大學(xué)自主招生考試物理思維方法能力考查題賞析

王益明

(江蘇省姜堰中學(xué) 江蘇 泰州 225500)

自主招生是高校擴(kuò)大招生自主權(quán)，深化高校招生錄取制度改革的重要舉措，也是對選拔優(yōu)秀人才的新探索.與高考物理試題相比，自主招生試題難度較大，介于高考與全國中學(xué)生物理競賽初賽之間，試題更加注重物理學(xué)科能力的考查，更加注重物理思維方法的考查.突出考查了建立物理模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力，運(yùn)用等效法、極限法、微元法、遞推法處理物理問題的能力，彰顯了自主招生試題的選拔功能.

1 物理建模能力

【例1】(2006年上海交大自主招生試題)肥皂泡中充滿氦氣，漂浮于空氣中，肥皂泡的壁與其中充的氦氣哪個更重？說明你的分析過程.

其中氦氣

μ=4×10-3kg/mol

空氣

μ′=29×10-3kg/mol

故

ρ′>2ρ

現(xiàn)認(rèn)為肥皂泡內(nèi)外壓強(qiáng)相等，而肥皂泡本身占據(jù)體積可略，設(shè)肥皂泡壁的質(zhì)量為m，泡內(nèi)氦氣體積為V，則

m+ρV=ρV′

即

m-ρV=ρV′-2ρV=(ρ′-2ρ)V>0

故肥皂泡的壁比較重.

賞析：對實際問題，考生必須學(xué)會運(yùn)用所學(xué)物理知識建立物理模型.本題看似無從入手，以肥皂泡中氣體為研究對象，建立理想氣體模型，比較空氣的密度與肥皂泡內(nèi)氦氣密度的關(guān)系，問題就可迎刃而解.

2 運(yùn)用圖像處理實驗數(shù)據(jù)能力

表1 實驗測量的h,T值

解析：將I=mk2+mh2代入周期公式化簡后得

作T2h-h2圖線，求得斜率為A，則

即

求得縱軸截距B，則

可得k值.具體解略.(k=0.29 m，g=9.87 m/s2)

賞析：運(yùn)用圖像處理物理實驗數(shù)據(jù)是物理學(xué)重要的研究方法之一，尤其是使圖像線性化更能直觀反映物理量的變化規(guī)律.本題運(yùn)用作圖法求解物理量，較高考要求明顯加大，其難點(diǎn)在于要得到線性圖像，必須對物理方程進(jìn)行處理，打破常規(guī)思維，即以T2h為縱坐標(biāo).因中學(xué)平時教學(xué)中訓(xùn)練不多，考生很難想到.

3 等效替代法

解析：本問題中求解的區(qū)域為無窮大接地導(dǎo)體平面的上方區(qū)域，此區(qū)域內(nèi)點(diǎn)電荷所在位置及所帶的電荷量是確定的；區(qū)域邊界(導(dǎo)體平面的上表面)的電勢分布是電勢為零的等勢面．電場E的分布大致如圖1所示，圖中的電場線和導(dǎo)體面處處垂直．并且E=E1+E2，其中E1，E2分別為點(diǎn)電荷Q和導(dǎo)體板上表面感應(yīng)電荷激發(fā)的電場．

圖1

比較上述電場線分布的特點(diǎn)與兩個等量異號點(diǎn)電荷電場的電場線分布特點(diǎn)，可以設(shè)想把導(dǎo)體板上表面的感應(yīng)電荷用一電荷量為Q′=-Q的點(diǎn)電荷替代．設(shè)點(diǎn)電荷Q所在位置為A點(diǎn)，將點(diǎn)電荷Q′放置在B點(diǎn)，B點(diǎn)的選擇滿足AB兩點(diǎn)的連線垂直于導(dǎo)體表面，且AB=2h，此時空間電場的分布如圖2所示．

圖2

這樣的替換既沒有改變求解區(qū)域內(nèi)的電荷分布，又滿足了導(dǎo)體板上表面所在位置電勢為零的條件．因此，在零等勢面上方區(qū)域內(nèi)電場分布與題給電場分布相同，所以對于求解區(qū)域而言，用放在B點(diǎn)處電荷量為Q′=-Q的點(diǎn)電荷替代導(dǎo)體板上表面的感應(yīng)電荷是合理的．

導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷在A點(diǎn)產(chǎn)生的場與B點(diǎn)的點(diǎn)電荷-Q在A點(diǎn)產(chǎn)生的場是相同的．故根據(jù)

F=QE2

其中，E2為放在B點(diǎn)的點(diǎn)電荷-Q在A點(diǎn)產(chǎn)生的場．聯(lián)立可得

式中負(fù)號表示作用力為引力．

賞析：等效思維的實質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實際問題變換為簡單且熟悉的問題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律.本題根據(jù)靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體及等量異種點(diǎn)電荷電勢、電場強(qiáng)度的特點(diǎn)，運(yùn)用等效替代法、虛擬法巧妙求解非點(diǎn)電荷之間作用力，使問題得到簡化而便于求解，有較高的思維度.

4 極限法

【例4】(2010年北大自主招生試題)質(zhì)量為m的正方體放在水平面上，現(xiàn)在如圖3所示的頂角A處加一個力F，要求物體能被推倒但不滑動，動摩擦因數(shù)μ至少多大？此種情況F的大小又如何？

圖3

解析：正方體翻轉(zhuǎn)至AC連線與水平方向夾角θ時，設(shè)此時A處拉力F與豎直方向成α角，并設(shè)AC=l，則

正方體不動須滿足

μ(mg-Fcosα)≥Fsinα

即

顯然，θ增大時，(2cotα+2tanθ)也增大;α減小時，(2cotα+2tanθ)也減小.

故極端情況取θ為最小值，α取最大值，即取θ=45°，α→90°，得μ≥0.5，此種情況下

賞析：極限法是把某個物理量或某個物體的位置推向極端，即極大和極小或極左和極右，并由此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論.恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡.本題中有兩個變量即拉力F與豎直方向夾角α，AC連線與水平方向夾角θ，運(yùn)用極限法可求得μ的最小值.

5 微元法

【例5】(2009年清華大學(xué)自主招生試題)一質(zhì)量為m，長為l的柔軟繩自由懸垂，下端恰與一臺秤秤盤接觸．某時刻放開柔軟繩上端，求臺秤的最大讀數(shù)．

解析：如圖4所示,設(shè)t時刻落到秤盤的繩長為x，此時繩速

圖4

在t→t+Δt時間內(nèi)，又有Δm=ρΔx的繩落到秤盤上(設(shè)軟繩單位長度質(zhì)量為ρ)

由動量定理得

-FΔt=-Δmv=-ρΔxv

(忽略微元段繩本身的重力沖量)

即

故

N=F+ρgx=3ρgx

當(dāng)x=l時秤盤的最大讀數(shù)為3mg,即秤盤的最大讀數(shù)出現(xiàn)在柔繩將要全部掉到秤盤上時.

賞析： 微元法是物理學(xué)中分析和解決問題常用的一種方法.其基本思路是將復(fù)雜的物理過程(對象)分成若干個微小的“元過程(對象)”，比如一小段時間Δt；一小段長度Δx；一小段圓弧ΔL；一小量面積；一小量電荷ΔQ等等，然后對“元過程(對象)”進(jìn)行分析，找出其物理規(guī)律，再將此規(guī)律通過一定的數(shù)學(xué)方法或物理思想運(yùn)用到整個過程，進(jìn)而解決問題.本題以長度微元為研究對象，化變?yōu)椴蛔?，運(yùn)用動量定理求解.

6 遞推法

【例6】(2008年東南大學(xué)自主招生試題)如圖5所示，豎直平面內(nèi)有一光滑圓弧形軌道，O為最低點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)距O點(diǎn)的高度分別為h和4h.現(xiàn)從A點(diǎn)釋放一質(zhì)量為M的大物體，且每隔適當(dāng)?shù)臅r間從B點(diǎn)釋放一質(zhì)量為m的小物體.它們和大物體碰撞后都合為一體.已知M=100m．

(1)若每當(dāng)大物體向右運(yùn)動到O點(diǎn)時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞多少次后大物體的速度最??？

圖5

(2)若大物體第一次向右運(yùn)動到O點(diǎn)時，和小物體碰撞，以后每當(dāng)大物體向左運(yùn)動到O點(diǎn)時，才與一個小物體碰撞，問共碰撞多少次后大物體能越過A點(diǎn)？

(3)若每當(dāng)大物體運(yùn)動到O點(diǎn)時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞50次后，大物體運(yùn)動的最大高度為h的幾分之幾？

解析：(1)設(shè)大物體和小物體從A,B運(yùn)動到O點(diǎn)速度大小分別為vA,vB.

由機(jī)械能守恒定律，有

解得

設(shè)碰撞n次后大物體的速度最小，則有

MvA-nmvB=(M+nm)vmin

由

vmin=0

得

MvA=nmvB

故

n=50

(2)第1次碰撞

MvA-mvB=(M+m)v

設(shè)再碰撞k次，則

(M+m)v+kmvB=(M+m+km)vA

聯(lián)立解得k=3，故共碰撞4次．

(3)第1次碰撞

MvA-mvB=(M+m)v1

第2次碰撞

(M+m)v1+mvB=(M+2m)v2

第3次碰撞

(M+2m)v2-mvB=(M+3m)v3

第4次碰撞

(M+3m)v3+mvB=(M+4m)v4

……

第50次碰撞

(M+49m)v49+mvB=(M+50m)v50

聯(lián)立解得

MvA=(M+50m)v50

則

由

得

則

賞析：遞推法是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況.當(dāng)問題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時,應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問題歸類,然后求出通式.具體方法是先分析某一兩次作用的情況,得出結(jié)論.再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn),把結(jié)論推廣,然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解.本題通過對小球多次碰撞列出的動量守恒方程，運(yùn)用遞推法找到速度的規(guī)律.

任何考試都有其內(nèi)在規(guī)律，表面看來充滿“個性化”和神秘色彩的自主招生也不例外.只要認(rèn)真研究自主招生考試物理學(xué)科考查的物理思想方法，加強(qiáng)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和思維方法的訓(xùn)練，摸索總結(jié)出自主招生試題的解題思路，學(xué)生就不會在考試時束手無策，也一定能在考試中取得較好的成績.