解析幾何法在磁場邊界類問題中的應(yīng)用

樓柯峰

(紹興縣柯橋中學(xué) 浙江 紹興 312030)

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)常常以壓卷題的形式出現(xiàn)在各地模擬卷和高考卷中.這類命題綜合性強(qiáng)，難度較大，要求學(xué)生能靈活地把數(shù)學(xué)思想方法與物理模型相互滲透.而“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力”正是《考試說明》提出的“五種能力”之一.分析近三年的磁場類命題，可以發(fā)現(xiàn)“求磁場分布區(qū)域”或“求粒子運(yùn)動(dòng)區(qū)域”出現(xiàn)的頻率較高，它們的核心就是“求磁場中的曲線方程”，而求曲線方程正是解析幾何的基本問題之一，因此我們完全可以用數(shù)學(xué)方法來探求.

1 直接法

圖1

(1)從頂點(diǎn)A沿AB方向射入的電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；

(2)磁場大小、方向保持不變，現(xiàn)改變勻強(qiáng)磁場分布區(qū)域，使磁場存在于y軸與虛線之間，示意圖見圖1(b)所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過y軸后向右運(yùn)動(dòng)，試確定勻強(qiáng)磁場左側(cè)邊界虛線的曲線方程.

解析：(1)由題以及等邊三角形的性質(zhì)知電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R=a，進(jìn)而解得

(2)設(shè)電子從點(diǎn)P(x，y)進(jìn)入磁場，O1(0，b)為軌跡圓圓心，如圖2所示.因電子出磁場時(shí)速度垂直y軸，則∠PAC=∠PO1D等于電子在磁場內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角，所以△PAC與△PO1D相似.可列等式

同時(shí)滿足x2+(y-b)2=a2;消去(y-b)得磁場左邊界方程為

圖2

直接法就是“將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標(biāo)化，然后列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程”.物理中最常用的條件是直角三角形、相似三角形和圓方程.

2 參數(shù)法

【例2】如圖3，在0≤x≤2a，-a≤y≤a內(nèi)某一區(qū)域存在一勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向里.在直線y=a的上方，直線x=0與x=2a之間的區(qū)域內(nèi)，有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E.一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子以速度v從O點(diǎn)垂直磁場方向射入(粒子是從O處馬上進(jìn)入磁場);當(dāng)速度方向沿x軸正方向時(shí)，粒子恰好從O1(x=a的位置)點(diǎn)正上方的A點(diǎn)沿y軸正方向射出磁場.不計(jì)粒子重力.

(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小.

(2)若粒子以速度v從O點(diǎn)垂直磁場方向射入第一和第四象限，為使這些粒子射出磁場后在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同且最長，則應(yīng)加怎樣的磁場?寫出所加磁場的邊界方程.

圖3

解析：(1)由題知該粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r=a,可得

(2)要使這些粒子射出磁場后能在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同且最長，則要求進(jìn)入電場時(shí)的速度與電場線平行.設(shè)與y軸正方向成θ角的粒子從磁場邊界某點(diǎn)P(x,y)射出.由題知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角剛好為α=(90°-θ)，如圖4.由幾何關(guān)系得P點(diǎn)坐標(biāo)為

圖4

x=a(1-cosα)

y=asinα

利用sin2α+cos2α=1,消去α,得邊界曲線的方程為

(x-a)2+y2=a2

即所加磁場在以(a，0)為圓心，半徑為a的圓內(nèi)，如圖4中虛線所示.

參數(shù)法就是“動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的曲線方程”,常用參數(shù)是角度.

3 定義法

圖5 圖6

(1)求離子打到熒光屏上的范圍.

(2)粒子運(yùn)動(dòng)周期

所以該時(shí)刻這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程為一條直線,即

圖7

本題是借用解析幾何中的定義法解曲線方程.定義法就是“當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓、拋物線、雙曲線、直線等)，就可用定義直接探求”.如本例中(2)是直線方程，(3)是圓方程.(3)問實(shí)際上是第二類動(dòng)態(tài)圓(從同一點(diǎn)同時(shí)射入磁場的粒子速度方向不定，大小確定)的問題.經(jīng)相同時(shí)間t，這些不同方向入射的粒子轉(zhuǎn)過圓心角α相同，且各角對(duì)應(yīng)的弦長L也相等.t時(shí)刻粒子所在位置構(gòu)成一個(gè)以初始入射點(diǎn)為圓心，半徑為L的圓Ⅰ.當(dāng)α=180°時(shí)，對(duì)應(yīng)各軌跡圓所能到的最遠(yuǎn)點(diǎn)，其包絡(luò)面為圓Ⅱ.另外各軌跡圓圓心也構(gòu)成一個(gè)圓Ⅲ,如圖8所示.

圖8

4 特殊模型法

圖9

解析：此題有兩種解法.

圖10

又因?yàn)?x，y)點(diǎn)也屬于圓軌道，所以有

x2+(y-b)2=r2

兩式聯(lián)立消去(y-b)，便得

(r2-x2)y2=(a-x)2x2

這是一條過(0，0)點(diǎn)的四次曲線，只取它在第Ⅰ象限的部分代表磁場區(qū)域的右邊界，左邊界為右邊界相對(duì)y軸的對(duì)稱曲線，應(yīng)是

(r2-x2)y2=(a+x)2x2

因此，磁場邊界可表述為

又有r

圖11

(2)利用特殊模型，當(dāng)“磁場圓”半徑和“粒子軌跡圓”的半徑相等時(shí)，兩圓的交點(diǎn)和兩圓的圓心共四個(gè)點(diǎn)剛好構(gòu)成一個(gè)“菱形”，能實(shí)現(xiàn)磁擴(kuò)散和磁會(huì)聚，如圖12.

圖12

將上述情況合并,就是本題的另一種解法.即在第Ⅰ,Ⅱ象限各有一個(gè)圓柱形的磁場區(qū)，圓柱的軸線和磁場都垂直于xOy平面，圓心分別在(a，r)點(diǎn)和(-a，r)點(diǎn)，半徑都是r，那么從P點(diǎn)發(fā)出的離子經(jīng)過第Ⅱ象限磁場的偏轉(zhuǎn)后，沿著平行于x軸的方向向右飛出磁場區(qū)，離子進(jìn)入第Ⅰ象限后，經(jīng)過與第Ⅱ象限相反的路線會(huì)聚到R點(diǎn).這種磁場可使從P點(diǎn)發(fā)出的所有在xOy平面內(nèi)的離子都到達(dá)R點(diǎn)，如圖13所示.

圖13

本題解法(1)是借用“直接法”,解法(2)是利用“特殊的物理模型”——“磁場圓”與“軌跡圓”半徑相等時(shí)的磁會(huì)聚、磁擴(kuò)散.