帶梯度項的半線性橢圓型方程正徑向整大解的存在性＊

方鐘波，茹海霞

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

0 引言

本文考慮帶梯度項的半線性橢圓型方程

其中N≥3，m＞0，λ≠0，f（u）滿足

p（x）為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且有α＝infx∈RN p（x）＞0，β＝supx∈RNp（x）＞0。

對于方程（1），若當(dāng)｜x｜→∞時，u（x）→∞，則稱此時的解為整大解（Entire large solution）。

最近，關(guān)于有界區(qū)域中或整體空間中橢圓型方程大解的研究非?；钴S，其中大解指的是當(dāng)空間變量趨于邊界時方程的解趨于無窮大。當(dāng)Ω是RN空間中具有光滑邊界的有界區(qū)域或整體空間且此時方程不帶梯度項時，關(guān)于方程（1）的大解或整大解的存在性和非存在性的研究已得出很多結(jié)論。例如，Bieberbach［1］研究了p（x）＝1，f（u）＝eu的情形；高維情形中p（x）和f（u）滿足適當(dāng)條件時大解的存在性問題及爆破速率［2－3］；p（x）滿足適當(dāng)條件且f（u）為乘冪形式時整大解的存在性［4－6］等。當(dāng)方程帶有梯度項時，Lair和Shaker［7］利用單調(diào)收斂法證明了當(dāng)p（x）滿足適當(dāng)條件且f（u）為乘冪形式時整大解存在性和不存在性的結(jié)論；在高維空間中p（x）滿足衰退條件（當(dāng)｜x｜→∞時，其中以及f（u）為滿足過原點的正連續(xù)非減函數(shù)時整大解的存在性［8］。此外，當(dāng)Ω是有界區(qū)域時Shuibo Huang和Qiaoyu Tian［9］利用上下解方法研究了大解的邊界漸近性態(tài)。

1 主要結(jié)論

據(jù)查找文獻(xiàn)所知，對拉普拉斯方程而言，p（x）滿足較弱條件下的研究甚少。尤其是關(guān)于方程中梯度項的指數(shù)m＞0時正徑向整大解存在性問題的研究還未展開。本文將采用Banach不動點定理和反證法證明正徑向整大解的存在性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，正徑向整大解的存在性依賴于梯度項的系數(shù)符號和指數(shù)的范圍。詳細(xì)結(jié)論如下：

定理1 若f滿足（A1）和（A2），且λ＞0，m＞0或λ＜0，0＜m≤1則方程（1）存在正徑向整大解u（r）。

2 主要結(jié)論的證明

為了證明定理，考慮如下更一般的徑向問題

其中a＞0為常數(shù)。下面分3步來證明問題（2）～（4）存在正徑向整大解。

第一步：局部存在性。

主要利用Banach不動點定理來證明問題（2）～（4）存在局部解。首先對方程（2）關(guān)于變量r從0到r積分，可得

考慮如下空間

其中ra，c為常數(shù)，

在空間E上定義映射T：

因為

因為

所以有

同理可知

顯然，若取ra≤inf（r1，r2，r3，r4），則T為壓縮映射。由①②即得，問題（2）～（4）在［0，ra］內(nèi)存在局部解。

第二步：整體存在性。

設(shè)問題（2）～（4）的解u＝u（·，a）的最大存在區(qū)間為［0，rmax），則只需驗證rmax＝∞。

假設(shè)rmax＜∞，顯然有u（r）→∞，當(dāng)r→rmax。先把問題（2）～（4）轉(zhuǎn)化為積分方程

上述積分方程中，若λ＞0，m＞0，則有

且

由條件（A2）知，當(dāng)r→rmax時u（r）有界，這與假設(shè)矛盾。即rmax＝∞。

若λ＜0，0＜m≤1，則

即

由條件（A2）知，當(dāng)r→rmax時u（r）有界，這與假設(shè)矛盾。即rmax＝∞。

第三步：正徑向解u（r）為整大解。

先證在［0，∞）上u′（r）≥0。由初值條件u（0）＝a和u（r）的連續(xù)性知，存在r0＞0，對任意的成立。又由條件（A1）知，對任意的有

即

方程（2）兩邊取r→∞極限得

則存在充分大的r＞0，使得

進(jìn)而得

這與假設(shè)矛盾。

由上述1～3步知，方程（1）存在正徑向整大解u（r）。

定理證畢。

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［2］ Lair A V.A necessary and sufficient condition for existence of large solutions to semilinear elliptic equations［J］.J Math Anal Appl，1999，240：205－218.

［3］ Zhang Zhijun，Ma Yunjie，Mi Ling，et al.Blow－up rates of large solutions for elliptic equations［J］.J Differ Equations，2010，249：180－199.

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［7］ Lair A V，Shaker A W.Large solutions of semilinear elliptic equations with nonlinear gradient terms［J］.Int J Math Sci，1999，22：869－883.

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［9］ Huang Shuibo，Tian Qiaoyu.Asymptotic behavior of large solution for boundary blowup problems with nonlinear gradient terms［J］.Appl Math Comput，2009，215：3091－3097.