基于條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)的油氣勘探投資組合決策模型研究

王 眾，張哨楠,，匡建超，龐河清

(1.成都理工大學(xué)能源學(xué)院，四川 成都 610059； 2.西南西石油大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院，四川 成都 610500； 3.成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610059)

油氣勘探屬于典型的“三高一長(zhǎng)”(高投入，高風(fēng)險(xiǎn)，高收益，長(zhǎng)周期)項(xiàng)目，作為石油公司的一項(xiàng)主要投資活動(dòng)，如何從收益—風(fēng)險(xiǎn)的角度配置好有限資源，降低勘探風(fēng)險(xiǎn)，已成為石油公司面臨的艱巨任務(wù)[1]。為提高決策質(zhì)量，理論界和石油公司也在不斷探索新的理論及方法，如：模擬仿真、多屬性效用決策、現(xiàn)代投資組合理論、實(shí)物期權(quán)等[2]。其中，盡管現(xiàn)代投資組合理論直到20世紀(jì)80年代才在石油工業(yè)中得到應(yīng)用，但近年來(lái)隨著石油公司海外勘探機(jī)會(huì)日漸增多、勘探風(fēng)險(xiǎn)日趨增大，現(xiàn)代投資組合理論因其能有效分散投資風(fēng)險(xiǎn)，在一定程度上實(shí)現(xiàn)整體勘探投資收益—風(fēng)險(xiǎn)的均衡，受到越來(lái)越收多的關(guān)注與重視[3]。

目前，國(guó)外學(xué)者在油氣勘探投資組合領(lǐng)域進(jìn)行了大量研究，如：Davidson(1995)[4]、Orman(1999)[5]、Fichter(2000)[6]、Erdogan(2001)[7]、Garcia(2003)[8]、Walls(2004)[2]等。盡管?chē)?guó)內(nèi)學(xué)者從20世紀(jì)末21世紀(jì)初才開(kāi)始逐步開(kāi)展該領(lǐng)域的研究，但仍取得了一定的研究成果，其中具有代表性的有：李玉蓉(2004)[9]、馬士忠(2006)[10]、郭秋麟(2007)[11]、王震(2008)[12]、殷愛(ài)貞(2010)[13]等。然而通過(guò)文獻(xiàn)回顧，筆者發(fā)現(xiàn)幾乎該領(lǐng)域所有的研究都是以Markowitz的均值—方差模型[14-15]為基礎(chǔ)，即運(yùn)用收益的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)來(lái)度量勘探投資組合的風(fēng)險(xiǎn)?？紤]到金融資產(chǎn)和油氣勘探項(xiàng)目的區(qū)別，筆者認(rèn)為運(yùn)用方差度量風(fēng)險(xiǎn)存在以下缺陷：首先，勘探項(xiàng)目的收益不一定服從正態(tài)分布，甚至還存在“高峰、肥尾”現(xiàn)象，方差很難捕捉潛在損失；其次，方差表示的是實(shí)際收益偏離平均收益的波動(dòng)情況，不論高于還是低于平均收益，只要波動(dòng)越大就認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越大，這明顯有悖于投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)心理感受；另外，方差只能表示收益波動(dòng)的幅度，無(wú)法明確指出損失的大小。

20世紀(jì)90年代，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)被提出用于代替方差來(lái)度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，但其在使用過(guò)程中仍然存在不符合一致性風(fēng)險(xiǎn)度量方法要求、無(wú)法考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)等缺陷[16]。隨著研究的進(jìn)一步深入，學(xué)者又提出了VaR的修正方法——條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)[16-17]。由于CVaR不僅具有VaR的優(yōu)點(diǎn)，還具有次可加性、凸性等性質(zhì)，并且可以通過(guò)線性規(guī)劃方法進(jìn)行求解，則與均值—方差模型類(lèi)似，CVaR也可用投資組合優(yōu)化[18]?；诖?，本文引入CVaR理論，構(gòu)建了基于CVaR的勘探投組合決策模型。該模型運(yùn)用CVaR度量勘探投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)線性規(guī)劃求得各項(xiàng)目的最優(yōu)投資比例，有效克服了方差在勘探項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)度量上的缺陷，有助于決策者更好地了解勘探投資組合的潛在風(fēng)險(xiǎn)，使得投資決策過(guò)程更加科學(xué)，結(jié)果更加合理。

1 CVaR方法基本原理

設(shè)f(x,y):Rn×Rm→R表示一個(gè)投資組合的損失函數(shù)，x∈X為決策向量(X為投資組合x(chóng)的可行集)；y∈Rm為隨機(jī)變量(如收益率等)，假定y的聯(lián)合概率密度為p(y)且連續(xù)，則當(dāng)y的分布已知時(shí)，損失函數(shù)f(x,y)為依賴(lài)X的隨機(jī)變量，它不超過(guò)某一持有水平α的概率為：

(1)

假設(shè)置信水平為β(0≤β≤1)，則投資組合的VaR可表示為：

VaR=αβ(x)=min{α|ψ(x,α)≥β}

(2)

那么根據(jù)CVaR的定義——超過(guò)VaR損失的期望值，則投資組合的CVaR可以表示為：

CVaR=φβ(x)=E[f(x,y)≥VaR(x)]

(3)

由式(2)和式(3)可以看出，VaR只表示了單一的分位點(diǎn)，而CVaR則表示了尾部損失的平均值，考慮了大于VaR尾部的全部損失，因此用CVaR對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量更加充分。

由于CVaR里面包含VaR的函數(shù)，很難通過(guò)定義來(lái)直接計(jì)算和優(yōu)化CVaR，Rockafellar和Uryasev(2000)通過(guò)定義輔助函數(shù)Fβ(x,α)將VaR和CVaR聯(lián)系起來(lái)[14]：

Fβ(x,α)

(4)

其中：

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]可知最小化CVaR的同時(shí)，也使得Fβ(x,α)最小化，即：

(6)

且當(dāng)(x*,α*)為上述優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解時(shí)，F(xiàn)β(x*,α*)為最優(yōu)的CVaR，x*為最優(yōu)的投資組合，而a*為相應(yīng)的VaR。

由于通常情況難以通過(guò)解析法求得概率密度p(y)，在實(shí)際操作過(guò)程中一般運(yùn)用情景模擬法來(lái)進(jìn)行計(jì)算：假設(shè)隨機(jī)變量y在未來(lái)有m種變動(dòng)情況，令每種情況下y的取值為yk(k=1,2,……,m)，則式(4)可用下式近似代替：

(7)

2 基于CVaR的勘探投資組合決策模型

2.1 模型假設(shè)

由于勘探項(xiàng)目(圈閉)屬于實(shí)物資產(chǎn)，同股票、債券等金融資產(chǎn)還存在一定區(qū)別，為了將CVaR理論更好的應(yīng)用于油氣勘探的投資決策，同時(shí)使分析更具針對(duì)性，筆者對(duì)模型設(shè)定以下5個(gè)假設(shè)[2,12,19]：

1)假設(shè)所有備選項(xiàng)目都已經(jīng)通過(guò)了技術(shù)經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)，認(rèn)為其經(jīng)濟(jì)上合理、技術(shù)上可行；且各項(xiàng)目的投資損益能夠根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和模擬仿真得出。

2)假設(shè)石油企業(yè)的勘探開(kāi)發(fā)資金均為自有資金，不考慮資金的籌集和融資成本。

3)假設(shè)一旦發(fā)現(xiàn)具有經(jīng)濟(jì)價(jià)值的油氣圈閉，立即進(jìn)行開(kāi)發(fā)，忽略各種因素對(duì)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)造成的延緩；同時(shí)一旦進(jìn)入開(kāi)發(fā)階段，便會(huì)持續(xù)帶來(lái)收益(正的現(xiàn)金流)。

4)假設(shè)石油公司可以任意選擇各項(xiàng)目的投資比例，即各項(xiàng)目的投資比例可為0到100%中的任意數(shù)值。然而由于實(shí)際情況限制或合同規(guī)定，石油公司不能任意改變某一項(xiàng)目的投資額度。本文提出的決策模型僅僅是為了對(duì)勘探投資提供一種指導(dǎo)，改善投資組合。

5) 假設(shè)石油公司的決策者都是理性經(jīng)濟(jì)人，即他們都是在投資風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下追求利潤(rùn)最大化，或者在利潤(rùn)一定的情況下追求風(fēng)險(xiǎn)最小化。

2.2 模型構(gòu)建

設(shè)有n個(gè)備選勘探項(xiàng)目，各勘探項(xiàng)目在總預(yù)算中所占的投資比例為xi(i=1,2,…,n)，則決策變量x=(x1,x2,…,xn)T；設(shè)勘探項(xiàng)目i的收益為yi，考慮到油氣勘探項(xiàng)目的高投入、高收益特性，為了更直觀的反映各項(xiàng)目的損益，本文運(yùn)用投資回報(bào)率(Return of Investment, ROI)來(lái)表示yi，則隨機(jī)變量y=(ROI1,ROI2,…,ROIyn)。因?yàn)閾p失可以用負(fù)的收益來(lái)表示，則該勘探投資組合的損失函數(shù)可以表示為：

f(x,ROI)=-(x1ROI1+x2ROI2+…+xnROIn)=-xTROI

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，油氣勘探項(xiàng)目的ROI可以通過(guò)式(9)求出：

(9)

式中：Po為原油價(jià)格(美元/桶)；CP為單位開(kāi)采成本(美元/桶)；B0為原始地質(zhì)儲(chǔ)量(桶)；Rf為地質(zhì)成功率(%)；Re為采收率(%)；e為美元對(duì)人民幣匯率；T為稅費(fèi)比例(%)；i為貼現(xiàn)率(%)；I為勘探開(kāi)發(fā)投資(元)；n為項(xiàng)目開(kāi)采年限(年)。

2.2.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

對(duì)于投資組合優(yōu)化模型而言，可以在風(fēng)險(xiǎn)水平一定的條件下使收益最大化，也可以在收益水平一定的條件下使風(fēng)險(xiǎn)最小化?？紤]到油氣勘探項(xiàng)目的高風(fēng)險(xiǎn)特性，本文將一定收益水平下的CVaR最小化作為投資組合模型的目標(biāo)函數(shù)。將式(10)帶入式(9)，則勘探項(xiàng)目投資組合的CVaR可以表示為：

(10)

式中：m是所取歷史數(shù)據(jù)或模擬樣本的個(gè)數(shù)，ROIk表示各個(gè)勘探項(xiàng)目的第k(k=1,2,…,m)個(gè)歷史(或模擬)投資收益率：

(11)

(12)

則該投資組合模型的目標(biāo)函數(shù)為：

(13)

2.2.2 約束條件的建立

由于目標(biāo)函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程中引入了中間變量Zk，則組合優(yōu)化模型的第一個(gè)約束條件為：

zk≥-xTROIk-α≥0

(14)

風(fēng)險(xiǎn)最小化是基于一定收益水平條件下的，則第二個(gè)約束條件為預(yù)期收益約束：

(15)

同其他投資項(xiàng)目相比，油氣勘探項(xiàng)目除了對(duì)投資收益有要求，對(duì)提交的儲(chǔ)量也有一定要求，則第三個(gè)約束條件為數(shù)量約束：

(16)

式中：Bi為勘探項(xiàng)目i的地質(zhì)儲(chǔ)量；B0為勘探組合的最低提交儲(chǔ)量。

此外，石油公司的資源也是有限的，則第四個(gè)約束條件為資本約束：

(17)

式中：Ii為勘探項(xiàng)目i的勘探開(kāi)發(fā)總投資；C0為勘探組合的最大預(yù)算資本。

綜上，根據(jù)式(13)～(17)，油氣勘探的投資組合決策模型可以表示為：

(18)

3 算例分析

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膶?shí)際應(yīng)用效果，筆者以文獻(xiàn)[9]的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，挑選了5個(gè)勘探項(xiàng)目(表1)，運(yùn)用CVaR投資組合模型對(duì)其投資決策進(jìn)行分析。計(jì)算結(jié)果科學(xué)、合理，符合客觀實(shí)際。

表1 勘探備選項(xiàng)目基本數(shù)據(jù)

3.1 ROI模擬

油氣勘探是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，涉及的風(fēng)險(xiǎn)因素多而復(fù)雜，因此勘探項(xiàng)目的ROI也具有較高的不確定性[21]。本文運(yùn)用Monte Carlo模擬來(lái)計(jì)算各勘探項(xiàng)目的ROIk，為簡(jiǎn)化計(jì)算，筆者僅將油價(jià)、采收率和單位開(kāi)采成本作為隨機(jī)變量，分別反映項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)及政治風(fēng)險(xiǎn)、技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)和財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)；而根據(jù)文獻(xiàn)[9]，地質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)地質(zhì)成功率來(lái)反映。

假設(shè)各項(xiàng)目開(kāi)采時(shí)間均為10年(n=10)，油價(jià)服從三角分布(考慮到未來(lái)油價(jià)難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，筆者運(yùn)用2001～2010年10年間的油價(jià)來(lái)代替，分布參數(shù)見(jiàn)圖1)，采收率和單位開(kāi)采成本服從隨機(jī)分布(分布區(qū)間見(jiàn)表1)，美元對(duì)人民幣匯率為1∶6.5，貼現(xiàn)率i=15%。則根據(jù)式(9)，經(jīng)過(guò)200次(m=200)模擬得出各項(xiàng)目的ROIk(圖2)。為了更直觀的反映各項(xiàng)目的基本情況，筆者對(duì)表1和圖2的信息進(jìn)行了進(jìn)一步整理，見(jiàn)表2。

圖1 2001～2010年油價(jià)變動(dòng)圖

圖2 各勘探項(xiàng)目的ROI模擬值

表2 勘探備選項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

3.2 模型求解

假定石油公司要求最低期望收益率不低于0.21，提交儲(chǔ)量不少于85萬(wàn)t，勘探開(kāi)發(fā)總預(yù)算9000萬(wàn)元，置信水平β=0.95。根據(jù)式(18)，筆者通過(guò)Matlab編程計(jì)算得到上述約束條件下的最優(yōu)投資組合x(chóng)*=(0 0 0.6320 0.0717 0.2963)T，即總預(yù)算的63.20%分配給S21，總預(yù)算的7.17%分配給YY2，總預(yù)算的29.63%分配給YY1。該投資組合相應(yīng)的VaR和CVaR分別為-0.0905和-0.0657，由于損失是負(fù)的收益，則按上述投資比例，在95%的置信水平下，占總投資9.05%的收益不會(huì)有損失風(fēng)險(xiǎn)，而超過(guò)最小收益的平均收益為投資總額的6.57%。

3.3 模型分析與比較

為了對(duì)CVaR投資組合模型有更深入的了解，筆者對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的探討和分析。

3.3.1 預(yù)期收益和置信水平對(duì)投資組合的影響

首先固定β=0.95，觀察R0變動(dòng)對(duì)投資組合的影響；然后固定R0=0.15，觀察β變動(dòng)對(duì)投資組合變化的影響(表3)。從表3我們可以發(fā)現(xiàn)：①同一置信水平下，投資組合的VaR和CVaR隨著預(yù)期收益的增加而增加，表明收益越高風(fēng)險(xiǎn)越大；②同一收益水平下，投資組合的VaR和CVaR隨置信水平的上升而增加，表明隨著β值的增大，風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的可能性減小，但一旦發(fā)生損失將很?chē)?yán)重；③同一投資組合，CVaR總是大于VaR，表明在風(fēng)險(xiǎn)度量上CVaR方法更趨保守，更能體現(xiàn)超過(guò)VaR的潛在損失；④不論是預(yù)期收益還是置信水平的變動(dòng)都會(huì)引起項(xiàng)目投資比例的變化，表明收益水平和置信水平的選取對(duì)投資決策有很大影響。

表3 不同預(yù)期收益率和不同置信水平條件下的組合優(yōu)化結(jié)果

為了更直觀的反映R0和β對(duì)投資組合CVaR的影響，筆者分別作出了β=0.90、β=0.95、β=0.99三個(gè)置信水平下的CVaR有效前沿(圖3)。從圖中可以看到同一置信水平條件下，CVaR隨著收益的增加而增加；隨著置信水平的增大，同一預(yù)期收益下的CVaR值也不斷增大，相應(yīng)的有效前沿也隨之右移。

3.3.2 約束條件對(duì)投資組合的影響

筆者在式(18)的基礎(chǔ)上逐漸放寬約束條件，即比較了在β=0.95條件下，不同約束條件下投組合的變動(dòng)情況(表4)。從表4中可以發(fā)現(xiàn)，在僅有預(yù)期收益約束(R0≥2.1)的條件下，組合優(yōu)化模型將投資分配給了期望收益率最大的三個(gè)項(xiàng)目，且項(xiàng)目的期望收益率越大，分配投資比例越大；隨著儲(chǔ)量約束條件(B0≥85)的加入，為滿(mǎn)足儲(chǔ)量約束，盡管YY2的期望收益最低，還是增大了其投資比例；隨著資金約束條件(C0≤9000)的加入，由于YY2和YY1的勘探投資較大，它們的投資比例都有所下降，但由于YY2承擔(dān)了滿(mǎn)足儲(chǔ)量約束的任務(wù)，其投資比例下降幅度(7.8%)小于YY1的投資比例下降幅度(12.8%)。此外，隨著約束條件的不斷增加，S21的投資比例逐漸增加，而其余項(xiàng)目的投資比例逐漸降低，CVaR值也不斷增加。表明約束條件越多，風(fēng)險(xiǎn)就越不容易分散，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)也就越高。

為更直觀的反映約束條件對(duì)投資組合CVaR的影響，筆者分別作出了不同約束條件下(β=0.95)的CVaR有效前沿(圖4)。從圖中我們可以看到，隨著約束條件的增加，同一R0所對(duì)應(yīng)的CVaR值也逐漸增大，有效前沿也隨之右移。在圖中，有兩個(gè)約束條件的CVaR有效前沿同有三個(gè)約束條件的CVaR有效前沿部分重疊，表明當(dāng)R0≥2.16時(shí)，新增加的約束條件未起到約束作用。

3.3.3 CVaR投資組合模型與均值-方差模型的比較

為進(jìn)一步體現(xiàn)CVaR投資組合模型的優(yōu)點(diǎn)，筆者將該模型同傳統(tǒng)的均值—方差模型進(jìn)行了比較。首先根據(jù)文獻(xiàn)[12]，在同等約束條件下(R0≥2.1、B0≥85、C0≤9000)構(gòu)建均值-方差模型，并作出其有效前沿(圖5)。

文獻(xiàn)[22]指出當(dāng)指標(biāo)的偏度(Skewness)絕對(duì)值(2、峰度(Kurtosis)絕對(duì)值(5時(shí)，可認(rèn)為該組數(shù)據(jù)基本上服從正態(tài)分布)。則根據(jù)表2可認(rèn)為本例中各項(xiàng)目的ROIk基本服從正態(tài)分布，那么投資組合的CVaR可以用下式計(jì)算[23]：

(19)

式中：Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)；σP和RP分別為投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差和收益率(圖5)。則根據(jù)圖2和式(19)，筆者比較了兩個(gè)模型各自得出的最優(yōu)投資比例及相應(yīng)的CVaR值(表5)。從表5中我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)R0=0.15時(shí)，均值-方差模型和CVaR模型的結(jié)果差別較大，前者將資金分配給了標(biāo)準(zhǔn)差較小的項(xiàng)目，而后者則是將在資金分配給了收益較大的項(xiàng)目；當(dāng)R0=0.22時(shí)，兩者求出的投資組合差別較小。但在以上兩個(gè)收益條件下，CVaR模型求出的CVaR更小，表明CVaR模型求出的投資組合風(fēng)險(xiǎn)更小。

為了更清楚的比較，筆者分別作出了兩個(gè)模型放在均值-CVaR系統(tǒng)中，作出了兩者的有效前沿(圖6)。從圖6中我們可以看出：在收益相同的情況下，采用CVaR模型求出的最優(yōu)組合的 CVaR 比其均值-方差模型求得的CVaR要??；此外，當(dāng)R0≤2.2時(shí)，均值-方差模型的有效前沿同一般理論相悖的(收益越小，風(fēng)險(xiǎn)反而增大)。這充分表明在勘探項(xiàng)目的投資組合決策中，CVaR模型要優(yōu)于傳統(tǒng)的均值-方差模型。

表4 約束條件下的投組合優(yōu)化結(jié)果

表5 均值-方差模型和CVaR投資組合模型的比較

圖3 不同置信水平下的CVaR有效前沿

圖4 不同約束條件下的CVaR有效前沿

圖5 均值-方差模型的有效前沿

圖6 均值-方差模型和CVaR模型的有效前沿對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

近年來(lái)，著石油公司海外勘探機(jī)會(huì)日漸增多、勘探風(fēng)險(xiǎn)日趨增大，如何有效分散投資風(fēng)險(xiǎn)，擴(kuò)大投資效益，從收益-風(fēng)險(xiǎn)的角度做出科學(xué)的投資決策已成為石油公司決策層面臨的艱巨任務(wù)和亟待解決的難題。本文以現(xiàn)代投資組合理論為基礎(chǔ)，引入條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)相關(guān)理論和方法，構(gòu)建了基于CVaR的油氣勘探投資組合決策模型。該模型運(yùn)用CVaR度量勘探投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)線性規(guī)劃求得各項(xiàng)目的最優(yōu)投資比例，不僅繼承了傳統(tǒng)均值-方差模型分散投資風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也有效克服了方差在勘探項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)度量上的缺陷，有助于決策者更好地了解勘探投資組合的潛在風(fēng)險(xiǎn)，使得投資決策過(guò)程更加科學(xué)，結(jié)果更加合理。

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