鼓型振動(dòng)膜系統(tǒng)的振動(dòng)方程解及其振動(dòng)模式特性

成泰民， 葛崇員， 孫樹生

(沈陽化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽110142)

Elias F等利用均勻的肥皂薄膜演示了聲波的傳播［1］.他們利用圓形管子清楚地演示了管子中的聲駐波，圓形肥皂薄膜的振動(dòng)模式的演示實(shí)驗(yàn)中有1張照片是2個(gè)半圓形的圖［1］.這張圖與一階第一類貝塞爾函數(shù)的等值線圖結(jié)果非常相近，這引起了筆者的注意.膜結(jié)構(gòu)是一種新型的張力結(jié)構(gòu)形式.膜結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)在于剛度小、重量輕、受力作用后變形大.由于膜結(jié)構(gòu)的上述特點(diǎn)，膜結(jié)構(gòu)對微小振動(dòng)作用很敏感，所以研究膜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性尤為重要［2－3］.呼格吉樂等研究了圓形和特殊三角形平板振動(dòng)模式，并利用Mathematica 7.0模擬了易拉罐底振動(dòng)的全息圖［4］，但沒有研究振子位置對圓形薄膜振動(dòng)的影響.羅吉等利用分離變量法對圓環(huán)膜橫向自由振動(dòng)進(jìn)行了推導(dǎo)并給出了系統(tǒng)的頻率及節(jié)線［5］.上述工作理論上都涉及到貝塞爾函數(shù)，貝塞爾函數(shù)屬于特殊函數(shù)［6－10］.對于圓形、圓環(huán)型薄膜的振動(dòng)的偏微分方程［6－10］的求解中常采用柱坐標(biāo)或者極坐標(biāo)，并且一般采用分離變量法.為此，本文對半徑為r0的鼓的圓形振動(dòng)面上以角頻率ω振動(dòng)的諧振子處于(r'，θ')位置時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)方程進(jìn)行研究.這對理解鼓型振動(dòng)膜系統(tǒng)的振動(dòng)方程的解及其振動(dòng)模式特性具有關(guān)鍵意義.

1 鼓型振動(dòng)膜系統(tǒng)的振動(dòng)方程及其解的表達(dá)式［5，11］

半徑為r0的鼓的圓形振動(dòng)面上以角頻率ω振動(dòng)的諧振子處于(r'，θ')位置時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)方程可寫成

其中υ為波的傳播速度.利用分離變量法把ψ(r，θ，t)寫成

將(2)式代入到(1)式可得

其中k=ω/υ.

利用滿足圓形振動(dòng)面上的齊次微分方程▽2φ(r，θ)+k2φ(r，θ)=0及其邊界條件(在r=r0處φ(r，θ)=0)的解表示(3)式振動(dòng)方程的級(jí)數(shù)展開的解為

對于(4)式的φ(r，θ)級(jí)數(shù)展開為

將(5)式代入到(4)式，即可確定其系數(shù)

將(6)式代入到(5)式可得

(7)式是利用不同m的貝塞爾(Bessel)函數(shù)的級(jí)數(shù)形式的解.令

其中f(r)是區(qū)間［0，r0］的連續(xù)函數(shù)，可以展開成Jm(kmnr)的Fourier-Bessel級(jí)數(shù)［1］:

因?yàn)镴m(kmnr)=0的根為kmnr0(表示m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)零點(diǎn)(不包括坐標(biāo)原點(diǎn)))，從而可得

將(10)式、(9)式代入到(8)式，并與(7)式相比較可得

其中連續(xù)函數(shù)f(r)是關(guān)于k的函數(shù)，并且滿足邊界條件(在r=r0處f(r0)=0).因此可寫成

其中:r＜表示r＜r0的位置，r＞表示r＞r0的位置，r0是振子位置.而且Hm(kr＞)及Hm(kr0)是Hankel函數(shù)，其表示分別為

(13)式中Nm(kr＞)和Nm(kr0)是Neumann函數(shù).當(dāng)r＜r'時(shí)，(12)式可寫成

當(dāng)r＞r'時(shí)，(12)式可寫成

將(16)式代入到(8)式可得滿足方程(3)式與邊界條件的表達(dá)式

(17)式表示圓形振動(dòng)面上產(chǎn)生的本征函數(shù)φ(r，θ)隨著振子的位置(r'，θ')不同發(fā)生變化規(guī)律.

2 討論

振子的波數(shù)與鼓的固有波數(shù)一致時(shí)，產(chǎn)生共振.因此當(dāng)k=kmn時(shí)φ(r，θ)的振幅最大，將(17)式改寫成

時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)m'=m時(shí)，φ(r，θ)的振幅最大，其余的項(xiàng)相對于這個(gè)項(xiàng)是非常小的項(xiàng)，可以忽略不計(jì).因此當(dāng)k=kmn時(shí)，(17)式可表示為

在(18)式中與r'相關(guān)的函數(shù)

隨著振子位置r'的不同，振動(dòng)面的振幅依賴于貝塞爾函數(shù)，并且當(dāng)k=kmn時(shí)振幅變得無限大.

對(18)式中的eim(θ－θ')只取實(shí)部cos［m(θθ')］，并且只考慮振動(dòng)面振幅相對變化規(guī)律的部分，那么可得

當(dāng)θ=θ'時(shí)，振動(dòng)面的振幅最大.因此，振動(dòng)模式也隨著振子方位角θ'發(fā)生旋轉(zhuǎn).表示f(r)的相對變化規(guī)律的部分為

根據(jù)(2)式、(18)式、(19)式，鼓型振蕩模的振動(dòng)模式的變化可表示為

其中:φ0為振動(dòng)模式的初位相，ωmn為對應(yīng)kmn的角頻率.當(dāng)(21)式中若取 θ'=0，且不考慮Jm(kmnr')部分，那么其變化規(guī)律與文獻(xiàn)［4］所述一致.即(22)式更全面地考慮了敲擊鼓的諧振子位置對鼓的振動(dòng)模式的影響.

3 實(shí)驗(yàn)及理論模擬

實(shí)驗(yàn)裝置很簡單，如圖1所示，需半徑為0.3 m的圓形鼓1個(gè)、1臺(tái)信號(hào)發(fā)生器、與傳感器相連的可移動(dòng)振子1個(gè)、1臺(tái)數(shù)碼相機(jī)、一些染黑色的干燥沙子.把沙子平鋪在鼓面上，并由信號(hào)發(fā)生器調(diào)節(jié)振子的頻率，鼓面上的沙子在振子的周期性敲擊下出現(xiàn)其振蕩模式，振幅最小的區(qū)域(即節(jié)線區(qū)域)沙子將堆積成圖.

圖1 圓形鼓振動(dòng)模式實(shí)驗(yàn)裝置Fig.1 The experimental device of a drum vibration

3.1 鼓型振蕩模振動(dòng)模式的變化規(guī)律

利用(19)式、(20)式，并且假設(shè)鼓的半徑為r0=0.3 m時(shí)，k11r0=3.831 706 0，k21r0=5.135 622 3，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系x=rcosθ;y= rsinθ，根據(jù)(19)式可得直角坐標(biāo)下的振動(dòng)模式，并利用Mathematica 7.0模擬［10，12］，結(jié)果如圖2、圖3所示.

圖2 當(dāng)(m，n)=(1，1)時(shí)鼓型振蕩膜振動(dòng)模式的變化規(guī)律Fig.2 The variation of vibration mode of drum vibration membrane system at(m，n)=(1，1)

圖3 當(dāng)(m，n)=(2，1)時(shí)鼓型振蕩膜振動(dòng)模式的變化規(guī)律Fig.3 The variation of vibration mode of drum vibration membrane system at(m，n)=(2，1)

從圖2、圖3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬可知，振子所處位置的方位角θ'變化引起振動(dòng)模式圖樣繞圓心發(fā)生旋轉(zhuǎn).這是因?yàn)槭构拿娈a(chǎn)生共振的最大振幅的位置在圓心與振子的連線上.從系統(tǒng)的對稱性角度進(jìn)行分析可知，由于圓形系統(tǒng)具有旋轉(zhuǎn)對稱性，其上任意方向均平權(quán)，因此當(dāng)加入一個(gè)特殊點(diǎn)(振子所在位置)時(shí)，無論該點(diǎn)的方位如何，對應(yīng)的系統(tǒng)必然是等價(jià)的.因此，隨振子所處位置的方位θ'角變化也改變了鼓模振動(dòng)的節(jié)線發(fā)生變化(振幅為零的點(diǎn)構(gòu)成的線，實(shí)驗(yàn)圖中的黑色部位).并且圖2的理論模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果與文獻(xiàn)［1］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較相似.

3.2 振子位置對鼓型振動(dòng)膜系統(tǒng)的影響

根據(jù)(20)式，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可得不同的振子位置r'下的(m，n)=(0，1)振動(dòng)模式、(m，n) =(1，1)振動(dòng)模式、(m，n)=(2，1)振動(dòng)模式的相對振幅變化規(guī)律，結(jié)果如圖4～圖6所示.

圖4 不同的振子位置r'=rp下，(m，n)=(0，1)振動(dòng)模式相對振幅g01(r)的變化規(guī)律Fig.4 The relative amplitude g01(r)variation of vibration mode at differen position r'=rpwhen(m，n)=(0，1)

圖5 不同的振子位置r'=rp下，(m，n)=(1，1)振動(dòng)模式相對振幅g11(r)的變化規(guī)律Fig.5 The relative amplitude g11(r)variation of vibration mode at different position r'=rpwhen(m，n)=(1，1)

圖6 不同的振子位置r'=rp下，(m，n)=(2，1)振動(dòng)模式相對振幅g21(r)的變化規(guī)律Fig.6 The relative amplitude g21(r)variation of vibration mode at different position r'=rpwhen(m，n)=(2，1)

由圖4、圖5、圖6可知，振子離圓心的徑向半徑r'對鼓模振動(dòng)的振動(dòng)模式的相對振幅變化影響很大.例如對于(m，n)=(0，1)振動(dòng)模式其相對振幅的變化規(guī)律為:隨r'從零開始增大，振動(dòng)模式的相對振幅逐漸減小.但是對于(m，n)=(1，1)振動(dòng)模式、(m，n)=(2，1)振動(dòng)模式而言其相對振幅的變化規(guī)律為:首先隨振子位置的徑向半徑r'從零開始增大，振動(dòng)模式的相對振幅也從零開始增大;在r'達(dá)到某一值時(shí)，振動(dòng)模式的相對振幅取最大值;而后又隨著r'的增大，振動(dòng)模式的相對振幅逐漸減小.在鼓的邊緣相對振幅都為零.

4 波數(shù)相近的不同振動(dòng)模式的雜化

根據(jù)(17)～(21)式可知，當(dāng)ωmn=ωm'n'(其中ωmn=υ/kmn，ωm'n'=υ/km'n')且與諧振子頻率ω相近時(shí)，Ωmn振動(dòng)模式與Ωm'n'振動(dòng)模式出現(xiàn)雜化.例如，Ω51振動(dòng)模式與Ω03振動(dòng)模式之間的雜化.Ω51振動(dòng)模式而言5階貝塞爾函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)為k51r0= 8.771 483 8;Ω03振動(dòng)模式而言0階貝塞爾函數(shù)的第3個(gè)零點(diǎn)為k03r0=8.653 727 9.因?yàn)閗51r0與k03r0相近，所以Ω51振動(dòng)模式與Ω03振動(dòng)模式出現(xiàn)雜化.利用Mathematica 7.0模擬如圖7所示.

圖7 振子位置在(r'=0.2 m，θ'=0)時(shí)Ω51振動(dòng)模式與Ω03振動(dòng)模式的雜化模擬Fig.7 The simulation of Ω51and Ω03vibration mode hybridization at vibration position(r'=0.2 m，θ'=0)

圖7所示結(jié)果與文獻(xiàn)［4］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常相似.與文獻(xiàn)［4］系數(shù)不同在于Ω51與Ω03含有與振子位置(r'，θ')相關(guān)的因子是主要原因.

5 結(jié)論

(1)鼓型振動(dòng)膜系統(tǒng)的振動(dòng)方程的解由(2)式和(17)式可得，其振動(dòng)方程的解是各階貝塞爾函數(shù)相關(guān)的線性組合的級(jí)數(shù)解.

(2)振子所處位置的方位角θ'變化引起振動(dòng)模式圖樣繞圓心發(fā)生旋轉(zhuǎn).這是因?yàn)槭构拿娈a(chǎn)生共振的最大振幅的位置在圓心與振子的連線上.因此，隨振子所處位置的方位角θ'變化也改變了鼓模振動(dòng)的節(jié)線發(fā)生變化.

(3)敲擊鼓的振子離圓心的徑向半徑r'對鼓型振動(dòng)膜振動(dòng)模式的相對振幅變化影響很大.

(4)不同振動(dòng)模式之間雜化現(xiàn)象出現(xiàn)于不同振動(dòng)模式之間的角頻率相近且與敲擊鼓的振子頻率相近時(shí)產(chǎn)生.

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