“等速率追擊”問題研究

王光宇

(上海松江區(qū)教師進修學(xué)院附屬立達中學(xué) 上海 201600 )

1 問題由來

諸多物理文獻均論及這樣一道競賽題.

題目：如圖1所示，有一只狐貍以不變的速率v1沿直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其追擊的方向始終對準(zhǔn)狐貍，某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB,FD=L假設(shè)v2>v1，試求此時獵犬的加速度是多少？

圖1

追擊問題在運動學(xué)部分比較典型，此類問題綜合性較強，與生活聯(lián)系較為緊密.但多數(shù)問題是同一直線上的追擊，相對而言容易解決.本題論及的問題較特殊，因為追趕者的速度方向不斷發(fā)生變化，其追逐的軌跡為曲線．

將獵犬和狐貍抽象為質(zhì)點模型，狐貍在逃逸過程中其速度保持不變做勻速直線運動，獵犬在追逐狐貍的過程中保持不變的速率，故將本問題稱之為“等速率追擊問題”．狐貍沿AB方向，獵犬追擊狐貍且始終瞄準(zhǔn)狐貍，其運動方向不斷發(fā)生改變，加速度和速度分量隨之變化，其運動軌跡應(yīng)是一條曲線.

本文僅就這一過程，研究獵犬運動的軌跡曲線方程、速度分量的變化規(guī)律和加速度的變化規(guī)律等問題，筆者對這個問題作如下探討，以供讀者在教學(xué)或競賽指導(dǎo)中參考．

2 問題討論

2.1 獵犬在D點的加速度

解析：獵犬的速率不變，追擊過程始終要瞄準(zhǔn)狐貍，其速度方向不斷變化，運動為變速運動．如圖1所示,假設(shè)在開始的一段無限短時間Δt內(nèi)，狐貍和獵犬分別到達F′，D′，過D′作D′C⊥DF′，直角△DD′C與直角△F′FD相似，對應(yīng)角相等，即∠DCD′=∠FDF′=α.由于α角很小，DD′可近似看成半徑為R一段圓?。?/p>

獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過的角度

(1)

狐貍奔跑的距離為

v1Δt=αL

(2)

由式(1)、(2)可得獵犬在D點的加速度

(3)

2.2 獵犬追上狐貍所需時間

解析：如圖2(a)所示，獵犬追擊狐貍的某一時刻，獵犬到達D′點，狐貍到達F′點，沿D′F′方向兩者相互接近的速度為

Δv=v2-v1cosθi

(4)

由式(4)得Δt時間內(nèi)相對縮短的距離

Δli=(v2-v1cosθi)Δt

(5)

圖2

由式(5)累加得

即

(6)

沿x軸方向上相互接近的距離為

Δlix=(v2cosθi-v1)Δt

(7)

獵犬追上狐貍，即它們相互接近的距離為零.由式(7)得

(8)

由式(6)、(8)聯(lián)立可得

(9)

2.3 獵犬追擊狐貍的運動軌跡

圖3

解析：如圖3所示，以F點為坐標(biāo)原點，F(xiàn)D為x軸正方向、FB為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)經(jīng)過時間t，獵犬到達坐標(biāo)系中的D′點(x,y)，由于獵犬在追擊的過程中方向始終對準(zhǔn)狐貍，故在該時刻v2的方向應(yīng)指向F′點，狐貍在該時刻的位置為F′點(0，v1t)，假設(shè)獵犬運動的軌跡方程為

y=f(x)

因為D′F′為該點獵犬運動軌跡的切線，所以

即

(10)

將式(10)兩邊對x求導(dǎo)得

(11)

由ds2=dx2+dy2得

(12)

由式(12)得

(13)

將式(13)代入式(11)得

(14)

令

則

式(14)可化為

(15)

微分方程(15)的初始條件

解微分方程式(15)得

(16)

由式 (16)得

(17)

微分方程(17)的初始條件為y(L)=0，解方程可得

(18)

獵犬到達D′(x,y)通過的路程

(19)

由式(17)、(19)得

(20)

2.4 獵犬追擊狐貍速度分量的變化

解析：式(20)兩邊對x求導(dǎo)得

(21)

由式(21)得

(22)

由式(17)、(22)得

(23)

2.5 獵犬追擊狐貍加速度的變化

解析：由式(17)得

(24)

(25)

由式(25)得

(26)

為方便起見，本文取v2= 20 m/s，v1=10 m/s，L=100 m ,使用Excel繪圖工具繪制式(18)、(26)的函數(shù)曲線，圖像如圖4所示．

圖4

從圖像可見：x=0;y=0為其軌跡的兩條切線；獵犬兩速度分量嚴(yán)格單調(diào)變化；加速度大小先增加后減小，中間出現(xiàn)一個極大值，極值點對應(yīng)的位置獵犬所受到的摩擦力最大，也是獵犬追擊過程中最易打滑“摔跤”的地方．

3 結(jié)語

通過對“等速率追擊”問題的研究，系統(tǒng)地呈現(xiàn)了獵犬追擊狐貍過程中物理量的變化規(guī)律，其問題的解析體現(xiàn)了研究物理問題的諸多方法，比如模型法、近似處理法、微元法和微分方程法等．若在教學(xué)中針對某一問題能采用多種方法進行逐層深入的探討與分析，對拓寬學(xué)生的知識視野大有裨益．

參考文獻

1 程稼夫．中學(xué)奧林匹克競賽物理教程·力學(xué)篇．合肥：中國科技大學(xué)出版社，2004

2 漆安慎,杜嬋英．普通物理學(xué)教程·力學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社，2004

3 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)(第二冊)．北京：高等教育出版社，1995