＊ 平面上各向異性二維格點模型的密度演化

林海，張建忠，喬文華

（包頭師范學(xué)院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030）

＊平面上各向異性二維格點模型的密度演化

林海，張建忠，喬文華＊

（包頭師范學(xué)院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030）

模擬了兩個各向異性的二維格點模型的密度演化，并與各向同性模型進行對比.結(jié)果表明：具有無限多個吸收態(tài)的二維格點模型的密度演化受控于演化的動力學(xué)機制；不同的模型使得激活態(tài)和吸收態(tài)的存活區(qū)域不同，各向同性模型比各向異性模型更易于趨向均勻化，控制參數(shù)r對演化取向影響更明顯.

各向異性模型；吸收態(tài)；激活態(tài)；密度演化

0 引言

由于非平衡態(tài)的相變，特別是具有吸收態(tài)的非平衡態(tài)的相變在生態(tài)進化、表面催化反應(yīng)及介質(zhì)的界面行為研究等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景，使人們對非平衡態(tài)相變的研究不斷深入.研究非平衡態(tài)相變的方法之一就是引入相應(yīng)的理論模型，迄今為止，所用的理論模型有含有一個吸收態(tài)的模型，含有兩個吸收態(tài)的模型［1－2］以及具有無限多個吸收態(tài)的模型［3－6］.例如Bak－Sneppen’s的物種進化模型（BS模型）就是一個簡單而有趣的此類模型［2］，在這個模型中，Bak和Sneppen建議每一個物種對其所處的環(huán)境有一個適應(yīng)度fi∈（0，1），在進化的每一時刻，具有最小適應(yīng)度的物種將發(fā)生變異，它被一個具有隨機適應(yīng)度的新物種替代，而且與它最近鄰的物種也受到影響，它們的適應(yīng)度也被隨機的選擇.而Lipowski等研究了幾個類似的模型［7－9］，Lipowski模型的主要思想是，一個給定物種的適應(yīng)度是由它和周圍物種之間的相互作用的大小來確定.在這樣的模型中，如果物種的適應(yīng)度低于一定的閾參量r，就稱此物種處在激活態(tài)，這里r被認為是某種類型的生態(tài)學(xué)作用力，根據(jù)r的值決定模型是處在激活態(tài)還是處在非激活態(tài)（吸收態(tài)）.因為Lipowski等討論的是一個一維的具有無限多個吸收態(tài)的模型，所以在以前的工作中，我們模擬了具有無限多個吸收態(tài)的各向同性的二維模型的密度演化和相變，并得出了一些有意義的結(jié)果［10］.然而，對于具有無限多個吸收態(tài)的各向異性二維模型的研究尚少見報道，由于許多實際問題是各向異性的，因此，本文采用蒙特卡羅（Monte Carlo）方法對平面上各向異性的二維格點模型進行分析和密度演化的計算機模擬，并將模擬結(jié)果與先前的結(jié)果進行對比分析.

1 模型簡介和蒙特卡羅模擬

按照上述分析，我們考慮各向異性的具有無限多個吸收態(tài)的兩相模型，建立如圖1（P655）所示的層狀模型，每層的正方網(wǎng)格的格點都有兩種可能的狀態(tài)（我們稱之為自旋態(tài)（10））.其中格點（i，j）的自旋用Si，j表示（i，j＝0，1，2，…）.Si，j有1或0兩種取值，Si，j＝1的狀態(tài)稱為激活態(tài)，Si，j＝0的狀態(tài)稱為吸收態(tài).格點間的相互作用稱為內(nèi)鍵變量.設(shè)同一層中，每個格點只與其最近鄰的四個格點發(fā)生相互作用，格點（i，j）與其最近鄰的四個格點間的內(nèi)鍵變量分別用wi－1，j、wi＋1，j、wi，j－1、wi，j＋1表示.層與層之間的每個格點，我們只考慮與其正對的上下兩個格點的作用，其層間的內(nèi)鍵變量為w.X、Y、Z軸方向的內(nèi)鍵變量wi±1，j、wi，j±1、w的值域是不同的，此即為各向異性模型.雖然我們考慮的內(nèi)鍵變量是三維的，但其動力學(xué)演化只模擬同一層內(nèi)進行的情況.

圖1 二維模型的格點結(jié)構(gòu)Fig.1 Grid structure of two－dimensional mode

引入兩個實參數(shù)r和s＞0，對任意格點（i，j）建立下列關(guān)系

作為模型演化的動力學(xué)機制（這里r是閾參量或稱為控制參數(shù)）.具體的演化按以下方式進行：當(dāng)格點（i，j）滿足式（1）時，不論該格點原來處于什么狀態(tài)，它都將被演變成激活態(tài)，其Si，j＝1，相應(yīng)的內(nèi)鍵變量w i－1，j、w i＋1，j、w i，j－1、w i，j＋1及w也都將在各自的值域內(nèi)重新隨機賦值；當(dāng)格點（i，j）不滿足式（1）時，不論該格點原來處于什么狀態(tài)，它都將被演變成吸收態(tài)，其Si，j＝0，與其相連接的鍵變量均保持不變.

為了探討不同動力學(xué)機制對演化過程的影響，我們建立了兩個不同的各向異性模型，其主要差異體現(xiàn)在內(nèi)鍵變量的值域上.

上述兩個模型中鍵變量w i，j值域的選擇方式，為的是保證鍵變量在同一層面內(nèi)X，Y兩個不同方向的值域不同（即w i±1，j與w i，j±1選擇不同的值域，體現(xiàn)其各向異性的特征），以區(qū)別于各向同性模型［10］.而在模型A和模型B中，w i±1，j與w i，j±1選擇不同的值域，目的是為了檢測這種各向異性的強弱差異對密度演化的影響.

因為模擬只能在有限大小的模型中進行，為了消除邊界效應(yīng)影響，我們引進周期性邊界條件，這樣演化結(jié)果就與平方格點的尺度大小無關(guān)［10］，我們選取的平方格點的尺度是L＝120.當(dāng)演化每遍歷層間的所有格點，記作一個蒙特卡羅步長（MC），作為模擬的時間單位，在整個演化過程中s取一特定的常數(shù).

2 模擬結(jié)果及與各向同性模型的比較

根據(jù)模擬數(shù)據(jù)我們可以作出r取不同值時的密度演化圖像，即ρ－t圖.模型A的演化圖像如圖2（P656）、圖3（P656）所示，圖2表示的是向激活態(tài)演化，上、中、下三條線分別對應(yīng)于r＝0.011、r＝0.000 5、r＝0，圖3表示的是向吸收態(tài)演化，上、中、下三條線分別對應(yīng)于r＝－0.000 02、r＝－0.000 05、r＝－0.000 9.

模型B的演化圖像如圖4（P656）、圖5（P656）所示，圖4表示的是向激活態(tài)演化，上、中、下三條線分別對應(yīng)于r＝0.06、r＝0.001、r＝0，圖5表示的是向吸收態(tài)演化，上、中、下三條線分別對應(yīng)于r＝－0.000 5、r

＝－0.000 9、r＝－0.001 5.

圖2 模型A的態(tài)密度隨時間的演化上、中、下三條線分別對應(yīng)于r＝0.011、r＝0.000 5、r＝0）Fig.2 States density evolve over time on model A Plot ofρas a function of t for r＝0.011，0.000 5，0，（from top to the bottom）

圖3 模型A的態(tài)密度隨時間的演化（上、中、下三條分別對應(yīng)于r＝－0.000 02、r＝－0.000 05、r＝－0.000 9）Fig.3 States density evolve over time on model A Plot ofρas a function of t for r＝－0.000 02，－0.000 05，－0.000 9，（from top to the bottom）

圖4 模型B的態(tài)密度隨時間的演化上、中、下三條線分別對應(yīng)于r＝0.06、r＝0.001、r＝0）Fig.4 States density evolve over time on model B Plot ofρas a function of t for r＝0.06，0.001，0，（from top to the bottom）

圖5 模型B的態(tài)密度隨時間的演化（上、中、下線分別對應(yīng)于r＝－0.000 5、r＝－0.000 9、r＝－0.001 5）Fig.5 States density evolve over time on model B Plot ofρas a function of t for－0.000 5，－0.000 9，－0.001 5，（from top to the bottom）

根據(jù)密度演化圖像的圖2和圖4，我們看出系統(tǒng)從一個具有無限多個吸收態(tài)的初始狀態(tài)演化為各格點全部處于激活態(tài)時，r的取值情況；根據(jù)密度演化圖像的圖3和圖5，我們看出系統(tǒng)從一個具有無限多個吸收態(tài)的初始狀態(tài)演化為格點全部處于吸收態(tài)時r的取值情況.各模型的密度演化控制參數(shù)如表1所示.

表1 各模型的密度演化控制參數(shù)的對比Table 1 Control parameters contrast for three modles

3 結(jié)論

通過對兩個各向異性二維格點模型的密度演化的計算機模擬，并與各向同性二維模型模擬結(jié)果的對比，我們得出如下的結(jié)論：

（1）具有無限多個吸收態(tài)的二維格點模型的密度演化受控于演化的動力學(xué)機制，但是，盡管不同模型中的內(nèi)鍵變量不同，在控制參數(shù)r的一定取值范圍內(nèi)（見表1），不同模型均可實現(xiàn)激活態(tài)與吸收態(tài)之間的轉(zhuǎn)變.改變控制參數(shù)r的取值，可以控制格點密度演化的方向，即可演化成全部是激活態(tài)，也可以演化成全部是吸收態(tài)，還可以是激活態(tài)與吸收態(tài)兩相共存.

（2）不同的模型使得激活態(tài)和吸收態(tài)的存活區(qū)域不同，對于各向異性模型只要控制參數(shù)r≥0，無論r的取值怎樣小，格點不會全部進入吸收態(tài)，即系統(tǒng)中都有一定的激活態(tài)存在，只有控制參數(shù)r取某負值后（模型A的r＝－0.000 07，模型B的r＝－0.001 5），系統(tǒng)才能全部進入吸收態(tài).而與此不同，各向同性模型中，只要r＜0時（文獻［10］中給出了r＝－1×10－9時的結(jié)果），系統(tǒng)中的格點就全部演化為吸收態(tài).一個自然的解釋是，由于各向同性模型比各向異性模型更易于趨向均勻化，格點間的關(guān)聯(lián)更強，從而控制參數(shù)r對演化取向影響更明顯.

（3）盡管在我們討論的兩個不同模型中內(nèi)鍵變量不同，但是在每個模型的兩相共存區(qū)域，控制參數(shù)r都分布于r＝0兩側(cè)，隨著r由正到負的逐漸減小，此時系統(tǒng)也逐漸由激活態(tài)向激活態(tài)和吸收態(tài)兩相共存，進而再由激活態(tài)和吸收態(tài)兩相共存的狀態(tài)向吸收態(tài)連續(xù)過渡和演變的過程.上述情況它是否預(yù)示著一個普遍的規(guī)律，我們將會進一步地去探究.

［1］ Marro J，Dickman R.Nonequilibrium Phase Transitions in Lattice Models［M］.Cambridge University Press，Cambridge，1999.

［2］ Bak P，Sneppen K.Punctuated Equilibrium and Criticality in a Simple Model of Evolution ［J］.PhysRevLett，1993，71：4083－4086.

［3］ Jensen I.Critical Behaviors of a Surface Reaction Model with Infinitely many Absorbing Satates［J］.JPhysA：MathGen，1994，27：L61－L68.

［4］ Mendes J F F，Dickman R，Henkel M，etal.Generalized Scaling for Models with Multiple Absorbing Satates［J］.JPhys A：MathGen，1994，27：3019－3028.

［5］ Marques M C，Mendes J F F.A Parity Conserving Dimmer Model with Infinitely many Absorbing States［J］.EurPhys J，1999，B12：123－127.

［6］ Qiao W H，F(xiàn)ang H，He C S，etal.Critical Spreading of Active Region in a Ladder Model Possessing Infinite Absorbing States，Commun［J］.TheorPhys，2004，41：60－62.

［7］ Lipowski A，Lopata M.Model of Biological Evolution with Threshold Dynamics and Infinitely many Absorbing States［J］.PhysRev，1999，E60：1516－1519.

［8］ Lipowski A.Generic Criticality in a Model of Evolution［J］.PhysRev，2000，E62：3356－3359.

［9］ Lipowski A.Criticality in a Model with Absorbing States［J］.PhysRev，2001，E63：026105－1－026105－5.

［10］ 喬文華，張書源，陳向華，等.具有無窮多個吸收態(tài)的二維模型的密度演化［J］.內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，38（3）：263－266.

Anisotropic Density Evolution of Models of Two－dimensional Lattice in Plane

LIN Hai，ZHANG Jian－zhong，QIAO Wen－h(huán)ua
（Departmentofphysics，BaotouTeacher’sCollege，InnerMongolia，Baotou014030，China）

We simulated two anisotropic density evolution models of two－dimensional lattice，and be compared with the isotropic model.The results show that the density evolution model of the two－dimensional lattice with the infinite number of absorbing states is under the control of the dynamic mechanism，and the different models makes activation states and absorption states the survival in different regions，the isotropic model is easier than the anisotropic model tend to uniformity and orientation is more obvious through the evolution of control parameterr.

anisotropy model；activated state；absorption state；density evolution

O411

A

2010－11－16；

2011－05－17

內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金（20080404 MS0108）

林海（1964－），男，副教授，主要從事計算物理的研究.＊通信聯(lián)系人：喬文華（1955－），男，教授.E－mail：qwh55＠sohu.com

0253－2395（2012）04－0654－04