半平面上有限級Laplace-Stieltjes變換的正規(guī)增長

蘭麗英

(江西理工大學應用科學學院，江西贛州341000)

半平面上有限級Laplace-Stieltjes變換的正規(guī)增長

蘭麗英

(江西理工大學應用科學學院，江西贛州341000)

研究了在一般的指數(shù)條件下，右半平面上有限級Laplace-Stieltjes變換的正規(guī)增長性與它的系數(shù)的關系，得到了一個充要條件．

Laplace-Stieltjes變換；型函數(shù)；增長級；精確級

0 引言

考慮由Laplace-Stieltjes變換所定義的函數(shù)

式（1）中：a（x）是對于x≥0有定義的實數(shù)或復數(shù)值函數(shù)，而且它在任何閉區(qū)間[0,X]（0＜X＜+∞）上是囿變的.記

作序列

由文獻[1]知當序列（2）滿足

時，式（1）定義了一個右半平面的解析函數(shù).

定義1F（s）在右半平面Re s＞0的增長級ρ定義為

定義2設式（1）的級ρ為有限正數(shù)，仿照文獻[2]，引進U（r）=rρ（r）.其中ρ（r）在r＞r0上非負，連續(xù)，單調.且滿足

（3）對每個正數(shù)k有U（kr）=[kρ+o（1）]U（r）（r→+∞），并且當r＞r0′＞r0時，U（r）為r的增函數(shù).若稱F（s）在Re s＞0上具有F（s）在Re s＞0上的精確級，稱F（s）的型函數(shù).

當ρ=0，0＜ρ＜+∞或ρ=+∞時，式（1）分別稱為零級，有限級和無限級Laplace-Stieltjes變換.關于有限級Laplace-Stieltjes變換，在文獻[3]中有如下結果.

定理1設有限ρ級Laplace-Stieltjes變換式（1）滿足式（3）和

則

并且存在一個遞增正整數(shù)列｛nv｝，使

其中0＜τ＜+∞，U（r）為定義2中的型函數(shù)，r=W（t）是t=rU（r）的反函數(shù).

文中將在更一般的指數(shù)條件下討論有限級Laplace-Stieltjes變換的精確級與系數(shù)的關系，所得結果簡化并推廣了上述結果.在文中，C表示常數(shù)，但前后數(shù)值可能不同.

1 引理

引理1[4-5]設b＞0，σ＞0，則函數(shù)

引理2[4-6]設a＞0，λ＞0，則函數(shù)

其中r=W（t）與t=rU（r）互為反函數(shù)，且

引理3[4-7]設U（r）為定義2中的型函數(shù)，A＞0，{λnv}為一列嚴格遞增正數(shù)列，存在一列單調遞減收斂于零的正數(shù)列{σv}，使

引理4[8]設有限ρ級Laplace-Stieltjes變換式（1）滿足式（3）和

其中α=（ρ+1）ρ+1·ρ-ρ，U（r）為定義2中的型函數(shù).

2 主要結果

定理2設有限ρ級Laplace-Stieltjes變換式（1）滿足式（3）和

并且存在一個遞增正整數(shù)列{nv}，使

其中α=（ρ+1）ρ+1·ρ-ρ，U（r）為定義2中的型函數(shù).

由于r=W（t）與t=rU（r）互為反函數(shù)，且它們都是單調遞增，所以

則由引理3得σv↓0.于是，對任意充分小的σ＞0，v∈N+，使σv+1＜σ＜σv，所以由引理1和引理3

“必要性”若式（7）左邊成立，由引理4知，式（7）右邊也成立.下面證明式（8）成立.取單調下降正數(shù)列{εk}→0，令

由式（7）右邊知，對每個k∈N+，Ek為非空無限集且Ek+1Ek.將Ek中正整數(shù)從小到大排列，面分兩種情況討論：

（1）若對每個k∈N+，

注意到Ek+1Ek，可取Nk+1＞Nk，因此Ek的子集

故當n≥n0時，

則對任意t∈R，有

所以當λn＜x≤λn+1，σv＞0時

利用式（6），可得

故

這與式（7）左邊矛盾.從而定理得證.

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The regular growth of Laplace-Stieltjes transform of finite order in the half-plane

LAN Li-ying

（Faculty of Applied Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China）

In this article,the relations between the order of growth and regular growth of Laplace-Stieltjes transform of finite order in the right half-plane and the coefficients are studied under the general exponential conditions.Then the necessary and sufficient condition is obtained.

Laplace-Stieltjes transform;the type function;order;the proximate order

O174.5

A

2011-10-31

國家自然科學基金資助項目（1072607）

蘭麗英（1980-），女，講師，畬族，主要從事不確定性推理等方面的研究，E-mail：lanliying318@126.com.

2095-3046（2012）03-0094-04