可加函數(shù)方程在廣義函數(shù)空間上的穩(wěn)定性

樸青松，金英山，李林松＊

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.延邊一中，吉林 延吉133000）

可加函數(shù)方程在廣義函數(shù)空間上的穩(wěn)定性

樸青松1，金英山2，李林松1＊

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.延邊一中，吉林 延吉133000）

利用廣義函數(shù)正則化的方法給出1個(gè)可加函數(shù)在廣義函數(shù)空間上的一般解，并且利用熱方程的核給出該函數(shù)方程在緩增廣義函數(shù)上的Hyers－Ulam－Rassias型穩(wěn)定性，進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)［1］的結(jié)論.

廣義函數(shù)；熱方程的核；可加函數(shù)方程；穩(wěn)定性

0 引言

2007年，P.Nakmahachalasint［1］給出了1個(gè)n個(gè)變量的可加函數(shù)在賦范空間上的函數(shù)方程的穩(wěn)定性定理：

定理1 設(shè)X是向量空間，Y為Banach空間.如果映射f∶X→Y對所有x1，x2，…，xn∈X滿足，則存在1個(gè)唯一的線性映射L∶X→Y，使得L滿足函數(shù)方程，并且對所有x∈X，有

本文主要研究含有3個(gè)變量的可加函數(shù)，即

在緩增廣義函數(shù)空間S′（Rn）上的一般解及其Hyers－Ulam－Rassias函數(shù)方程的穩(wěn)定性.類似于文獻(xiàn)［2－4］中的方法，首先將方程（1）及其不等式在廣義函數(shù)空間上重新定義.即設(shè)A，B1，B2，B3，P1，P2，P3分別為：A（x，y，z）＝x＋y＋z，B1（x，y，z）＝x－z，B2（x，y，z）＝y(tǒng)－x，B3（x，y，z）＝z－y，P1（x，y，z）＝x，P2（x，y，z）＝y(tǒng)，P3（x，y，z）＝z，x，y，z∈Rn，則式（1）和相應(yīng)的不等式可重新描述為

對于廣義函數(shù)的拉回（pullback）u?A，u?B1，u?P1有下列運(yùn)算［5］：

1 基本概念

定義1［5－6］若Rn上的無窮可微函數(shù)φ，?α，β∈Nn0，滿足不等式，則稱φ為速降函數(shù).速降函數(shù)全體構(gòu)成的線性空間記為S（Rn）或者S，由擬范數(shù)族φα，β使S成為Frechet空間.設(shè)u是S（Rn）上的線性泛函，若存在C＞0及非負(fù)整數(shù)N，使得對任意φ∈S（Rn），有則稱u為緩增廣義函數(shù).緩增廣義函數(shù)全體記為S′（Rn）.

稱其為廣義函數(shù)u的高斯變換.

引理1［7］設(shè)u∈S′（Rn），則其高斯變換~u（x，t）是熱方程的無窮可微解且滿足：①存在正數(shù)C，M，N，使得當(dāng)t→0＋時(shí)，~u（x，t）→u（S′），即對于任意φ∈

2 S′（R n）上可加方程的一般解及其穩(wěn)定性

下面給出方程（2）在廣義空間S′（Rn）上的一般解及不等式（3）的 Hyers－Ulam－Rassias穩(wěn)定性定理.用熱方程的核的張量積Et（ξ）Es（η）Er（ζ）對方程（2）做卷積，由（4）式可得

類似的有：

引理2 若函數(shù)f∶Rn×（0，＋∞）→C連續(xù)，且對所有x，y，z∈Rn，t，s，r＞0滿足

則存在bi∈C，使得其中x＝ （x1，x2，…，xn）∈ Rn，t＞0.

證明 由（6）式易知，對每個(gè)x∈Rn，f（x，0＋）∶＝limt→0＋f（x，t）存在.令x＝y(tǒng)＝z＝0，t＝s＝r→0＋，則由（6）式可得f（0，0＋）＝0.在（6）式中，令x＝y(tǒng)＝z＝0，則有f（0，t＋s＋r）＝f（0，t）＋f（0，s）＋f（0，r）＋f（0，t＋r）＋f（0，s＋t）＋f（0，r＋s）.令t＝s，r→0＋，由f（0，0＋）＝0，可得對所有的t＞0，f（0，t）＝0.在（6）式中，設(shè)y＝z＝0，則由f（0，t）＝0可得

令s→0＋，即可得到f（x，t）＋f（－x，t）＝0.再由式（7）有f（x，t＋s＋r）＝f（x，t）＋f（x，t＋r）－f（x，s＋t）.令r→0＋，可得f（x，t＋s）＝f（x，t）.這個(gè)等式說明函數(shù)f（x，t）與t無關(guān).因此，設(shè)h（x）＝f（x，t），由式（6）有h（x＋y＋z）＝h（x）＋h（y）＋h（z）＋h（x－z）＋h（y－x）＋h（z－y）.根據(jù)文獻(xiàn)［1］的定理2.1和h的連續(xù)性，f（x，t）可以表示為，其中bi∈C.證畢.

由引理2可得到下面的結(jié)論.

定理2 設(shè)u∈S′（Rn）滿足方程

證明 用Et（ξ）Es（η）Er（ζ）對方程（8）的兩邊做卷積可得，其中~u是u的高斯變換.因?yàn)閪u是無窮可微函數(shù)，故由引理2可得其中bi∈C.令t→0＋，由引理1中的條件②即得證畢.

下面給出本文的主要結(jié)論.

定理3 若u∈S′（Rn）滿足不等式其中bi∈C，xi∈R.

證明 類似于前面的方法，對不等式（9）的兩邊用Et（ξ）Es（η）Er（ζ）做卷積，可得

其中x，y，z∈Rn，t，s，r＞0，~u是u 的高斯變換.設(shè)，則h（0，t）＝0，并且

由（13）式容易證明，對每個(gè)（x，t）∈Rn×（0，＋∞），｛2－kh（2kx，t）｝∞k＝1是局部一致柯西序列，因此，由式（11）和（13）知，g（x，t）∶＝limk→∞2－kh（2k，t）是Rn×（0，＋∞）上的連續(xù)函數(shù)并且滿足g（x＋y＋z，t＋s＋r）＝g（x，t）＋g（y，s）＋g（z，r）＋g（x－z，t＋r）＋g（y－x，s＋t）＋g（z－y，r＋s），且以此類推，可得

由（10）式知，c∶＝lim supt→0＋f（0，t）存在.在（10）式中，設(shè)x＝y(tǒng)＝z＝0，t＝s，并令r→0＋，可得.因此，

在（16）式中，設(shè)tn→0，使得當(dāng)n→∞時(shí)，f（0，tn）→c，則.故由（16）式知，

證畢.

注1 由不等式（17），u－L（x）屬于（L1）′＝L∞，因此u∈S′（Rn）可唯一地表示為u＝L（x）＋υ，其中υ是有界可測函數(shù)，并且因此，在（15）式中，令t→0＋，即得

注2 對于n個(gè)變量的可加函數(shù)可以用完全類似的方法獲得相類似的結(jié)果.

［1］Nakmahachalasint P.On the Hyers－Ulam－Rassias stability of ann－dimensional additive functional equation［J］.Thai Journal of Mathematics，2007，special issue：81－86.

［2］Lee Y S.Stability of a quadratic functional equation in the spaces of generalized functions［J］.Journal of Inequalities and Applications，2008：210615.

［3］Chung J.Stability of functional equations in the space of distributions and hyperfunctions［J］.J Math Anal Appl，2003，286：177－186.

［4］Chung J.A distributional version of functional equations and their stabilities［J］.Nonlinear Analysis，2005，62：1037－1051.

［5］H?rmander L.The Analysis of Linear Partial Differential Operator I［M］.Berlin：Springer－Verlag，1983.

［6］Schwartz L.Théorie Des Distributions［M］.Paris：Hermann，1966.

［7］Matsuzawa T.A calculus approach to hyperfunctionsⅢ［J］.Nagoya Math J，1990，118：133－153.

Stability of an additive functional equation in the space of generalized functions

PIAO Qing－song1，JIN Ying－shan2，LI Lin－song1＊
（1.DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China；2.YanbianNo.1HighSchool，Yanji133000，China）

We investigate the general solution of an additive functional equation in the space of generalized functions using the method of regularizing distributions，and give the Hyers－Ulam－Rassias stability of an additive functional equation in the space of tempered distributions using heat kernel.Our results generalize the reference of［1］.

distributions；heat kernel；additive functional equation；stability

O178；O177.4

A

1004－4353（2012）01－0013－04

2012－01－09

教育部留學(xué)歸國人員科研啟動基金資助項(xiàng)目（教外司留［2008］890號）

＊通信作者：李林松（1968—），男，博士，副教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用泛函分析.