用極端法分析問題

于永剛

(河北安國中學(xué) 河北 保定 071200)

1 粗略判斷物理量的變化趨勢

【例1】兩質(zhì)量均為m的星體，其連線的垂直平分線為AB，O為兩星體連線的中點(diǎn)，如圖1所示.一個質(zhì)量為M的物體從O沿OA方向運(yùn)動，則它受到的萬有引力的合力變化情況是

A．一直增大B．一直減小

C．先減小，后增大D．先增大，后減小

圖1

解析：當(dāng)物體在O處時(shí)，由于對稱性可知它所受到的萬有引力的合力為零.當(dāng)物體在無窮遠(yuǎn)處時(shí)，兩個星體對它的作用力都接近于零，因此它所受到的萬有引力的合力也為零.現(xiàn)在考慮物體在OA上但不是在O點(diǎn)也不是在無窮遠(yuǎn)處的情況，通過簡單地分析求合力就可以知道其大小不為零，方向沿AO直線并指向O點(diǎn).

綜合分析，可以知道，物體所受的引力是從零變?yōu)橐粋€大于零的數(shù)，然后又變?yōu)榱?因此是一個先增大后減小的過程，應(yīng)選擇選項(xiàng)D.

2 討論物理量的變化范圍

【例2】如圖2所示，在斜面上O點(diǎn)先后以v0和2v0的速度水平拋出甲、乙兩小球，則從拋出至第一次著地，兩小球的水平位移大小之比可能為

A．1∶2B．1∶3

C．1∶4D．1∶5

圖2

解析：因?yàn)樵诖祟}中并沒有斜面長度和兩球初速度的大小，所以存在多種可能性，下面我們先考慮兩個極端情況.

(1)如果兩個球的速度都很大，則都落在水平面上，水平位移的比等于它們初速度的比，即

xA∶xB=1∶2

圖3

(2)如果兩球的初速度都很小，均落在斜面上，如圖3所示.設(shè)斜面傾角為θ，小球的水平位移為x，豎直位移為y.由平拋運(yùn)動規(guī)律和幾何關(guān)系可知

x=v0t

解得

可見小球在斜面上運(yùn)動的水平位移與初速度的平方成正比.所以 xA∶xB=1∶4

(3)最后考慮一個小球落于斜面上，另一小球落于水平面上的情況.

圖4

綜上

所以本題選擇選項(xiàng)A，B，C.

3 討論問題的可能性與不可能性

【例3】如圖5所示,A為靜止于地球赤道上的物體，B為繞地球做橢圓軌道運(yùn)動的衛(wèi)星，C為繞地球做圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，P為B,C兩衛(wèi)星軌道的交點(diǎn).已知A,B,C繞地心運(yùn)動的周期相同.試判斷有無可能出現(xiàn)：在每天的某一時(shí)刻衛(wèi)星B在物體A的正上方.

圖5 圖6

解析：A，C均做勻速圓周運(yùn)動，因此相對位置保持不變.而B是在橢圓軌道上做速率改變的運(yùn)動.

若橢圓極扁，則A比B先到達(dá)Q的正下方.從而A應(yīng)在B的“前方”，而圖中所示的位置，A在B的“后方”，因此必存在A追上B在B正下方的時(shí)刻.另外，一個周期之后，A,B恢復(fù)如圖6所示的位置，即B又跑到了A的“前面”.說明在這個周期內(nèi)又存在B追上A而在A正上方的時(shí)刻.即，在一天內(nèi)，B有兩個時(shí)刻在A的正上方.

若橢圓接近圓，則A,B的相對位置幾乎不變，在一個周期的運(yùn)動中，B必然總在A的“前面”，從而一天中不存在B在A的正上方的時(shí)刻.

從上面的兩個極端情況可以猜測，橢圓必有一個適當(dāng)?shù)摹氨舛取?，使得在一天?nèi)，A恰能追上B而不超過它.那么在一天內(nèi)有且僅有一個時(shí)刻，B在A的正上方.因此，在一天內(nèi)，B有可能在A的正上方.

4 對做出的結(jié)果進(jìn)行評估

【例4】(2008年高考北京理綜卷第20題改編)如圖7所示，光滑水平面上有一傾角為θ的斜面，其質(zhì)量為M，上面放一個質(zhì)量為m的滑塊，滑塊與斜面間無摩擦.現(xiàn)由靜止釋放滑塊m，在滑動過程中m的加速度為多少？

圖7 圖8

解析： 對滑塊受力分析如圖8所示，在△AOB中，由正弦正理可知

(1)

解得

(2)

圖9

下面解決角α的問題.如圖9所示，x，y分別表示物體m和M的水平位移，由圖可知

xtanα=xtanθ+ytanθ

(3)

由動量守恒知

mx=My

(4)

由式(3)、(4)聯(lián)立可得

同時(shí)有

將上面的結(jié)果代入式(2)可得

(5)

用極端法對上面的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)

(1)當(dāng)θ→0時(shí)，sinθ→0，tanθ→0，cosθ→1.則式(5)中，分子趨于零，分母趨于1，因此a→0.

(6)

總之，通過上面四個極端情況的分析知道，在四種情況下加速度的表達(dá)式都沒有和實(shí)際情況發(fā)生矛盾，這說明，加速度的表達(dá)式很有可能是正確的.

圖10

【例5】(2011年高考福建理綜卷第18題)如圖10所示,一質(zhì)量為m的定滑輪，滑輪兩側(cè)掛有質(zhì)量分別為m1和m2的物體，繩子對兩物體的拉力分別為T1和T2.不考慮軸間的摩擦，且繩子與滑輪間沒有相對滑動.下面T1的表達(dá)式正確的是

解析：當(dāng)滑輪的質(zhì)量趨于零時(shí)，T1=T2=T.分別對兩物體進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律可得

m1g-T=m1a

T-m2g=m2a

兩式聯(lián)立解得

設(shè)A，B，C，D四個選項(xiàng)中的m趨于零，有

與計(jì)算結(jié)果相同的是選項(xiàng)C，因此本題選擇選項(xiàng)C.該題涉及剛體定軸轉(zhuǎn)動的知識，若不用極端法，而用高中知識解這道題似乎是不可能的.