）和式（6）計算得到，是確定的矩陣。

若采樣周期和時延有界，則ai（hk，τk），i＝1，2，…，ζ，也是有界的，其最小值和最大值可通過下式計算得到：

至此，將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的時變采樣周期和時延建模成凸多面體描述的離散時間不確定系統(tǒng)，這是本文分析與設(shè)計的基礎(chǔ)。

2 問題描述和預(yù)備知識

所設(shè)計的全階動態(tài)輸出反饋控制器為

其中：z＾（k）為控制器的狀態(tài)，AK、BK、CK為待確定參數(shù)。在其作用下，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)為

混合魯棒H2／H∞控制問題的任務(wù)是，對于離散凸多面體不確定系統(tǒng)（11），要求設(shè)計的動態(tài)輸出反饋控制器（13），使得對于所有允許的采樣周期和時延的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)（14）漸近穩(wěn)定，同時滿足如下性能指標：

（1）魯棒H2性能：最小化η，使得ω（k）到y(tǒng)2（k）的閉環(huán)傳遞函數(shù)其H2范數(shù)最小，

（2）魯棒H∞性能：給定γ＞0，即ω（k）到y(tǒng)1（k）的閉環(huán)傳遞函數(shù)其H∞范數(shù)滿足

為了解決混合魯棒H2／H∞控制器設(shè)計問題，需要如下引理。

引理1［13］以下結(jié)論是等價的：

（1）存在對稱正定矩陣P＞0，使得：

（2）存在對稱正定矩陣P＞0和一般矩陣G，使得：

引理2［14］對于給定的η＞0，閉環(huán)系統(tǒng)（14）漸近穩(wěn)定，且其充要條件為存在實對稱正定矩陣對所有的時變參數(shù)，且滿足：

3 主要結(jié)果

由于參數(shù)α∈L的不確定性，對稱正定矩陣Q（α）未知。式（18）和式（19）中，存在著未知矩陣變量Q（α）和系統(tǒng)矩陣Acl（α），Ccl（α）的耦合非線性性項和Acl（α）Q（α）需要引入一個自由變量，從而將其解耦，使之變成線性矩陣不等式的形式。

下面的定理給出與引理2等價且具有參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)的H2性能準則。

定理1 對于給定的η＞0，閉環(huán)系統(tǒng)（14）漸近穩(wěn)定，且其充要條件為存在實對稱正定矩陣和一般矩陣G，對所有的時變參數(shù)α∈L，且滿足H2：

證明：式（20）左邊乘αi后求和，可以直接得到式（17），式（21）和式（22）左右同乘αi后求和，運用矩陣Schur補定理和引理1，可以直接得到式（18）和式（19）。證畢。

由離散時間系統(tǒng)的有界實定理［15］，可得到Lyapunov函數(shù)矩陣Pi與閉環(huán)系統(tǒng)矩陣Acl，i解耦的H∞性能準則。

定理2 給定常數(shù)γ＞0，若存在實對稱正定矩陣Pi，i＝1，2，…，μ，對所有的時變參數(shù)有和一般矩陣G，滿足：

則閉環(huán)系統(tǒng)（14）漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標。

證明：過程同定理1，同樣要用到引理1和Schur補定理，其過程略。

需要說明的是，在式（20）～式（22）中，若令W＝Wi，Q＝Qi，Γ＝Γi，得到參數(shù)不依賴的Lypaunov函數(shù)，對應(yīng)的H2性能稱為參數(shù)不依賴H2性能準則。與之相對應(yīng)，在式（23）中，若令P＝Pi，則得到的H∞性能也相應(yīng)地稱為參數(shù)不依賴H∞性能準則，其結(jié)果具有保守性。

定理1和定理2分別給出了時變采樣間隔和時變時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)H2、H∞性能的條件。如果上面兩個定理同時成立，那么閉環(huán)系統(tǒng)（14）就同時具有混合H2／H∞性能。若令Qi＝Pi，式（23）包含式（22）的條件，因此就有如下定理。

定理3 給定常數(shù)γ＞0，若存在實對稱正定矩陣一般矩陣Z、H和適ii當維數(shù)矩陣2，…，μ，若以下凸優(yōu)化問題

約束于：

證明：由式（22）和式（23）可知G非奇異，G－1存在，取不失一般性，假定X＞0、Y＞0、U和V分別行滿秩、列滿秩。定義變化矩陣這樣有：在式（23）兩邊左右乘diag及其轉(zhuǎn)置，進行合同變換。并令得到：

對H2性能指標，運用相同的證明過程，對式（21）兩邊同乘及其轉(zhuǎn)置，進行合同變換，很容易得到式（26）。在式（25）和式（26）中，有暗含著：

的，即V和U是非奇異的。優(yōu)化問題式（24）是一個具有線性矩陣不等式（LMI）約束和線性目標函數(shù)的凸優(yōu)化問題，因此可以應(yīng)用LMI工具箱中的mincx求解器來求解，得出X、Y、S、M、L、F和R值。若U和V可調(diào)用Matlab函數(shù)［V1，U1］＝則有將上述參數(shù)代入式（27），得到動態(tài)輸出反饋控制器的參數(shù)。證畢。

值得注意的是，在式（24）～式（26）中，令W＝Wi，Γ＝Γi，得到參數(shù)不依賴的Lypaunov函數(shù)，對應(yīng)的H2／H∞性能稱為參數(shù)不依賴H2／H∞性能準則（二次穩(wěn)定準則）。約束條件更強（變量參數(shù)少），得到的性能具有保守性。

4 仿真實例

這里引用文獻［8］中的例子，連續(xù)時間系統(tǒng)如下：

在文獻［8］中，系統(tǒng)采樣周期hk在集合中切換，對應(yīng)的時延上限為顯然時延也隨采樣周期切換而變化。在這里，我們設(shè)定采樣周期和時延連續(xù)變化，未知有界，即0，0.1［］s，這樣更具有普遍性。連續(xù)系統(tǒng)矩陣Ac的特征根為λ1＝0.2，λ2＝－7.6，連續(xù)時間系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

（1）首先考慮魯棒H2、H∞性能，由定理1和定理2分別得到ηmin＝4.717 1，γmin＝12.136 74。

（2）考慮混合H2／H∞性能指標，即尋找優(yōu)化問題式（24）約束于式（25）和式（26），分別用參數(shù)依賴和參數(shù)不依賴的Lyapunov函數(shù)取不同的γ＞0值，得到不同H2性能指標ηmin。圖1給出在混合H2／H∞魯棒控制器作用下相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的實際魯棒H2性能與魯棒H∞之間的關(guān)系。若取γ＝12.136 74，優(yōu)化問題式（24）無解。由此可看出，H2性能指標ηmin隨抑制擾動γ增加而減小，說明系統(tǒng)魯棒性與其動態(tài)性能之間存在矛盾，提高系統(tǒng)魯棒性是以降低其動態(tài)性能為條件，反之依然。同時也說明，采用二次Lyapunov函數(shù)得到的控制器具有很強的保守性。

圖1 H2性能指標與抑制擾動γ之間的關(guān)系Fig.1 Relationship between H2 andγ

設(shè)外部干擾信號ω（k）取值，其中n（k）表示零均值，協(xié)方差為0.1的正態(tài)分布噪聲。即：

假設(shè)在第一個控制信號到達被控對象之前，控制信號u（k）＝0（k＜0），對應(yīng)的離散時間系統(tǒng)中，初始狀態(tài)z（0）＝［1－1 0］T，取γ＝17時，求解優(yōu)化問題式（24）。選用參數(shù)依賴的Lypaunov函數(shù)方法，即在式（24）中，取不同的Wi，在約束式（25）和式（26）中，取不同的Γi，i＝1，2，…，μ，得到參數(shù)依賴混合棒H2／H∞動態(tài)反應(yīng)器如下：

圖2為時變采樣周期和時變時延NCS系統(tǒng)在有外界干擾情形下的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)。由圖2可看出，對不穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)，所設(shè)計的動態(tài)輸出反饋控制器能使系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定，同時對外界干擾具有很好的抑制性。

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.2 Response of the closed－loop systeM State

5 結(jié)語

本文將時變采樣周期和時延的NCS建模為離散時間凸多面體不確定模型。以線性矩陣不等式的方式給出滿足混合H2／H∞性能的動態(tài)輸出反饋控制器可解條件及求解算法。數(shù)值仿真驗證了所提出設(shè)計方法的有效性。本文在離散時間系統(tǒng)框架下進行動態(tài)輸出反饋控制設(shè)計，為時變采樣周期的NCS研究開辟了新的途徑。

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