組成干涉陣列的陣元數(shù)目問題研究*

張遠修，汪 敏

(1.中國科學院國家天文臺/云南天文臺，云南 昆明 650011;2.中國科學院研究生院，北京 100049)

二十世紀上半葉，結晶學家探討了一種理論，可用間接方法獲得圖像。20世紀50年代初，英國劍橋大學卡文迪許實驗室的射電天文學家賴爾等人，把這種理論發(fā)展成射電天文中的綜合孔徑技術，綜合孔徑技術的應用使得在射電波段生成了圖像，這對射電天文學的發(fā)展具有重要的推動作用，賴爾也因此獲得了1974年的諾貝爾物理學獎。由于在射電波段使用干涉陣列的成像過程中，試圖使用接收不完全的數(shù)據(jù)恢復完整的原始二維圖像信息，所以不可避免地產生一個生成圖像質量的問題。人們總是試圖用最小的代價和成本獲得最好的效果和收益。于是，在一定的成本下如何尋找最好的布陣方案成為射電天文學家關心的問題。

由于綜合孔徑陣型優(yōu)化設計的復雜性，目前尚未有完美的解決方案。為了簡化問題，許多優(yōu)化設計方案一般只考慮其中幾項重要指標，如UV覆蓋均勻性、旁瓣水平等。Kogan在1997年針對產生最小的旁瓣提出天線陣優(yōu)化算法［1］，Boone在2001年提出了壓力算法用于以減少旁瓣為目的的優(yōu)化［2］。近來年，關于陣列設計和造型的研究主要集中于陣列的優(yōu)化工作［3－6］。而Bonton于1999年曾指出對于二維陣列的優(yōu)化沒有完美的解決方案，甚至難以制定一個好的優(yōu)化標準［3］，部分研究也注意到討論關于評價標準的問題，張仙玲在2006年結合不同類型的圖像指出，若頻率采樣點數(shù)固定，低頻點越多，圖像失真度越?。?］;Wenger等在2010年結合模擬干涉生成的圖像質量認為，在低頻分量的UV覆蓋采樣更加重要［8］。這些研究工作大多圍繞著陣列的優(yōu)化、評價等展開，而研究中一般將天線的陣元數(shù)目作為預先的設定，以此設定為前提進行陣列的優(yōu)化設計工作，本文將陣元數(shù)目作為一個待解決的問題進行討論，并利用現(xiàn)有的優(yōu)化、評價方法為太陽低頻射電陣列陣元數(shù)目的確定提供參考。

1 干涉成像模型

由于干涉陣列的設計工作大多要在陣列建設之前進行，所以綜合孔徑成像的過程需要在計算機上進行模擬運行，這時就需要用到干涉成像的模型。干涉成像主要基于van Cittert-Zernike定理［7］，即通過測定非相干天體目標源在出瞳面內產生的互相關強度大小，獲得天體目標源的特征分布，如亮度、尺寸大小等。綜合孔徑成像原理為通過安置有限個數(shù)的天線組成陣列，并將任意兩個天線接收到的數(shù)據(jù)進行相關處理。對于亮度分布為I(l，m)的非相干觀測源，根據(jù)van Cittert-Zernike定理，在坐標分別為(x1，y1)與(x2，y2)的兩天線間的相干強度為:

這是干涉成像的理論依據(jù)。下面給出在計算機上進行模擬綜合孔徑成像過程。假設二維天體目標源亮度分布為I(x，y)，其傅里葉頻譜為V(u，v)。其中，x、y為空域坐標;u、v為頻域坐標。則干涉陣列對V(u，v)的抽樣函數(shù)S(u，v)可表示為:

則實際獲得的頻譜V'(u，v)表示為:

V'(u，v)為對V(u，v)抽樣的結果。根據(jù)傅里葉變換的性質，對上式兩邊作傅里葉逆變換得:

為了簡化，這里用FT－1符號表示傅里葉逆變換。

在計算機上做模擬成像時使用的模擬干涉成像流程如圖1，首先使用實驗圖像模擬觀測對象的亮度分布I(x，y)，對其進行傅里葉變換到頻域V(u，v)，再使用S(u，v)對其進行采樣得到然后進行傅里葉逆變換得到臟圖，最后去卷積生成最終圖像I*(x，y)。

圖1 模擬綜合孔徑成像過程流程圖Fig.1 Flowchart of simulated synthetic-aperture imaging

2 實驗設計

本文工作主要源自太陽低頻射電陣列計劃(簡稱低頻陣)預研究的需要，所以本文的實驗以低頻陣的設計需要為例進行討論，首先介紹計劃中低頻陣的基本情況。

2.1 太陽低頻射電陣列概況

計劃中的低頻陣使用基于綜合孔徑技術和千兆網光纖數(shù)據(jù)傳輸。它工作在20～600 MHz頻段，時間分辨率為10 ms(快照)，頻率分辨率為0.1～1 MHz可調，角分辨率約1.0～30″，靈敏度0.1 sfu。它將對太陽中高層日冕劇烈活動—耀斑、日冕物質拋射進行觀測研究，在空間災害天氣實時預警預報方面，發(fā)揮不可替代的重要作用。太陽低頻射電陣列的科學目標包括磁場測量、磁重聯(lián)、日冕物質拋射、高能粒子加速問題，是太陽物理學中最重要研究方向，耀斑、日冕物質拋射是最重要的觀測對象。射電觀測提供了對日冕等離子體、瞬變過程、高能粒子加速/傳輸?shù)莫毺卦\斷。該陣列的主要性能參數(shù)見表1。

表1 計劃中的太陽低頻陣列主要參數(shù)Table 1 Parameters of the Low-Frequency Solar Array

對干涉陣列設計的過程可以假定其觀測對象是各種太陽活動，使用快照模式進行觀測。另外由于天線陣列分布的幾何尺度比較大，必須使用后相干的方法。天線的數(shù)目在本文中作為待定項目進行討論。

2.2 評價方法

評價標準實際上是一個類似于價值觀的問題，它決定了陣列的優(yōu)化、設計的方向，也必然影響對陣元數(shù)目的研究。各種評價方法有各自的優(yōu)勢和缺點，沒有一種完美的評價方法，所以考慮將旁瓣水平、能量覆蓋率、平均方差3種代表性的評價方法分別應用于實驗。3種評價方法的具體定義如下:

(1)旁瓣水平:在(7)式中h(x，y)就是對點擴散函數(shù)的定義，在點擴散函數(shù)的基礎上可以繼續(xù)給出旁瓣水平(Sidelobe Level，SL)的定義:

式中，δn為位于點擴散函數(shù)中心的主瓣的峰值;δm為最大旁瓣的峰值。

(2)能量覆蓋率(Energy Coverage Rate，ECR):這種方法認為對大多數(shù)圖像(包括綜合孔徑成像)而言，在傅里葉頻域較為重要的部分就是能量較高的部分。由于不同觀測對象的能量分布可能會有很大的差別，于是可以使用針對將來可能觀測到的大量觀測對象的統(tǒng)計，給出一個統(tǒng)計意義上的能量分布作為評價的依據(jù)。根據(jù)實際需求中潛在的觀測對象，可以將大量與觀測對象相同類型的圖像累加起來，然后得到一幅統(tǒng)計意義上能量分布頻譜:

在收集過程中，要保證這些圖像的形態(tài)盡量廣泛和具有代表性，進而可以認為這幅統(tǒng)計意義的頻譜能夠代表將來觀測對象的頻譜分布。于是，能量覆蓋率在這幅統(tǒng)計頻譜上可以定義為:

式中，S(u，v)為采樣函數(shù);Vn(u，v)是統(tǒng)計的頻譜分布。

(3)改進的平均方差:全參考圖像質量評價是將失真圖像(綜合孔徑生成的圖像)與原始圖像(實驗測試圖像)進行比較得出圖像失真的程度。在干涉成像中，原始圖像就是測試圖像I(x，y)，最后的生成圖像可以看作失真圖像，所以干涉成像的過程實際上可以看作對觀測目標的某種失真過程，于是客觀評價技術非常適合干涉成像質量的評價。圖像客觀評價技術的內容非常豐富［9－11］，文中使用一種改進的平均方差(Mean Squared Error，MSE)方法用于干涉成像的圖像評價。MSE是一種最簡單也是最古老的圖像質量評價方法［10］，它直接將圖像中每一個像素做方差然后累加，作為對圖像失真程度的估計:

式中，w、h分別為圖像的長和寬;n為整幅圖像的像素數(shù)，即w×h。為了更適合模擬綜合孔徑生成的圖像，需要使用像素灰度的相對值代替其絕對值。對像素灰度的相對值定義如下:

式中，mi，j是該像素在整幅圖像所有像素中按灰度值進行排序后的次序;n為整幅圖像的像素數(shù)。則基于排名的平均方差(Ranking MSE，RMSE)可定義為:

在這3種評價方法中，旁瓣水平是一種與觀測對象無關的評價方法，從某種意義上講它的結果適用于各種類型的干涉陣列陣元數(shù)目的討論，而能量覆蓋率和平均方差的評價方法與實際觀測對象相關，其實驗結果僅限于本文中對太陽低頻陣列的討論。評價標準的計算實際上就是作為優(yōu)化算法中的適應度計算，在實驗的設計中對這3種評價方法使用3個種群分別進行優(yōu)化。

2.3 優(yōu)化方法

由于需要對不同陣元數(shù)目情況下陣列的成像質量進行考察，這就要求不能將在某個陣元數(shù)目下的任意陣列作為該陣元數(shù)目下的代表，而需要一個最優(yōu)的或接近最優(yōu)的陣列的性能作為這種陣元數(shù)目下的性能代表，得到這個最優(yōu)或次優(yōu)的陣列需要使用優(yōu)化逼近的辦法一步一步地接近最優(yōu)，這就是優(yōu)化算法的任務。優(yōu)化算法非常多，遺傳算法就是一種得到廣泛應用的方法，在實驗中使用遺傳算法進行優(yōu)化。

遺傳算法起源于對生物系統(tǒng)進行的計算機模擬研究，生物的進化過程主要通過染色體之間的交叉和變異完成。遺傳算法的基本運行步驟描述如下［12］:(1)隨機產生N個個體，組成初始種群，種群中每一個個體代表問題的一個候選解。然后根據(jù)優(yōu)化問題，計算種群中每個個體的適應度值。(2)對種群中的個體執(zhí)行交叉、變異等操作，產生新的個體，并且選擇一定數(shù)量的個體形成新的種群。(3)判斷是否滿足算法終止條件，若滿足，則輸出最優(yōu)解或最終種群;否則回到步驟(2)，繼續(xù)循環(huán)過程。流程如圖2。

遺傳算法的設計過程主要考慮以下幾個重要組成部分:遺傳編碼、適應度計算、遺傳操作算子等，分別進行簡單介紹并給出實驗中使用的方法。

圖2 遺傳算法流程圖Fig.2 Flowchart of the Genetic Algorithm

(1)遺傳編碼。遺傳算法在求解優(yōu)化問題時，是通過建立問題的決策變量與種群中個體之間的一一對應關系，對個體進行操作。因此，確定個體的編碼與解碼方式是遺傳算法首先要解決的問題。不同的編碼方式決定了不同的遺傳操作方式。實驗中使用的遺傳編碼方法較為簡單，每個天線位置坐標的兩個整數(shù)作為對每個個體的編碼，如(100，127)、(212，54)等。

(2)適應度值的計算。為了遵循適者生存的原則，遺傳算法需要對個體進行評價，賦予其適應度值。評價方法實際上就是適應度計算，其中能量覆蓋率的指標是向上優(yōu)化(越大越好)，而旁瓣水平和平均方差是向下優(yōu)化(越小越好)。根據(jù)實際測試發(fā)現(xiàn)，對陣列優(yōu)化的需要而言，使用對數(shù)的適應度變換效果較好，變換規(guī)則為a'=log(1.0+a)。其中，a為直接計算的適應度值;a'為變換后的數(shù)值。

(3)選擇算子。選擇算子是模擬自然選擇，對種群中的個體進行優(yōu)勝劣汰，從父代群體中按某種規(guī)則選取一定數(shù)量的個體遺傳到下一代群體中。文中使用比例選擇的方法，其中也隱含著精英保留策略，每個個體生存下去的概率為:

式中，ri為該個體在整個種群中適應度的排名;n為種群數(shù)目。

(4)交叉算子。交叉操作是生物遺傳和進化的主要環(huán)節(jié)，是遺傳算法區(qū)別于其它進化算法的特征。在遺傳算法中，交叉算子通過模仿自然界有性繁殖的基因重組過程，將兩個個體的部分基因互換，從而在產生新個體的同時，將父體的優(yōu)良基因遺傳給新個體。由于基因編碼比較簡單，所以交叉也使用普通的兩點交叉方法。例如，兩個體(100，127)、(212，54)進行兩點交叉產生的子代為(100，54)、(212，127)。

(5)變異算子。變異操作是模擬自然界生物遺傳和進化過程中，染色體上某些基因發(fā)生的突變現(xiàn)象。在遺傳算法中，變異操作主要作用于個體的等位基因上，將某些基因位上的基因用其它等位基因替換，從而產生新的個體。一般而言，在遺傳算法中，變異算子的作用沒有交叉算子那么顯著，執(zhí)行概率取值較小。實驗中使用均勻的變異算子，每一個個體的兩個基因都以相同的概率變異為一個任意的合法取值。

由于實驗中的計算量很大，并且討論具有估計、估算的性質，在速度和準確性存在矛盾的情況下，更傾向于保證較快的計算速度。進行實驗的陣元數(shù)目從20到100，在3種評價模式下，這樣一共需要建立240個種群，每個種群規(guī)模設置為1000。

2.4 實驗結果

根據(jù)實驗測試，進行一次優(yōu)化所需的時間旁瓣水平∶能量覆蓋率∶平均方差≈100∶1∶150。由于能量覆蓋率的計算速度最快，在一定時間內可以對能量覆蓋率進行更多次的優(yōu)化，其優(yōu)化更為充分，可能更接近于最優(yōu)。實驗中對以能量覆蓋率為目標的優(yōu)化進程如圖3。

圖3 陣列優(yōu)化的進程示意圖Fig.3 Course of the optimization experiment

圖3分別列舉了20、40、60、80和100個陣元情況下以能量覆蓋率為目標的優(yōu)化進程，可以看到在優(yōu)化剛開始時優(yōu)化進展較快，后期趨于緩和，并且陣元數(shù)目較多的情況始終保持著比更少陣元的較高能量覆蓋率水平。從另外一個角度，展示了整個優(yōu)化過程的情況(圖4)。

圖4 陣列優(yōu)化進程示意圖Fig.4 Course of the optimization experiment showing progress over number of array elements

圖4展示的是在100個陣元情況下的優(yōu)化開始前和分別進行10、100、1000、10000次優(yōu)化的各種陣元數(shù)目情況下的能量覆蓋率水平?？梢钥吹皆趦?yōu)化剛開始時，不同陣元間的差別較大，優(yōu)化到1000、10000以后，不同陣元的差別趨于穩(wěn)定增長的水平。給出了實驗的進程之后，最后給出實驗得到的陣元數(shù)目分別與旁瓣水平、能量覆蓋率和平均方差的對應關系(圖5)。

圖5 各種評價標準與陣元數(shù)目的對應關系示意圖Fig.5 Relation between each evaluation criterion and number of array elements

圖5中的圓點均為實驗數(shù)據(jù)，曲線為擬合曲線。其中旁瓣水平和平均方差使用冪函數(shù)進行擬合，擬合曲線的函數(shù)關系式分別為 y=1.129 1x－0.909和 y=4 160.8x－0.5717。能量覆蓋率用一次函數(shù)進行擬合，解析式為y=0.001 8x+0.155 6。函數(shù)定義域均為［20，100］，在定義域內可以認為擬合函數(shù)具有較好的準確性。

3 結果利用

有了評價標準與天線數(shù)目的關系曲線，如何確定具體該建設多少個天線，總結起來可以有如下3類方法:

(1)成本截斷。假定成本固定或者有嚴格上限，由于無論使用何種評價指標，天線數(shù)目的增加總意味著干涉陣列性能的提高，所以在成本允許的情況下，需要盡量建設較多的天線。在此基礎上根據(jù)各方面的成本計算，最后可以得出最多可建設的天線數(shù)目。成本截斷的方法必然要配合成本的估計和計算進行，對成本的估算也是一個非常復雜的問題。

(2)效果截斷。這種方法假定成本在某一范圍內可以接受，用效果作為截斷的依據(jù)，一旦達到某個預定的效果，則可以作為天線的數(shù)目。效果截斷的依據(jù)使用主觀評價的結果，主觀評價的一種劃分標準為［11］:①好的——可供觀賞的高質量的圖像，干擾并不令人討厭;②可通過的——圖像質量可以接受，干擾不討厭;③ 邊緣的——圖像質量較低，希望能加以改善，干擾有些討厭;④ 劣等的——圖像質量很差，尚能觀看，干擾顯著令人討厭;⑤ 不能用的——圖像質量非常差，無法觀看。使用主觀評價實驗可以得出每個主觀標準與各種客觀評價方法的對應關系(表2)。

表2 主觀效果與各種評價標準的對應關系Table2 Various evaluation criteria for subjective judgements

由于在射電波段的綜合孔徑成像是一個復雜的問題，所以不能寄希望于生成絕對高質量的圖像，達到第3級效果的陣列已經可以滿意，根據(jù)這3條標準在實驗結果中進行截斷，在3種評價標準下建議天線數(shù)目分別為61、59、55。

(3)其他方法。除了以上兩種方法之外可以使用綜合的方法，如增加陣元效率(Increasing Array Element Efficiency，IAEE)、性能價格比(Price-Performance Ratio)等，也可以考慮進一步將問題轉換成一個基于更多約束條件的多目標優(yōu)化問題。以平均方差為目標的增加陣元效率為例進行討論，設平均方差與天線數(shù)目的對應關系RMSE=f(x)，則增加陣元效率定義為在當前陣元數(shù)目的基礎上再增加天線帶來的單位性能受益，即LAEE=f'(x)。根據(jù)前面的擬合結果可以得到以平均方差為標準的增加陣元效率LAEE=－2 378.7x－1.5717，表3列出了該函數(shù)的部分取值。

表3 不同陣元數(shù)目下的增加陣元效率Table 3 IAEE for different numbers of array elements

可以看到當陣元數(shù)目達到90后，再增加天線帶來的性能提升僅為20個陣元時的不足9.4%，而當陣元數(shù)目為50、60時其性能提升約為20個陣元時的23.7%、17.5%，結合效果截斷的結果認為建設50～60個天線作為陣元共同組成太陽低頻射電陣列是較為合理的選擇。

4 結論

在許多關于陣列設計的研究中將組成陣列的陣元數(shù)目作為已知或一個預設，然后在此基礎上展開對干涉陣列的設計、優(yōu)化等工作。本文將陣列數(shù)目作為一個待定的問題進行討論，通過一定的實驗和分析得出較為合理的陣元數(shù)目建議。首先通過遺傳優(yōu)化算法分別得出3種評價標準與天線數(shù)目的對應關系，然后利用截斷和計算的方法對陣元數(shù)目給出推薦值。按照本文的實驗結果和討論認為太陽低頻陣列建設50～60個天線是比較合理的陣元數(shù)目候選范圍，如果受成本限制較多則考慮建設50個左右天線組成陣列，如果需要適當提高性能則可以增加至60個或更多，具體進行建設的準確數(shù)字要根據(jù)成本、建設地點等更多實際情況最終確定。

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