圓環(huán)區(qū)域上帶梯度項的橢圓型方程徑向大解的爆破速率＊

方鐘波，茹海霞

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

圓環(huán)區(qū)域上帶梯度項的橢圓型方程徑向大解的爆破速率＊

方鐘波，茹海霞

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

本文研究在圓環(huán)區(qū)域上帶梯度項和完全非線性項的半線性橢圓型方程邊值問題徑向大解的爆破速率。在證明一些重要極限的基礎(chǔ)上，與常微分方程分析法相結(jié)合得到了當(dāng)完全非線性項滿足Keller－Osserman條件，梯度項的指數(shù)范圍分別在0～1和大于2時徑向大解的爆破速率及在加強的條件下大解邊界行為的第二次影響.

橢圓型方程；大解；爆破速率

0 引言

本文考慮圓環(huán)區(qū)域上具有梯度項和完全非線性項的半線性橢圓型方程

當(dāng)方程不帶梯度項時，早在1916年，L Bieberbach［1］在有界區(qū)域上研究了具有指數(shù)型非線性項的半線性橢圓型邊值問題大解的存在唯一性和邊界行為。之后，有關(guān)代數(shù)型非線性項［2］的半線性橢圓型邊值問題大解的研究得到了較快發(fā)展且已有豐碩的成果［3－7］。最近，Bandle等在考慮圓環(huán)區(qū)域中具有完全非線性項的半線性橢圓型邊值問題時也得到了徑向大解的存在唯一性及其邊界爆破速率［8－10］。

當(dāng)方程帶梯度項時，有關(guān)指數(shù)型、代數(shù)型、完全非線性項的半線性橢圓型邊值問題在適當(dāng)條件下大解的存在性結(jié)論較完善［11－13］。特別地，文獻(xiàn)［12］利用上下解的方法研究了當(dāng)f（u）為滿足Keller－Osserman條件的源項及梯度項的指數(shù)p滿足1＜p＜2時大解的存在性及漸近行為。據(jù)文獻(xiàn)所知，當(dāng)Ω為圓環(huán)區(qū)域且非線性梯度項的指數(shù)p滿足0＜p≤1或p＞2時，其邊值問題徑向大解漸近行為的研究還未得到展開。

本文主要研究在圓環(huán)區(qū)域中，當(dāng)f（u）滿足Keller－Osserman條件且非線性梯度項的指數(shù)范圍為0＜p≤1或p＞2時，方程（1）徑向大解的爆破速率以及0＜p≤1范圍內(nèi)邊界行為的第二次影響。具體結(jié)論如下：定理1 設(shè)0＜p≤1或p＞2且條件（f1），（f2）成立，則下面結(jié)論成立。

1）若v（r）是方程（1）在Ω＝｛x｜ρ＜｜x｜＜R｝內(nèi)的一個徑向解，且滿足那么有

2）若w（r）是方程（1）在Ω＝｛x｜ρ＜｜x｜＜R｝內(nèi)的一個徑向解，且滿足，那么有

記

則由定理1可知

如果定理1的條件再加強一些，并且當(dāng)非線性梯度項的指數(shù)范圍為0＜p≤1時，利用（4）～（6）的估計式即可得到邊界行為的第二次影響。

定理2 設(shè)v（r），w（r）是方程（1）在Ω內(nèi)的解（定義同定理1），f滿足（f1），（f2），（f3）那么當(dāng)0＜p≤1時，下面結(jié)論成立。

1）設(shè)δ＝R－r，記o（1）是δ→0時趨向于零的一個量，則存在常數(shù)c1，使得

2）設(shè)δ＝r－ρ，記o（1）是δ→0時趨向于0的一個量，若成立，則存在常數(shù)c2，c3，使得

注2 在定理2考慮邊界行為的第二次影響時，按照現(xiàn)有的方法，將無法得到當(dāng)p＞2時的上界估計值，故僅考慮了0＜p≤1的情形。

1 預(yù)備知識

本節(jié)先介紹2個引理及命題，在后面證明主要結(jié)論的過程中起到了關(guān)鍵的作用。

引理1 設(shè)f（t）滿足（f1），（f2），則當(dāng)0＜p≤1或p＞2時，有

證明 利用反證法。

假設(shè)

由（f2）知，ψ（t）存在，且。故存在1個遞增序列tk→∞（k→∞），使得當(dāng)β＝μ＋1時，F(xiàn)（tk）＝

另一方面，由（f1）可知，當(dāng)t＞t0時F″（t）＞0且F（t）是凸函數(shù)，則當(dāng)t∈［tk，tk＋1］時，

進(jìn)而得

及

由（9）、（10）、（11）式及ψ（t）存在可知，當(dāng)0＜p≤1或p＞2時，有

導(dǎo)致矛盾。

由（f1）條件知，對t＞t0，有

故利用引理1和（12）式，直接得到下面的引理。

引理2 若f滿足（f1），（f2），則當(dāng)0＜p≤1或p＞2時，有

命題1 若f滿足（f1），（f2），則當(dāng)0＜p≤1或p＞2時，有

證明 由引理1知

且當(dāng)t→∞時有

由于F（t0）＝0，故

考慮圓環(huán)區(qū)域Ω＝｛x｜ρ＜｜x｜＜R｝內(nèi)的徑向?qū)ΨQ解。為了方便起見，記

則由命題1和洛必達(dá)法則易知

2 主要結(jié)論的證明

定理1的證明 若v（r）是方程（1）在Ω＝｛x｜ρ＜｜x｜＜R｝內(nèi)的一個徑向解，且滿足，則當(dāng)r∈（ρ，R）時，v（r）滿足方程

（16）式兩邊同時乘以v′，且在（r0，r）上積分可得

其中：

當(dāng)r充分接近R時，有v′（r）＞0。否則，由v（r）＝∞（r→R）知，在R的左鄰域［r1，R）內(nèi)存在一點r2∈［r1，R），滿足v′（r2）＝0且v″（r2）＜0，代入（16）式即可得到v″（r2）＝f（v（r2））＜0，與f（v（r））＞0矛盾。

易知，可取珘r充分接近R，使得v在（珘r，R）上單調(diào)遞增，且當(dāng)r0∈［珘r，R］時，有

其中：C為常數(shù)。從而可得：

其中：C1，C2為常數(shù)。

由（18）及命題1可知，v′在R的左鄰域內(nèi)單調(diào)遞增且有

其中當(dāng)r0→R時，可取ε1，ε2任意小。

結(jié)合（19）（20）及（17）式可得

因此，當(dāng)r0→R時，有

進(jìn)而有

結(jié)合（22）、（23）及（17）式可得

因此，由（15）式可知

當(dāng)r→R時，取極限即可得到（2）式。

類似地，可以得到（3）式。

定理2的證明 先證明結(jié)論1）。

由（13）、（14）及F（t）在（t0，∞）中的單調(diào)性知，當(dāng)v（r）＞t0時，有

并且當(dāng)r0充分接近R時，v（r）在（r0，R）上單調(diào)遞增。故由（f3）及（24）式知

將這個不等式內(nèi)插入（6）式的第一部分，利用（4）式和（25）式可得，當(dāng)0＜p≤1時

下證右半部分。由（26）式可知

即

若（f4）成立，下證2）式成立。當(dāng)δ→0時，珘ω→0，珘α→0，故有

由（6）式的第二部分知

進(jìn)一步，由（f3），（5）和（24）可得

因此，當(dāng)0＜p≤1時，有

由（27），（28）和6）式的第二部分，即可得到（8）式。

［1］ Bieberbach L.Δu＝euund die automorphen Funktionen［J］.Math.Ann，1916，77：173－212.

［2］ Rademacher H.Einige becondere probleme paitieller differential－gleichungen［M］.∥Die differential－und－integragleichungen der Mechanik I，2nd edition.New York：Rosenberg，1943，838－845.

［3］ Cheng jiangang，Guang Luo.Uniqueness of positive radial solutions for Dirichlet problems on annular domains［J］.Math Anal－Ap，2008，338：416－426.

［4］ Coffman C V.Uniqueness of the positive radial solutions on an annulus of the Dirichlet problem forΔu－u＋u3＝0［J］.Differ Equat，1996，128：379－386.

［5］ Xabier Garaizar.Existence of positive radial solutions for semilinear elliptic equations in the annulus［J］.Differ equat，1987，70：69－92.

［6］ Chun Chieh Fu，Song Sun Lin.Uniqueness of positive radial solutions for semilinear elliptic equations on annular domains［J］.Nonlinear Anal，2001，44：749－758.

［7］ Juan Davila，Marcelo Montenegro.Radial solutions of an elliptic equation with singular nonlinearity［J］.Math Anal Appl，2009，352：360－379.

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［9］ 郝曉燕，程建綱.環(huán)形區(qū)域上Dirichlet問題正徑向解的唯一性［J］.煙臺大學(xué)學(xué)報，2009，22（2）：83－86.

［10］ 李永祥.球外部區(qū)域上非線性橢圓方程的正徑向解［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，2005，25：128–133.

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［12］ Giarrusso E.Asymptotic behaviour of large solutions of an elliptic quasilinear equation in a borderline case［J］.Sci Paris Ser I Math，2000，331：777－782.

［13］ Saloman Alaroon，Jorge Garcia－Mellan，Alexander Quaas.Keller－Osserman type conditions for some elliptic problems with gradient terms［J］.J Differ Equations，2012，252：886－914.

The Blow－up Rates of Large Radial Solutions for the Elliptic Equation with Gradient Term in Annular

FANG Zhong－Bo，RU Hai－Xia
（School of Mathematical Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

In this paper，the blow－up rates of large radial solutions for the semilinear elliptic equation with gradient term and fully nonlinear term in annular domain was investigated.On the basis of the proof of some important limits，using ordinary differential equation analysis method，we achieved the blow－up rates of large radial solutions when fully nonlinear term satisfies the Keller－Osserman conditions and the exponential of gradient term ranges from 0 to 1 or larger than 2.Moreover，we considered a secondary effect on the asymptotic behavior of solutions under the enhanced conditions.

elliptic equations；large solution；blow－up rate

O175

A

1672－5174（2012）09－115－04

國家留學(xué)回國人員科研啟動基金項目（910937020）資助

2011－05－29；

2011－09－01

方鐘波（1968－），男，副教授，碩導(dǎo)。E－mail：fangzb7777＠hotmail.com

AMS Subject Classification:35J25，35J65

責(zé)任編輯 陳呈超