關(guān)于可遞代數(shù)性質(zhì)的一點(diǎn)注記

程國(guó)正

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

關(guān)于可遞代數(shù)性質(zhì)的一點(diǎn)注記

程國(guó)正

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

證明了一類非完全NP核空間上移位算子Mz具有可遞代數(shù)性質(zhì)，這是對(duì)已有相關(guān)結(jié)果的一個(gè)重要推廣．

可遞代數(shù)性質(zhì)；完全NP核；加權(quán)Dirichlet空間；移位算子

令H是一個(gè)可分的復(fù)Hilbert空間，B(H)表示H上的有界線性算子全體．B(H)中一個(gè)包含單位的子代數(shù)A成為可遞的，如果它滿足：

1）A關(guān)于弱算子拓?fù)涫情]的；

2）Lat(A)={{0}，H}，這里L(fēng)at(A)表示A的不變子空間全體．

著名的可遞代數(shù)問(wèn)題是：若A是Hilbert空間H上的一個(gè)可遞代數(shù)，則B(H)A= ？

可遞代數(shù)問(wèn)題是目前算子理論中的一個(gè)重要公開(kāi)問(wèn)題，它最早隱含在美國(guó)科學(xué)院院士Kadison的文章[1]中．1964年，Arveson[2]首次具體地提出這個(gè)問(wèn)題，并得到一個(gè)著名的刻畫，即Arveson引理．上世紀(jì)六七十年代，可遞代數(shù)問(wèn)題是算子理論中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，許多學(xué)者在Arveson工作的基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入研究，取得了豐碩成果，見(jiàn)文獻(xiàn)[3]第8章．所取得的結(jié)果在形式上比較一致：當(dāng)一個(gè)可遞代數(shù)A包含某些特殊算子時(shí)，

1 可遞代數(shù)性質(zhì)

若Ω是復(fù)平面C上的一個(gè)區(qū)域，一個(gè)函數(shù)成為一個(gè)完全NP核，如果滿足：

最近，筆者和郭坤宇教授等[6]將函數(shù)空間上的可遞代數(shù)問(wèn)題約化成圖不變子空間的纖維維數(shù)計(jì)算，并且得到如下結(jié)果：具有完全NP核空間上的移位算子Mz具有可遞代數(shù)性質(zhì)．這個(gè)結(jié)果是目前關(guān)于函數(shù)空間上可遞代數(shù)問(wèn)題最完整的結(jié)果．

2 主要結(jié)果

本節(jié)將給出一類非完全NP核空間，但是這類空間上的移位算子Mz依然具有可遞代數(shù)性質(zhì)，由此說(shuō)明文獻(xiàn)[1]中的完全NP核不是必要的．

設(shè)μ是支集在閉單位圓盤中的有限正Borel測(cè)度，由此定義D上的權(quán)函數(shù)Uμ為：

其中T是單位圓周．然后，加權(quán)Dirichlet空間D()μ定義為由D上依下述范數(shù)是有限的解析函數(shù)組成：

注記1 最初的加權(quán)Dirichlet空間D(μ)是Richter[7]引入的．Shimorin[8]證明了加權(quán)Dirichlet空間是完全NP核的．

注記2 Shimorin[8]指出：D上的任意正上調(diào)和函數(shù)均具有上述所定義的加權(quán)函數(shù)Uμ的形式．特別地，當(dāng)取時(shí)，D(μ)就是Hardy空間；當(dāng)取時(shí)，D(μ)就是經(jīng)典的Dirichlet空間．

下面將介紹一類由Aleman[9]引入的非完全NP核空間．

空間Hλ具有許多良好的性質(zhì)，比如：具有再生核，任意一個(gè)元素均是兩個(gè)有界解析函數(shù)的商，胞腔不可分的，等等．

接下去我們給出特殊的λ來(lái)說(shuō)明Hλ不是完全NP核空間，首先需要如下引理[10]．

[1] Kadison R. On the orthogonalization of operator representation [J]. Amer J Math, 1955, 77: 600-621.

[2] Arveson W. A density theorem for operator algebras [J]. Duke Math J, 1967, 24: 635-647.

[3] Radjavi H, Rosenthal P. Invariant Subspaces [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1973: 138-166.

[4] Radjavi H, Rosenthal P. A sufficient condition that an operator algebra be self-adjoint [J]. Canad J Math, 1971, 23: 588-597.

[5] Richter S. Invariant subspaces of the Dirichlet shift [J]. J Reine Angew Math, 1988, 286: 205-220.

[6] Cheng G Z, Guo K Y, Wang K. Transitive algebras and reductive algebras on reproducing analytic Hilbert spaces [J]. J Funct Anal, 2010, 258: 4229-4250.

[7] Richter S. A representation theorem for cyclic analytic two-isometries [J]. Trans AMS, 1991, 328: 325-349.

[8] Shimorin S. Complete Nevanlinna-Pick property of Dirichlet-type spaces [J]. J Funct Anal, 2002, 191: 276-296.

[9] Aleman A. Hilbert spaces of analytic functions between the Hardy and Dirichlet space [J]. Proc AMS, 1992, 115: 97-104.

[10] Agler J, Carthy J M. PickInter polation and Hilbert Function Spaces [M]. Rhode Island: American Mathematical Society, 2002: 88-89.

Some Remark on Transitive Algebra Property

CHENG Guozheng
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Transitive algebra property could be found in the shift operatorMzon a class of non-complete NP kernel spaces. The achievement is an important extension of related results.

Transitive Algebra Property; Complete NP Kernel; Weighted Dirichlet Space; Shift Operator

(編輯：王一芳)

O177.1

A

1674-3563(2012)04-0016-04

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.04.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2011-11-14

國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(11101312)

程國(guó)正(1982- )，男，浙江溫嶺人，講師，博士，研究方向：泛函分析