基于B樣條的船體網(wǎng)格劃分及水動力計(jì)算

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(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

現(xiàn)在，常用的三維水動力計(jì)算方法主要有自由面格林函數(shù)法和Rankine源法。在應(yīng)用這兩種方法時(shí)都需要對船體濕表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，而在Rankine源方法中還需要對自由表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分。目前，較為常用的方法是常值面元法，該理論優(yōu)點(diǎn)是便于操作。但缺點(diǎn)是對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)物或在幾何形體存在大曲率變化的地方，需要布置大量的網(wǎng)格，以保證物面的“連續(xù)性”，這勢必會增加計(jì)算量。因此，便誕生了一些高階面元法，比如B樣條面元法。B樣條面元法中所用到的插值多項(xiàng)式涉及附近的幾個(gè)單元，而不像一般高階邊界元方法只限制在一個(gè)單元內(nèi)，這樣速度勢函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在整個(gè)物面上就是連續(xù)的。此外，由于B樣條面元法中相鄰單元的速度勢控制點(diǎn)是公用的，因此未知數(shù)的個(gè)數(shù)相對較少，計(jì)算需要的面元數(shù)越多，B樣條面元法計(jì)算優(yōu)勢越明顯。如何用B樣條方便、快捷地劃分船體水動力網(wǎng)格一直是大家關(guān)注的問題[1]。為此，提出一種基于B樣條的船體網(wǎng)格劃分及水動力計(jì)算方法。

1 三次B樣條曲線和曲面

1.1 插值三次B樣條曲線

為了能描述復(fù)雜形狀和具有局部性質(zhì)，B樣條曲線用一套特殊的基函數(shù)即B樣條基函數(shù)來表示。這樣，三次B樣條曲線[2]方程可寫為

(1)

給定一組數(shù)據(jù)點(diǎn)qi(i=0,1,…,m)，由插值條件給出以n+1個(gè)控制頂點(diǎn)為未知矢量的m+1個(gè)線性方程組成的線性方程組

(2)

將上述線性方程組改寫成如下矩陣形式

(3)

解該線性方程組，即可求出全部未知控制頂點(diǎn)，然后利用德布爾遞推插值出三次B樣條曲線，遞推公式為

(4)

1.2 插值雙三次B樣條曲面

B樣條曲面方程比曲線多了一個(gè)參數(shù)v， 雙三次B樣條插值曲面方程寫為

(5)

又可改寫為

給出類似于B樣條曲線方程的表達(dá)式

(6)

(7)

雙三次B樣條曲面可以由兩個(gè)方向的一系列關(guān)聯(lián)的三次B樣條曲線來表示。

2 水動力網(wǎng)格劃分

在應(yīng)用自由面格林函數(shù)法進(jìn)行水動力計(jì)算時(shí)，雖然只需在船體濕表面劃分網(wǎng)格[3-4]，但是自由面格林函數(shù)的精確計(jì)算仍然是個(gè)難點(diǎn)。因此，本文運(yùn)用B樣條方法編制相應(yīng)的FORTRAN程序?qū)Υw濕表面網(wǎng)格進(jìn)行劃分，然后采用Rankine源法求解船體水動力，船體的水動力網(wǎng)格包括船體濕表面和其周圍的自由面網(wǎng)格。

2.1 船體濕表面網(wǎng)格劃分

首先對船體型值點(diǎn)信息進(jìn)行適當(dāng)處理，成為反算船體表面控制頂點(diǎn)所需要的數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后運(yùn)用編制的三次B樣條FORTRAN程序生成計(jì)算船體水動力時(shí)所需的網(wǎng)格數(shù)據(jù)信息，包括船體濕表面控制頂點(diǎn)和U、V參數(shù)值。

2.2 自由面網(wǎng)格劃分

由于在計(jì)算船體水動力時(shí)要滿足自由面和遠(yuǎn)方輻射條件，所以應(yīng)使船體周圍的自由面近密遠(yuǎn)疏，以便較好地模擬船體周圍的流場。本文采用“拉伸變換”[5]來輔助船體周圍自由面網(wǎng)格的生成，拉伸變化公式為

(8)

圖1、2為Wigley船型、某拖船和它們周圍自由面網(wǎng)格劃分實(shí)例。

3 實(shí)船水動力計(jì)算

對一艘50萬t，船體艏艉曲率變化較大的大型礦砂船采用編制的FORTRAN程序，進(jìn)行網(wǎng)格劃分及水動力計(jì)算，圖3為50萬t礦砂船周圍自由面網(wǎng)格。其中包括船體廣義附加質(zhì)量、廣義附加阻尼、入射波波浪激勵(lì)力、繞射波波浪激勵(lì)力、剖面載荷和運(yùn)動響應(yīng)(見圖4～9)的求解，并將結(jié)果與文獻(xiàn)[6]進(jìn)行了對比。

圖1 Wigley船型周圍自由面網(wǎng)格(網(wǎng)格總數(shù)2 320)

圖2 某拖船周圍自由面網(wǎng)格(網(wǎng)格總數(shù)1 320)

圖3 50萬t礦砂船周圍自由面網(wǎng)格(網(wǎng)格總數(shù)1 722)

圖4 無因次附加質(zhì)量隨ω變化

圖5 無因次阻尼力隨ω變化

圖6 入射波波浪力F1隨ω變化

圖7 繞射波波浪力Fd隨ω變化

圖8 船舯剖面載荷隨ω變化

從求解的水動力結(jié)果可以看出，本文的結(jié)果與文獻(xiàn)[6]的結(jié)果非常吻合，由此可見，用B樣條方法進(jìn)行船體水動力網(wǎng)格的劃分，并用于實(shí)船水動力計(jì)算是可行的。

圖9 運(yùn)動響應(yīng)η1隨ω變化

4 結(jié)論

B樣條面元法是一種高階面元法，它不像一般高階邊界元方法那樣在物體表面以及物體表面的速度勢都不連續(xù)，在單元之間有跳躍以及基本源的高階導(dǎo)數(shù)存在奇異性。本文采用的雙三次B樣條面元法保證了物體表面的光滑性，速度勢函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)在整個(gè)物面上也是連續(xù)的，從而提高了水動力計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和該方法的適用性。

[1] PIEGL L, TILLER W. The NURBS Book[M]. New York:Springer，1996.

[2] 施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3] 張海彬，任慧龍，宋競正，等.一種船體三維濕表面網(wǎng)格自動生成方法[J].中國造船，2001，42(4)：61-65.

[4] 陳賓康.用B樣條擬合與繪制船體型線[J].武漢水運(yùn)工程學(xué)院學(xué)報(bào),1989,13(4):1-10.

[5] 戴愚志，余建星.一種船體及周圍自由面的網(wǎng)格自動生成方法[J].船舶工程,2006,28(5):1-4.

[6] 劉日明.基于B樣條面元法的浮體二階水動力計(jì)算[D].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué),2009.