物理解題中的近似方法

楊國平

(紹興市第一中學(xué) 浙江 紹興 312000)

在解決物理問題(觀察現(xiàn)象、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、構(gòu)建模型、推導(dǎo)規(guī)律等)時(shí)，為了分析、認(rèn)識(shí)研究對象的本質(zhì)屬性，需要突出問題的主要方面，忽略某些次要因素，進(jìn)行近似處理.近似方法是研究物理學(xué)的基本方法之一，有著廣泛的應(yīng)用.善于對實(shí)際問題進(jìn)行合理的近似處理，是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一，也是物理學(xué)和數(shù)學(xué)的顯著區(qū)別之一.下面從數(shù)學(xué)、圖像及估算3方面加以闡述.

1 數(shù)學(xué)近似

1.1 抓主略次

兩個(gè)相同量綱的物理量相加減，若相差懸殊，則可留大去小，簡化運(yùn)算過程，得到的數(shù)量級(jí)一定是正確的.

【例1】 欲測電阻R的阻值，現(xiàn)有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)電阻、一個(gè)電池和一只未經(jīng)標(biāo)定的電流表A，連成圖1所示的電路.第一次與電流表并聯(lián)的電阻r為r1=50.00 Ω，電流表的示度為n1=3.9格；第二次r改用r2=100.00 Ω，電流表的示度為n2=5.2格；第三次r改用r3=10.00 Ω，同時(shí)將待測電阻R換成一個(gè)20.00 kΩ標(biāo)準(zhǔn)電阻，結(jié)果電流表的示度為n3=7.8格.已知電流表的示度與所通過的電流成正比，求電阻R的阻值.

圖1

解析:設(shè)電源電動(dòng)勢為E，內(nèi)阻為r′，電流表內(nèi)阻為Rg，與電流表每格對應(yīng)的電流為I0，根據(jù)閉合電路歐姆定律，有

(1)

(2)

(3)

由第三次測量數(shù)據(jù)，當(dāng)r減小時(shí)電流表偏轉(zhuǎn)格數(shù)卻增大，推知總電流必然增加了，由此推知R>20 kΩ.因此，Rg與r的并聯(lián)值比R小多了，電源內(nèi)阻r′完全可以忽略不計(jì)，故以上三式可近似為

(4)

(5)

(6)

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得

R=120 kΩ

1.2 高階小量近似

物理問題最后往往表征為數(shù)學(xué)關(guān)系式，在涉及到多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常(尤其是在簡諧運(yùn)動(dòng)中)用到以下的近似處理(1+x)n=1+nx(x?1) .其依據(jù)就是根據(jù)二項(xiàng)式定理展開，略去高階小量所得.

圖2

解析:對A分析，設(shè)其質(zhì)量為m，懸掛的線長為l，平衡時(shí)線與豎直方向的夾角為θ，則有

mgtanθ=F

(7)

又

代入式(7)得

(8)

右移Δx后，有

(9)

而

代入式(9)得

(10)

聯(lián)立式(8)、(10)有

即

化簡后有

代入數(shù)據(jù)得

n= 4

【例3】如圖3所示，用彈性繩制作對稱的輕網(wǎng)，網(wǎng)邊緣固定在水平軸環(huán)上，半徑R等于彈性繩的原長，如果一位體操運(yùn)動(dòng)員靜止地躺在網(wǎng)中心處，網(wǎng)被壓彎的深度為d,問體操運(yùn)動(dòng)員從多高處無初速落下，將使網(wǎng)壓彎的最大深度為2d? (體操運(yùn)動(dòng)員的身高、深度d都比網(wǎng)半徑R小得多)

圖3 圖4

解析： 設(shè)網(wǎng)由n根成輻射狀的彈性繩編織而成，每根繩的勁度系數(shù)均為κ，當(dāng)網(wǎng)中心下陷x(?R)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員受到的彈力方向豎直向上，大小

F=nF1sinθ

(11)

由圖4可知

每根繩上的彈力

因?yàn)?/p>

代入式(11)后得

靜躺時(shí)x=d，由受力平衡得

(12)

當(dāng)運(yùn)動(dòng)員從h高處落下時(shí)，能使網(wǎng)中心下陷2d，此時(shí)每根彈性繩具有的彈性勢能

由機(jī)械能守恒定律

(13)

聯(lián)立式(12)、(13)解得

h= 2d

1.3 小角度近似

對于小角度問題(一般認(rèn)為θ<5°)，經(jīng)常用到的近似處理是sinθ≈ tanθ≈θ，此處θ的單位是弧度(rad).該結(jié)論最典型的應(yīng)用就是處理幾何光學(xué)的近軸光線，在運(yùn)用微元法求解相關(guān)問題時(shí)，也經(jīng)常用到這一近似.

【例4】 如圖5所示，菲涅耳雙棱鏡的折射率為n，折射棱角為α(α?1)，位于對稱軸上的單色光縫S(波長為λ)與棱鏡相距a，觀察屏與棱鏡相距b，求屏上干涉條紋的間距.

圖5

圖6

圖7

先討論折射光線相對于入射光線的偏向角δ，如圖7所示，設(shè)光線在第一界面的入射角和折射角分別為i和r，據(jù)折射定律有

sini=nsinr

在第二界面，有

nsini′=sinr′

對于小角度，可簡化為

i=nrni′ =r′

由圖7可知δ=(i-r)+(r′ -i′) ，因r+i′ =α，則

δ=(i+r′)-α=n(r+i′)-α=(n-1)α

結(jié)果表明，光線經(jīng)兩次折射后的偏向角與入射角i無關(guān)，那么

Δθ′= Δθ

由此

S1B=SB=a

為求S1離開主軸的距離，考慮邊緣光線，其偏向角也等于δ，有

S1S≈aδ

則

S1S2=2S1S=2a(n-1)α

干涉條紋的間距

2 圖解法近似

圖像是描述物理問題的重要方法之一.線性變化的圖像具有確定的結(jié)果，非線性變化的圖像(表現(xiàn)為曲線，更普遍)只能得到一個(gè)近似結(jié)果.經(jīng)常用到的處理方法有圖像面積(數(shù)格子時(shí)四舍五入)，圖線相交法等等.

【例5】 如圖8所示，光滑水平面上靜止著一個(gè)彈簧振子，其固有周期為4 s .距離振子右側(cè)6 m遠(yuǎn)處有一光滑曲面，頂端離地高度h=0.2 m .現(xiàn)將振子由O點(diǎn)位置緩緩向左平推2 m，放手的同時(shí)，讓在曲面頂端的等質(zhì)量的小物塊無初速地滑下，它經(jīng)過1.5 s到達(dá)曲面的底端B點(diǎn)處，之后的某時(shí)刻兩物體相碰后粘在一起.求碰后振子能達(dá)到的最右端位置.(取g=10 m/s2)

圖8

解析：兩物粘合后仍是一個(gè)彈簧振子，做簡諧運(yùn)動(dòng).平衡位置仍在原點(diǎn)O處，題目要求確定其振幅A,先得確定兩物在何處相碰.以振子靜止位置O為原點(diǎn)，建立圖8所示坐標(biāo)系，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

x=Acos(ωt+φ)

x= 6 - 2t

(14)

統(tǒng)一時(shí)間起點(diǎn)后，振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律應(yīng)寫為

(15)

兩物體相碰時(shí)x坐標(biāo)相同，宜采用圖解法來解決.在位移圖像上作出式(14)的直線和式(15)的正弦曲線，如圖9所示，讀得交點(diǎn)坐標(biāo)

圖9

代入式(14)得

x1= -0.6 m

即兩物體將在O點(diǎn)左側(cè)0.6 m處相碰.

碰撞過程動(dòng)量守恒，為此需先求出碰前振子的速度

代入數(shù)據(jù)

把t1=3.3 代入上式得

v1= 3 m/s

方向向右.

如圖10，兩物體相向碰撞過程中，有

mv1-mv2= 2mv

圖10

解得碰后的共同速度v=0.5 m/s，之后合體在向右運(yùn)動(dòng)到最右端的過程中，據(jù)機(jī)械能守恒，有

(16)

其中

代入式(16) 解得

A=0.75 m

即振子能到達(dá)的最右位置在O點(diǎn)的右側(cè)0.75 m處.

3 物理(估算類)近似

對題給條件作合理的簡化，再把實(shí)際問題抽象為物理模型，是一種近似處理.估算類問題是物理近似的典型.世界上第一顆原子彈爆炸時(shí)，費(fèi)米向空中撒了一把碎紙片，就估算出了原子彈的爆炸當(dāng)量，可謂是運(yùn)用近似方法的杰出典范[1].

【例6】 估算在室溫下，空氣分子之間的平均距離.

解析：根據(jù)分子動(dòng)理論，固體和液體的分子間距跟它們分子本身的線度差不多，而氣體分子間的距離則比分子線度大得多.為定量計(jì)算，需先建立一個(gè)模型，把待研究的氣體空間分割為若干個(gè)小立方體(這樣計(jì)算得以最簡化)，每個(gè)立方體對應(yīng)于一個(gè)分子占據(jù)的空間，分子處在立方體的中心.這樣，兩分子之間的距離就等于小立方體的邊長了.

取1 mol空氣作為研究對象，在室溫下它非常接近于標(biāo)準(zhǔn)狀況，氣壓p≈1×105Pa，溫度T≈300 K，由克拉伯龍方程pV=nRT得

代入數(shù)據(jù)得

V=0.025 m3

因?yàn)? mol氣體含有的個(gè)數(shù)為

NA=6×1023

則每個(gè)氣體分子所占據(jù)的空間體積

小立方體的邊長

則分子間距

d=l= 4×10-9m

參考文獻(xiàn)

1 周小奮.費(fèi)米問題三例.物理通報(bào)，2011(5)：85