兩兩NQD陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性

王寬程，楊英鐘

（閩南理工學(xué)院 信息管理系，福建 泉州362700）

兩兩NQD陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性

王寬程，楊英鐘

（閩南理工學(xué)院 信息管理系，福建 泉州362700）

利用截尾和矩不等式方法，研究在h－可積條件下兩兩NQD陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性，所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)［7］中定理2.2的結(jié)論.

兩兩NQD陣列；h－可積；乘積和；完全收斂性

0 引言

兩兩NQD列是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家Lehmann［1］提出的一類相當(dāng)廣泛的隨機(jī)交量序列，著名的NA列［2］就是它的特殊情況之一.許多學(xué)者對(duì)兩兩NQD列極限理論進(jìn)行了研究，并取得了一些成果.例如：王岳寶等［3］討論了不同分布兩兩NQD列乘積和的強(qiáng)穩(wěn)定性；陸鳳彬［4］討論了兩兩NQD列的完全收斂性和強(qiáng)大數(shù)定律；陳平炎［5］討論了兩兩NQD列在滿足r（1＜r＜2）階Cesaro一致可積條件下的Lr收斂性；文獻(xiàn)［6］提出了h－可積的概念并研究了隨機(jī)變量序列加權(quán)和的平均收斂性.本文在上述研究的基礎(chǔ)上，研究在h－可積條件下兩兩NQD陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性，所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)［7］中定理2.2的結(jié)論.

定義1 稱X和Y是NQD的，若對(duì)?x，y∈R，有P（X＜x，Y＜y）≤P（X＜x）P（Y＜y）；稱r.v.序列｛Xn，n≥1｝是兩兩NQD的，若對(duì) ?i≠j，Xi和Xj是NQD的.

定義2 稱隨機(jī)變量陣列｛Xnk，1≤k≤n，n＞1｝是行兩兩NQD的，如果對(duì)任意的n≥2，有Xn1，Xn2，…，Xnn是兩兩NQD的.

定義3 設(shè)｛Xnk，un≤k≤vn，n≥1｝是隨機(jī)變量陣列，｛ank，un≤k≤vn，n≥1｝是常數(shù)陣列，且.令｛h（n），n≥1｝是遞增的正數(shù)列，且h（n）↑∞ （n→ ∞）.若其滿足以下條件：

則稱陣列｛Xnk｝關(guān)于常數(shù)陣列｛ank｝是h－可積的.

引理1［3］對(duì)任意實(shí)數(shù)列｛xi，i≥1｝及任意n≥m≥1有，其中是與n及｛xj，j≥1｝無(wú)關(guān)的常數(shù).

引理2［8］設(shè)l（x）＞0為x→ ∞ 的緩變函數(shù)，則

引理3［9］設(shè)｛Xn，n≥1｝是兩兩 NQD列，EXn＝0，EX2n＜ ∞ （n≥1），記，其中j≥0，則有：

本文中恒設(shè)定N為正整數(shù)集，｛Xnk，1≤k≤n，n∈N｝是定義在同一概率空間的隨機(jī)變量陣列.I（A）為A的示性函數(shù).約定C表示正常數(shù)，且在不同地方表示不同的值.

1 主要結(jié)論及其證明

定理1 設(shè)｛Xnk，1≤k≤n，n≥1｝為零均值且方差有限的行兩兩NQD的陣列，｛ank，1≤k≤n，n≥1｝是常數(shù)陣列，｛h（n），n≥1｝是單調(diào)不減序列，且h（n）↑∞，n→ ∞，l（x）是緩變函數(shù).設(shè)α＞0，αp＞1，0＜δ＜1，q＞0，t＞0為實(shí)數(shù)，滿足αp－q＜0，ap－t＜0及α－q＋1＜0.若下面3個(gè)條件成立：① ｛Xnk｝是關(guān)于常數(shù)陣列ank的h－可積分；則對(duì)任意m∈N，有

證明 由引理1及Jessen不等式知，證明（1）式，只須證明（2）和（3）式即可.

對(duì)每個(gè)1≤i≤n（n≥1），令Yni＝－h(huán)（n）I（Xni＜－h(huán)（n））＋XniI（｜Xni｜＜h（n））＋h（n）I（Xni＞h（n）），則｛Yni｝也為行兩兩NQD陣列，從而有，由此證明（2）式只需證明S1＜∞和S2＜∞.對(duì)于S2，由Chebyshev不等式及方差有界性，對(duì)2k≤n≤2k＋1，k∈N，根據(jù)條件③有.對(duì)于S1，由EXni＝0可得EXniI（｜Xni｜≤h（n））＝－EXniI（｜Xni｜＞h（n））.由條件 ① 有

根據(jù)（4）式，對(duì)充分大的n，由Chebyshev不等式和引理2、3及條件②，有

對(duì)于（3）式有

［1］Lehmann E L.Some concepts of dependence［J］.Ann Math Statist，1966，43：1137－1153.

［2］Joag－Dev K，Proschan F.Negative association of random variables with applications［J］.Ann Statist，1953，11：286－295.

［3］王岳寶，嚴(yán)繼高，成鳳，等.關(guān)于不同分布兩兩NQD列的Jamsion型加權(quán)乘積和的強(qiáng)穩(wěn)定性［J］.數(shù)學(xué)年刊，2001，22A（6）：701－706.

［4］陸鳳彬.兩兩 NQD序列的完全收斂性和強(qiáng)大數(shù)定律［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2003，16（4）：29－33.

［5］陳平炎.兩兩 NQD隨機(jī)序列的Lr收斂性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2008，28A（3）：447－453.

［6］Cabrera MO，Volodin A I.Mean convergence theorems and weak laws numbers for weighted sums of random variables under a condition of weighted integrability［J］.J Math Anal Appl，2005，305（2）：644－658.

［7］章茜，王文勝.h－可積條件下兩兩 NQD陣列加權(quán)和的完全收斂性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2010，48（2）：183－188.

［8］Bingam N H，Goldie C M，Teugels J L.Regular Variation［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1987.

［9］吳群英.兩兩 NQD列的收斂性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，45（3）：617－624.

Complete convergence for the weighted product sums of pairwise NQD random arrays

WANG Kuan－cheng，YANG Ying－zhong
（DepartmentofInformationManagement，MinnanUniversityofScienceand Technology，Quanzhou362700，China）

Under the condition ofh－integrality，we investigate the complete convergence for the weighted sums of pairwise NQD random arrays using the means moment inequality and truncated method.The results extende and improve the results in［7］.

pairwise NQD random arrays；h－integrality；product sums；complete convergence

O211.4

A

1004－4353（2012）01－0025－03

2012－02－17

福建省教育廳科技項(xiàng)目（JB11215）

王寬程（1981—），男，講師，研究方向?yàn)楦怕蕵O限理論.