突出過程 注重引導(dǎo) 滲透方法——一節(jié)《指數(shù)函數(shù)及性質(zhì)》新授課課例及分步點(diǎn)評

李紅春，胡順林

（1.武漢市黃陂區(qū)第四中學(xué)，湖北 武漢 430331；2.武漢市黃陂區(qū)姚集中學(xué)，湖北 武漢430322）

2011年10月，由湖北省特級教師盧瓊、武漢市學(xué)科帶頭人翁華木帶領(lǐng)的武漢市黃陂區(qū)名師工作室全體成員一行來到黃陂區(qū)各普通高中，深入課堂一線，圍繞新課程理念如何有效開展這一主題開展調(diào)研活動，其中一位年青教師講授的人教A版必修1中的《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》處處彰顯新課程的理念，深受好評。

一、實(shí)錄與點(diǎn)評

師：大家好，今天陽光明媚，看得出大家心情很不錯!首先我們一起來思考下列問題：

（多媒體出示問題1）

問題1：

①拿一張紙，觀察對折1、2、3、4次后所得的層數(shù)，并歸納對折次數(shù)x與層數(shù)y的關(guān)系．

②從2000年開始，未來20年我國的國民生產(chǎn)總值每年能保持年均7.3%的增長率，如果2000年的GDP是1個單位，請寫出x年后的國民生產(chǎn)總值y與x的關(guān)系。

③“豬流感”是一種病毒，有一定的潛伏期，這段時間里病原體在機(jī)體內(nèi)不斷地繁殖，病原體的繁殖方式有很多種，分裂就是其中的一種，某種球菌分裂時，由1分裂成3個，3個分裂成9個……，寫出一個這樣的球菌分裂x次后，得到的球菌的個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式。

④某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，寫出經(jīng)過x年后剩留量y與x的關(guān)系式。

生：可得①y=2x，（x∈N*）；②y=1.073x（x∈N，x≤20）；③y=3x，（x∈N*）；④y=0.84x，（x＞0）；

（點(diǎn)評：一句親切的話語，能對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生進(jìn)行積極的心理暗示。問題的選取貼近生活，充滿時代氣息，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活。問題（1）通過引導(dǎo)學(xué)生從具體情況出發(fā)，歸納出一般結(jié)論，暗示數(shù)學(xué)研究問題的方法通常是由特殊到一般）

師：大家觀察這四個關(guān)系，它們構(gòu)成函數(shù)關(guān)系嗎？

生：是的，因為右邊的變量在給定的范圍內(nèi)每取一個值，左邊的y都有唯一的值和它對應(yīng)。

（點(diǎn)評：新課程強(qiáng)調(diào)要循序漸進(jìn)的加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)概念的理解，因前面學(xué)生剛剛學(xué)完函數(shù)概念不久，部分學(xué)生不一定能完全消化，此處設(shè)問很好，由此不難看出教師對學(xué)情的了解和對教材的挖掘能力）

師：你能從以上四個關(guān)系式里找到什么異同點(diǎn)嗎？

生：共同點(diǎn)：自變量在指數(shù)位置，底數(shù)是常數(shù)；不同點(diǎn)：底數(shù)的取值不同。

師：哦，很好，象這一類函數(shù)我們稱之為指數(shù)函數(shù)，那么，下面我們就來學(xué)習(xí)它——指數(shù)函數(shù)。（教師板書課題）

師：數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)密的學(xué)科，容不得半點(diǎn)模糊，在以前我們學(xué)過的函數(shù)中，一次函數(shù)用形如y=kx+b（k≠0）的形式表示，反比例函數(shù)用形如 y=k/x（k≠0）表示，二次函數(shù)用y=ax2+bx+c（a≠0）表示，且對其一般形式上的系數(shù)都有相應(yīng)的限制，那么指數(shù)函數(shù)該如何定義呢？

生：形如y=ax形式的函數(shù)！

師：需要限制條件么？大家可以相互討論一下。

生：前面我們學(xué)的指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)對底數(shù)都加了 這一限制條件。

生：如果a=1，指數(shù)函數(shù)變成常數(shù)函數(shù)y=1，也就沒有研究的必要。

生：假如有個函數(shù)是y=（-3）x，x取整數(shù)都有意義，但取分?jǐn)?shù)如時有意義，取時沒有意義，情況很復(fù)

雜。

……

師：大家思考得非常好，前面對指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)已經(jīng)由整數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，而我們研究的函數(shù)其自變量通常在一個連續(xù)區(qū)間內(nèi)取值，如果底數(shù)是負(fù)數(shù)，自變量有的值能取，有的不能取，情況將變得很復(fù)雜，為了使研究的問題有意義而且方便，我們規(guī)定“a＞0且a≠1”?。ǘ嗝襟w出示指數(shù)函數(shù)的定義，并給出問題2）

問題2：判斷下面三個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)：①y=-4x②y=4x+1③y=x4

生：①、②、③都不是指數(shù)函數(shù)。

師：回答很好，③的自變量在底數(shù)位置，顯然不符合指數(shù)函數(shù)的定義，此處①、②雖不是指數(shù)函數(shù)，但它們卻可以由指數(shù)函數(shù)經(jīng)過變換得到，它們與指數(shù)函數(shù)有著緊密的聯(lián)系，我們以后也是借助指數(shù)函數(shù)來研究它們的性質(zhì)。

（點(diǎn)評：《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)要淡化形式，但并不否定形式，教師對形式把握準(zhǔn)確，明確研究的對象。更值得一提的是教師并沒有在否定①、②兩個函數(shù)為指數(shù)以后就此止步，而是指出他們之間有聯(lián)系，為后面研究問題作鋪墊）

師：學(xué)習(xí)函數(shù)的一個很重要的目標(biāo)就是應(yīng)用，但這是基于對函數(shù)性質(zhì)的充分了解為前提，數(shù)學(xué)上我們常常借助函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，所以我們先要畫指數(shù)函數(shù)的圖像，大家還記得初中我們是怎么樣畫函數(shù)的圖像嗎？

生：取點(diǎn)——列表——描點(diǎn)——連線

師：“實(shí)踐出真知”，下面我們就一起來畫，男生畫y=2x和 y=（）x的圖像，女生畫y=3x和y=（）x的圖像。

（幾分鐘后，學(xué)生畫好了，教師用多媒體展示在同一坐標(biāo)系中畫好的這四個圖像）

師：對于函數(shù)前面我們學(xué)習(xí)了與它相關(guān)的哪些內(nèi)容？

生：定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性等。

師：好，大家還記得我們通常怎么確定函數(shù)的定義域嗎？結(jié)合圖形如何判斷函數(shù)的值域、單調(diào)性和奇偶性呢？

生：函數(shù)的定義域就是使表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍。而值域則需要觀察圖像的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的位置，單調(diào)性是看函數(shù)圖像的走勢，奇偶性則看圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對稱!

師：很好!下面大家就結(jié)合剛才這位同學(xué)的回答，指出指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，大家可以相互討論，想好的舉手回答哦。

生：對于 y=ax，（a＞0，a≠1），無論 x 什么數(shù)，式子都有意義，所以定義域為R。

生：整個函數(shù)的圖像都在x軸上方，向上無限延伸，向下與x軸無限接近，但卻沒有交點(diǎn)，故值域為（0，+∞）。

生：函數(shù)的圖形既不關(guān)于原點(diǎn)對稱，也不關(guān)于y軸對稱，所以沒有奇偶性。

生：當(dāng)?shù)讛?shù)a＞1時，順著x軸正方向圖象逐漸上升，故是增函數(shù)；0＜a＜1時，順著x軸正方向看圖象逐漸下降，故是減函數(shù)。

師：很好，四個函數(shù)的圖像單調(diào)性不盡相同，圖形與坐標(biāo)軸的相對位置也有差異，但四個圖形在坐標(biāo)系中卻過同一點(diǎn)，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：過點(diǎn)（0，1）。

師：你能從理性上給予分析嗎？

生：因為無論底數(shù)a取何值，a0=1，即x=0時。

師：很好，剛才我們分析的是一個函數(shù)的圖像特征，你們能觀察出y=2x、y=（）x和 y=3x、y=（）x之間的位置關(guān)系嗎？

生：y=2x與 y=（）x關(guān)于 y軸對稱，y=3x與 y=（）x也關(guān)于y軸對稱。

師：能推廣到一般情況嗎？

生：y=ax與 y=a-x，（a＞0，a≠1）關(guān)于 y 軸對稱。

師：你們觀察能力很強(qiáng)哦，可還只是感性上的認(rèn)識，能從理性上給予分析嗎？

圖形是由點(diǎn)組成的，圖形的對稱不妨從點(diǎn)的對稱著手分析。

（點(diǎn)評：解決數(shù)學(xué)問題首先要抓住問題的突破口，當(dāng)發(fā)覺學(xué)生的思維受阻時，教師的引導(dǎo)極為重要）

生：點(diǎn)（1，2）和點(diǎn)（-1，2）分別在 y=2x和 y=（）x上；點(diǎn)（2，4）和點(diǎn)（-2，4）也分別在 y=2x和 y=（）x上，……，哦，若點(diǎn) P（m，n）在 y=ax上，那么 P（-m，n）必在y=a-x上，這兩個點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)卻相同，他們關(guān)于y軸對稱。圖形是點(diǎn)組成的，故圖形關(guān)于y軸對稱。

師：這位同學(xué)回答得非常正確，先從特殊情況尋找規(guī)律，再回到一般情況思考問題，這是我們處理數(shù)學(xué)問題常用的方法。下面我們一起把指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作一個總結(jié)。（多媒體展示指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）

（點(diǎn)評：在學(xué)習(xí)活動中，不但重視“知識與能力”的培養(yǎng)，更注重“過程與方法”的提煉，在某種程度上，學(xué)生學(xué)會解決問題的方法比靜態(tài)的知識更重要，正所謂“授人以魚，不如授人以漁”，這正是新課程所倡導(dǎo)的）

師：我們研究函數(shù)的性質(zhì)是為了利用性質(zhì)解決問題，下面我們來看指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用。

（多媒體出示問題3）

問題3：比較下列各題中兩值的大小：

①1.72.5“、1.73；②0.80.1、0.8-0.2；③1.70.3、0.93.1

生：①根據(jù)y=1.7x在R上是增函數(shù)，而2.5＜3，故1.72.5＜1.73，②根據(jù) y=0.8x在 R 上是減函數(shù)，而 0.1＞0.2，故0.80.1＜0.80.2，對于問題③學(xué)生不是很清楚如何解。

師：試一試看能不能從圖形上找到突破口。

生：從草圖上容易看出：1.70.3＞1，而 0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1。

師：很好，請大家總結(jié)一下常見指數(shù)式大小比較的方法。

生：對于同底的指數(shù)式可以借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決，而對于不同底的指數(shù)式則可嘗試尋找中間值過渡。

師：下面這些問題對大家可有點(diǎn)挑戰(zhàn)哦，但我相信你們一定有辦法?。ǘ嗝襟w出示作業(yè)題）

問題4：

①我國古代的思想家莊子曾寫過這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，你能用今天所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解釋其中的道理嗎？

②已知下列不等式，比較m和n的大?。?/p>

a.2m＜2nb.0.2m＞0.2nc.am＞an（a＞0且a≠1）.

③函數(shù) y=ax-3+3（a＞0 且 a≠1）恒過定點(diǎn) ______.

（點(diǎn)評：作業(yè)題1將莊子的思想引入數(shù)學(xué)試題中彰顯了數(shù)學(xué)的文化性與趣味性，可謂獨(dú)具匠心，而作業(yè)題2和3的設(shè)置既重在鍛煉學(xué)生的逆向思維能力，更重在考察學(xué)生學(xué)習(xí)的可發(fā)展性）

師：同學(xué)們，快樂的時光總是那么短暫，轉(zhuǎn)眼一節(jié)課就要結(jié)束了。今天我們從生活中引出了指數(shù)函數(shù)的概念，并通過親自畫出圖形，一起分析出了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，最后還學(xué)會利用單調(diào)性來比較指數(shù)式的大小，在探究問題的過程中，大家初步領(lǐng)悟到處理數(shù)學(xué)問題中的一種重要思維方法，即先從特殊情況尋找規(guī)律，再回到一般情況思考問題。值得一提的是，在學(xué)習(xí)活動中，大家思考問題積極，回答問題主動，面對困難時不輕言放棄，令我滿意！

（點(diǎn)評：課堂小結(jié)打破了傳統(tǒng)做法中只重視知識回顧，充分體現(xiàn)了新課程對“過程與方法”“情感與態(tài)度價值觀”的關(guān)注，值得借鑒）

二、總評與思考

指數(shù)函數(shù)是高中研究的第一種具體函數(shù)，在初中學(xué)生已經(jīng)初步探討了正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這節(jié)課從內(nèi)容上講，重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)，要點(diǎn)在于弄清楚底數(shù)a對于函數(shù)值變化的影響，而函數(shù)值變化的不同情況是本節(jié)課的難點(diǎn)。作為一所普通的農(nóng)村中學(xué)，學(xué)生基礎(chǔ)教薄弱，基于這樣一個前提，圍繞如何激發(fā)學(xué)生充分的參與課堂教學(xué)活動，如何讓簡單的教學(xué)內(nèi)容學(xué)得生動有趣，如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中既學(xué)會知識又掌握方法，本節(jié)課教師都作了深入的思考。

在教學(xué)過程中，教師和學(xué)生一起從實(shí)際問題出發(fā)，提煉出本節(jié)課研究的對象指數(shù)函數(shù)，接著引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖像分析指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，最后應(yīng)用性質(zhì)解題。在整個教學(xué)過程中，教師通過層層遞進(jìn)的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生一起經(jīng)歷了知識的發(fā)生和發(fā)展過程，充分體現(xiàn)了新課程構(gòu)建主義的教育理念。本節(jié)課還留給了我們?nèi)缦滤伎肌?/p>

（一）課堂教學(xué)導(dǎo)在何處值得深思

長久以來，一談到教學(xué)的本質(zhì)和教學(xué)過程中師生的角色定位，我們的老師現(xiàn)在都會這樣說：教學(xué)是一種特殊的認(rèn)知活動，在課堂教學(xué)中，教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體。但問題是我們的教師是否真的讀懂了這個“導(dǎo)”字？我們的學(xué)生是否真的成為了學(xué)習(xí)的主體？在本節(jié)課中，教師是通過一串問題鏈把握住課堂的主導(dǎo)權(quán)，層層推進(jìn)課堂教學(xué)，卻最大限度地把思考的空間留給學(xué)生，無論是概念的引入，圖像的畫出，性質(zhì)的探究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都不是教師越俎代庖的結(jié)果，而是學(xué)生積極參與思考的結(jié)晶，但這一切又離不開教師的引導(dǎo)。教師真正做到了“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”。那么教師究竟導(dǎo)在何處呢，本節(jié)課至少給我們展示了可從以下幾個方面努力：

①課前激發(fā)學(xué)生求知欲望，引導(dǎo)他們迅速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

②課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在新舊知識的銜接點(diǎn)上展開思維。

③問題探究中指導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)解決問題的方法。

④課后反思中引導(dǎo)學(xué)生對知識進(jìn)行歸納整合。

（二）要辯證看待學(xué)生課前預(yù)習(xí)活動

傳統(tǒng)教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生的課前預(yù)習(xí)，甚至認(rèn)為那是學(xué)習(xí)必不可少的一個環(huán)節(jié)。我覺得對于有些淺顯易懂的課應(yīng)該讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，給學(xué)生一個自主學(xué)習(xí)的機(jī)會；而對于有些概念性強(qiáng)、思想方法豐富、思維能力要求比較高的課則不要求學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)。就這節(jié)課而言，事實(shí)上對于大多數(shù)學(xué)生課前的預(yù)習(xí)就是把課本看一遍，看完后他們似乎掌握了這節(jié)課的知識。但是，課堂上他們可能就此失去了鉆研問題的熱情，探究問題的耐心，失去思考問題時所用到的數(shù)學(xué)思想方法；更為可惜的是，由于他們沒有充分參與解決問題的過程，失去了直面困難、迎難而上的磨煉。

（三）體驗是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的一個環(huán)節(jié)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：要讓學(xué)生在參與特定的數(shù)學(xué)活動，在具體的情景中認(rèn)識對象的特征，獲得體驗。我覺得，讓學(xué)生親歷體驗既能讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律和方法，還能在體驗的過程中不斷完善自身的學(xué)習(xí)習(xí)慣、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、磨煉意志品質(zhì)和豐富情感態(tài)度。在本節(jié)課的教學(xué)活動中學(xué)生的觀察能力、分析能力、歸納能力、語言表達(dá)能力都得到了鍛煉。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下不斷體驗學(xué)習(xí)的快樂，共同分享成功的喜悅，樹立了嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度。