H3×R上常角曲面的有關(guān)結(jié)論

柴毅鳳

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

H3×R上常角曲面的有關(guān)結(jié)論

柴毅鳳

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

文章主要研究H3×R上法平面與R方向上的切平面和成常角數(shù)的曲面，并給出了一些相關(guān)的結(jié)論.

常角曲面；Levi-Civita聯(lián)絡(luò)；法聯(lián)絡(luò)；平均曲率向量

近年來，很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)積空間上的常角曲面進(jìn)行了研究，例如對(duì)H×R，H2×R，S2×R，S3×R等積空間上進(jìn)行了討論，這些研究對(duì)幾何學(xué)的發(fā)展起到非常重要的作用，更有助于數(shù)學(xué)其他分支以及許多科研問題的探究和發(fā)展.文獻(xiàn)［1－3］中FrankiDillen等人已經(jīng)給出了H2×R，S2×R，S3×R上的常角曲面為極小曲面的完整分類.

本文通過H3×R上常角曲面的Gauss，Ricci，Codazzi方程來討論其極小曲面的一個(gè)充分條件.

文章中所涉及到的概念和記號(hào)，可參看文獻(xiàn)［4］.

設(shè)M是H3×R上的曲面，T，ξ分別是M上的單位切向量和法向量，θ為ξ與?t的夾角，則我們可將?t分解為

對(duì)任意的p∈H2×R，其上的Riemann-Christoffel曲率張量ˉR可寫為

其中X，Y，Z，W∈T p（H3×R），且X H3＝X－〈X，?t〉?t是H3上切空間的投影.

對(duì)X，ξ，來滿足Cuass公式和 Weingarten公式：

對(duì)任意的X∈TM，根據(jù)（1）式我們可以推導(dǎo)如下引理：

引理1 設(shè)X是M上的一個(gè)切向量，則有

其中h是M上的第二基本形式，Aξ是關(guān)于ξ的投影算子是法聯(lián)絡(luò).

證明 由上述的（G）和（W）式可得：

一方面，

根據(jù)（4，5，6）式的結(jié)果可得到H3×R上的如下引理.

引理2 設(shè)M是H3×R上的常角曲面，其上的Gauss，Ricci和Codazzi方程分別可寫為：

在Gauss，Ricci和Codazzi方程中，將X，Y，Z分別換成T，T′，ξ，由（4），（5），（6），（10）式代入經(jīng)過計(jì)算可得H3×R中的Gauss，Ricci和Codazzi方程.

現(xiàn)在來討論H3×R上常角曲面M為極小曲面的一個(gè)充分條件，根據(jù)以上引理可得如下結(jié)論：

定理1 設(shè)M是H3×R上的常角曲面，其上的平均曲率向量→H，如果滿足→H＝0時(shí)，那么M是H3×R上的極小曲面.

證明 其證明過程類似與文獻(xiàn)［3］中.

現(xiàn)只需討論這個(gè)關(guān)系式即可證明此定理.因Aξ′知β1，β2不能同時(shí)為0，顯然只需證明若對(duì)任意的p∈M有λ（p）＝0，由上可知β1＋β3＝0，則有M是H3×R上的極小曲面.

下面分兩種情形來說明：

情形1 當(dāng)存在p∈M使得β2≠0時(shí)，則有p的領(lǐng)域U，使λ（β1＋β3）＝0.若λ（p）≠0，存在p的領(lǐng)域V?U有β1＋β3＝0，則有λx＝0，λy＝0，與假設(shè)矛盾，因此λ（p）＝0.

情形2 當(dāng)存在p∈M使得β2＝0時(shí)，則有p的領(lǐng)域U，使β2＝0，在U中，對(duì)（12），（14）關(guān)于y，x求導(dǎo)可得：

可知β1＋β3＝0，由（11），（13）式可得λ（p）＝0.故定理得證.

［1］Franki Dillen，Munteanu.Constant angle surfaces inH2×R［J］.Rull.Braz.Math.Soc.，2007，40：85-97

［2］Franki Dillen，F(xiàn)astenakels J，Vander Veken J，et al.Constant angle surfaces inS2×R［J］.Monatsh.Math.，2007，152：89-96

［3］Franki Dillen.Constant angle surfaces inS3×R［J］.Differential Geometry，2011，53：515-531

［4］白正國，沈一兵，水乃翔，等.黎曼幾何初步［M］.北京：高等教育出版社，2004

The Relevant Conclusion of Constant Angle Surfaces inH3×R

Chai Yifeng
（School of Mathematical Sciences，Shanxi University，Taiyuan 030006，China）

To studies constant angle surfaces inH3×R，the angle is the normal plane and the tangent plane to theR-direction，and it also gives relevant conclusion.

constant angle surfaces；Levi-Civita connection；normal connection；mean curvature tensor

王映苗】

1672-2027（2012）01-0069-03

O184

A

2011-09-10

柴毅鳳（1985-），女，山西運(yùn)城人，山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀碩士研究生，主要從事微分幾何研究.