基于期權(quán)理論的鐵路貨運(yùn)定價(jià)模型*

馮芬玲，李菲菲

(中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410075)

在鐵路貨運(yùn)市場(chǎng)中，鐵路運(yùn)輸企業(yè)通常提前較長(zhǎng)時(shí)間(1年或半年)與一些客戶(貨主或協(xié)議客戶)簽訂運(yùn)輸協(xié)議，如煤炭、礦石等大型企業(yè)。這些客戶(以下稱為協(xié)議客戶)采用協(xié)議價(jià)格，為鐵路部門提供穩(wěn)定的大宗貨源，鐵路為協(xié)議客戶提供運(yùn)力保證。對(duì)于剩余的運(yùn)力，鐵路運(yùn)輸企業(yè)直接在現(xiàn)貨市場(chǎng)中進(jìn)行銷售。由于現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格是不斷變化的，使得交易穩(wěn)定性很差，鐵路運(yùn)輸企業(yè)不能及時(shí)出售運(yùn)力的風(fēng)險(xiǎn)性就會(huì)很高;協(xié)議銷售能維持平穩(wěn)的銷售情況，但在協(xié)議期內(nèi)，協(xié)議客戶只能以固定的價(jià)格從鐵路運(yùn)輸企業(yè)購(gòu)買一定數(shù)量的運(yùn)力，鐵路運(yùn)輸企業(yè)也只能執(zhí)行協(xié)議價(jià)格，雙方都不能在市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)中獲利，這對(duì)實(shí)現(xiàn)自身利益最大化是很不利的。期權(quán)是指一種合約，該合約賦予合約持有人在某一特定日期或該日期之前的任何時(shí)間以固定價(jià)格購(gòu)進(jìn)或售出一種資產(chǎn)的權(quán)利，該日期過(guò)后，期權(quán)權(quán)利失效，而鐵路貨物運(yùn)輸在某一時(shí)段之后，未出售的產(chǎn)品價(jià)值也會(huì)歸零，可以看出，鐵路貨運(yùn)協(xié)議銷售與期權(quán)是十分相似的，它們都是在特定的時(shí)期內(nèi)以特定的價(jià)格進(jìn)行交易，都具有很強(qiáng)的時(shí)效性特點(diǎn)，并且期權(quán)的價(jià)格是隨其標(biāo)的物價(jià)格的波動(dòng)而波動(dòng)的，其標(biāo)的物的價(jià)格又是由市場(chǎng)波動(dòng)所決定的，這樣就可以有效地規(guī)避由于市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)造成的不利影響，因此，將期權(quán)理論引入鐵路貨運(yùn)市場(chǎng)中具有重要的意義。

目前關(guān)于期權(quán)契約等各種供應(yīng)鏈契約的文獻(xiàn)很多，Ritchken［1］等最早在庫(kù)存研究中引入期權(quán)機(jī)制以對(duì)沖產(chǎn)品價(jià)格和數(shù)量波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，此后，期權(quán)因其彈性被越來(lái)越多的學(xué)者所青睞而被應(yīng)用到供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的研究中，例如，Cachon［2］等通過(guò)期權(quán)契約以實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈中的信息共享;Seifert［3］等研究了期權(quán)價(jià)格為外生變量時(shí)具有風(fēng)險(xiǎn)偏好的買方的最優(yōu)訂購(gòu)決策;郭瓊［4－6］等建立了電子市場(chǎng)與傳統(tǒng)契約市場(chǎng)共存下的供應(yīng)鏈各決策主體的決策模型;趙霞［7］等分析了現(xiàn)貨市場(chǎng)和期權(quán)合約市場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)零售商的最優(yōu)購(gòu)買策略;劉晉［8］等研究了基于期權(quán)的供應(yīng)鏈模型;佟斌［9］等建立了基于需求預(yù)測(cè)的兩階段生產(chǎn)和訂購(gòu)模式下的集中決策型和合作型供應(yīng)鏈中各決策主體的決策模型;馬成［10－11］等也對(duì)此進(jìn)行了相關(guān)的研究。

但是將期權(quán)契約應(yīng)用于貨運(yùn)業(yè)，特別是鐵路貨運(yùn)業(yè)的研究還不是很多，尤其是在國(guó)內(nèi)還鮮有文獻(xiàn)涉獵。Rol［12］通過(guò)建立運(yùn)力期權(quán)定價(jià)模型將期權(quán)契約應(yīng)用于航空貨運(yùn)業(yè)，趙明瑞［13－14］等對(duì)航空貨運(yùn)的期權(quán)銷售模式進(jìn)行了初探;雷麗彩［15］等構(gòu)建了一個(gè)基于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的航空貨運(yùn)期權(quán)定價(jià)模型，這些對(duì)研究鐵路貨運(yùn)業(yè)的期權(quán)定價(jià)模型有一定的參考作用，但鐵路貨運(yùn)業(yè)有自己的特點(diǎn)，并不是完全類同于航空貨運(yùn)業(yè)，所以，本文擬在前人研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)鐵路貨運(yùn)業(yè)自身的特性，在鐵路貨運(yùn)市場(chǎng)中引入期權(quán)的概念，建立鐵路貨運(yùn)業(yè)的期權(quán)定價(jià)模型，通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)分析，分別為協(xié)議客戶和鐵路運(yùn)輸企業(yè)作出決策建議，以期實(shí)現(xiàn)鐵路運(yùn)輸企業(yè)和協(xié)議客戶的雙贏。

1 鐵路貨運(yùn)期權(quán)的設(shè)計(jì)

期權(quán)合約按照授予期權(quán)持有人權(quán)利的類別，可以分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。其中看漲期權(quán)是指期權(quán)賦予持有人在到期日或到期日之前，以固定價(jià)格購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。其賦予權(quán)利的特征是“購(gòu)買”。由于本文中對(duì)鐵路貨運(yùn)期權(quán)的設(shè)計(jì)是指賦予協(xié)議客戶以固定價(jià)格購(gòu)買期權(quán)的權(quán)利，故只會(huì)出現(xiàn)看漲期權(quán)。

1．1 鐵路貨運(yùn)期權(quán)的概念

根據(jù)上述期權(quán)的特性，提出鐵路貨運(yùn)期權(quán)的概念并對(duì)其進(jìn)行定義。本文中鐵路貨運(yùn)期權(quán)是指以鐵路貨物運(yùn)輸服務(wù)為標(biāo)的資產(chǎn)的一種期權(quán)合約，鐵路運(yùn)輸企業(yè)是期權(quán)的制定方，協(xié)議客戶是期權(quán)的購(gòu)買方。如果到期日期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格高于現(xiàn)貨市場(chǎng)貨運(yùn)價(jià)格，協(xié)議客戶會(huì)選擇執(zhí)行期權(quán);反之，協(xié)議客戶就會(huì)放棄執(zhí)行期權(quán)而在現(xiàn)貨市場(chǎng)中購(gòu)買運(yùn)力。這種選擇權(quán)使得協(xié)議客戶有效規(guī)避了價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。而對(duì)于鐵路運(yùn)輸企業(yè)來(lái)說(shuō)，在協(xié)議客戶放棄執(zhí)行期權(quán)時(shí)可以在現(xiàn)貨市場(chǎng)中進(jìn)行銷售，并且可以收取一定的期權(quán)費(fèi)用，從而可以將部分風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁給協(xié)議客戶，也有效實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避。本文假設(shè)鐵路運(yùn)輸企業(yè)和協(xié)議客戶都是經(jīng)濟(jì)人，在進(jìn)行決策時(shí)都會(huì)在給定條件下做出自身利益最大化的理性選擇。

1．2 鐵路貨運(yùn)期權(quán)的內(nèi)容

根據(jù)金融市場(chǎng)中期權(quán)的概念，結(jié)合鐵路貨運(yùn)市場(chǎng)的具體特點(diǎn)，鐵路貨運(yùn)期權(quán)的內(nèi)容至少應(yīng)包括以下幾點(diǎn)。

(1)標(biāo)的資產(chǎn)。標(biāo)的資產(chǎn)是指期權(quán)合約中所指定的雙方要交易的商品，它可以是某種實(shí)物資產(chǎn)或金融資產(chǎn)，也可以是某種服務(wù)。鐵路貨運(yùn)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)就是鐵路的貨物運(yùn)輸服務(wù)。

(2)執(zhí)行價(jià)格。在期權(quán)合約中約定的、期權(quán)持有人據(jù)以購(gòu)進(jìn)或售出標(biāo)的資產(chǎn)的固定價(jià)格，稱為執(zhí)行價(jià)格。鐵路貨運(yùn)期權(quán)中執(zhí)行價(jià)格，就是指在貨運(yùn)期權(quán)中事先規(guī)定的，協(xié)議客戶在行使其獲得相應(yīng)的鐵路運(yùn)輸服務(wù)的權(quán)利時(shí)，需要支付給鐵路運(yùn)輸企業(yè)的運(yùn)輸服務(wù)價(jià)格。

(3)數(shù)量。鐵路運(yùn)力期權(quán)中應(yīng)明確規(guī)定協(xié)議客戶有權(quán)以約定的價(jià)格即期權(quán)執(zhí)行價(jià)格獲得的運(yùn)輸服務(wù)的數(shù)量即貨物運(yùn)輸噸數(shù)。

(4)期權(quán)到期日。鐵路運(yùn)輸企業(yè)與協(xié)議客戶約定的期權(quán)到期的那一天稱為“到期日”。在那一天之后，期權(quán)失效。若協(xié)議客戶只能在到期日?qǐng)?zhí)行期權(quán)，則稱為歐式期權(quán);若該期權(quán)可以在到期日或到期日之前的任何時(shí)間執(zhí)行，則稱為美式期權(quán)。為了便于研究，本文規(guī)定協(xié)議客戶只能在到期日進(jìn)行選擇，即貨運(yùn)期權(quán)為歐式期權(quán)，且假定期權(quán)的行使期限為1月。

除了上述4項(xiàng)基本內(nèi)容以外，鐵路貨運(yùn)期權(quán)還有1個(gè)重要的因素就是期權(quán)價(jià)格，即協(xié)議客戶支付給鐵路運(yùn)輸企業(yè)購(gòu)買期權(quán)的費(fèi)用。

2 基于期權(quán)設(shè)計(jì)的鐵路貨運(yùn)定價(jià)分析

2．1 問題說(shuō)明

根據(jù)上述鐵路貨運(yùn)期權(quán)的內(nèi)容，在引入期權(quán)的貨運(yùn)市場(chǎng)中鐵路運(yùn)輸企業(yè)和協(xié)議客戶的交易過(guò)程如圖1所示。

圖1 引入期權(quán)的貨運(yùn)市場(chǎng)交易過(guò)程Fig．1 Trading process in freight market by the introduction of options

通過(guò)鐵路運(yùn)力期權(quán)的設(shè)計(jì)，協(xié)議客戶和鐵路運(yùn)輸企業(yè)均可以從市場(chǎng)的波動(dòng)和價(jià)格的變化中獲利，但是，在鐵路運(yùn)力期權(quán)的應(yīng)用過(guò)程中有幾個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問題需要解決:

(1)期權(quán)費(fèi)用制定為多少比較合理?若定價(jià)太高，協(xié)議客戶可能會(huì)放棄購(gòu)買期權(quán)而寧愿承擔(dān)現(xiàn)貨市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)，鐵路運(yùn)輸企業(yè)也會(huì)失去大量的貨源;若定價(jià)太低，鐵路運(yùn)輸企業(yè)可能不足以彌補(bǔ)在協(xié)議客戶執(zhí)行期權(quán)時(shí)所遭受的損失。

(2)如何確定期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格?如果協(xié)議客戶認(rèn)為在期權(quán)到期日的現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格會(huì)和期權(quán)執(zhí)行價(jià)格相當(dāng)甚至低于契約中規(guī)定的期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，那么協(xié)議客戶肯定不會(huì)購(gòu)買該期權(quán)。

(3)對(duì)于協(xié)議客戶來(lái)講，購(gòu)買運(yùn)力期權(quán)的數(shù)量應(yīng)該是多少合適，是不是越多越好?

因此，在貨運(yùn)市場(chǎng)中引入期權(quán)時(shí)必須首先解決這3個(gè)問題，即期權(quán)費(fèi)用、執(zhí)行價(jià)格的確定以及協(xié)議客戶的最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買數(shù)量。

本文利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃逆向推理的方法，首先根據(jù)金融市場(chǎng)中相關(guān)知識(shí)，利用二叉樹模型在對(duì)期權(quán)執(zhí)行價(jià)格已知的情況下對(duì)鐵路運(yùn)輸企業(yè)銷售的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，然后基于鐵路運(yùn)輸企業(yè)和協(xié)議客戶收益最大化的最優(yōu)決策模型，解決期權(quán)執(zhí)行價(jià)格制定和期權(quán)購(gòu)買數(shù)量的問題。

2．2 研究假設(shè)

假設(shè)1:按照需求曲線，協(xié)議客戶的市場(chǎng)期望收益為市場(chǎng)需求D的函數(shù)，需求量D與現(xiàn)貨市場(chǎng)貨物的售價(jià)p一般是負(fù)相關(guān)的。因此，假設(shè)需求D=a－bp+ε，ε是分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為f(x)的隨機(jī)分布。

假設(shè)2:在t=0時(shí)，協(xié)議客戶不知道t=T時(shí)的現(xiàn)貨市場(chǎng)運(yùn)力價(jià)格，但是知道現(xiàn)貨市場(chǎng)運(yùn)力價(jià)格的分布。本文中假設(shè)現(xiàn)貨市場(chǎng)運(yùn)力的價(jià)格將是兩種可能值中的一種，即上升到一定的百分比，或者下降到一定的百分比。

2．3 符號(hào)定義

設(shè)s0為t=0時(shí)現(xiàn)貨市場(chǎng)中單位運(yùn)力的價(jià)格;su為到期日現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格上行時(shí)單位運(yùn)力價(jià)格;sd為到期日現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格下行時(shí)單位運(yùn)力價(jià)格;u為現(xiàn)貨市場(chǎng)單位運(yùn)力價(jià)格上行乘數(shù);d為現(xiàn)貨市場(chǎng)單位運(yùn)力價(jià)格下行乘數(shù);r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;c0為鐵路貨運(yùn)期權(quán)單位運(yùn)力的期權(quán)費(fèi)用;cu為現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格上行時(shí)鐵路貨運(yùn)期權(quán)到期日價(jià)值;cd為現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格下行時(shí)鐵路貨運(yùn)期權(quán)到期日價(jià)值;c為鐵路貨運(yùn)期權(quán)的單位運(yùn)力的期權(quán)執(zhí)行價(jià)格;n為協(xié)議客戶的期權(quán)購(gòu)買量;b0為鐵路提供單位運(yùn)力的長(zhǎng)期準(zhǔn)備成本;b1為鐵路提供單位運(yùn)力的短期生產(chǎn)成本;K為鐵路貨物運(yùn)輸?shù)目傔\(yùn)輸能力;C為單位運(yùn)力的固定生產(chǎn)成本。

2．4 模型的建立

2．4．1 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的建立

在利用二叉樹模型進(jìn)行定價(jià)時(shí)需要建立在以下假設(shè)基礎(chǔ)之上。

假設(shè)1:在該模型中期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為外生變量，期權(quán)費(fèi)用是受期權(quán)執(zhí)行價(jià)格影響的內(nèi)生變量。

假設(shè)2:鐵路運(yùn)輸企業(yè)和協(xié)議客戶都是現(xiàn)貨市場(chǎng)貨運(yùn)價(jià)格的接受者，貨運(yùn)價(jià)格受鐵路貨運(yùn)市場(chǎng)收益率標(biāo)準(zhǔn)差的影響。

統(tǒng)計(jì)并對(duì)比護(hù)理干預(yù)前后兩組心理狀態(tài)的變化情況和疾病健康知識(shí)掌握能力。①根據(jù)患者焦慮、抑郁評(píng)分的變化評(píng)測(cè)其心理狀態(tài),其中得分愈高提示焦慮情緒和抑郁狀態(tài)愈嚴(yán)重,焦慮總分為100分,抑郁總分為10分;②自擬調(diào)查問卷表并回收有效問卷,采用百分制進(jìn)行得分統(tǒng)計(jì),90分及以上為優(yōu),60-89分之間為良,低于60分為差。

假設(shè)3:協(xié)議客戶為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的，持有期權(quán)的期望報(bào)酬率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

假設(shè)4:鐵路貨運(yùn)期權(quán)只能在到期日?qǐng)?zhí)行，即為歐式期權(quán)。

(1)單期二叉樹模型。期權(quán)的到期日價(jià)值受現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格和期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的影響，若到期日現(xiàn)貨市場(chǎng)的貨運(yùn)價(jià)格高于期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，則期權(quán)的價(jià)值=現(xiàn)貨市場(chǎng)貨運(yùn)價(jià)格－期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，若到期日現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格低于期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，則期權(quán)的價(jià)值為0，此時(shí)協(xié)議客戶放棄執(zhí)行期權(quán)，用二叉樹可以表示為如圖2所示。

圖2 單期二叉樹Fig．2 Single－phase binary tree

協(xié)議客戶持有期權(quán)的期望報(bào)酬率=無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率=上行概率×價(jià)格上升百分比+下行概率×(－價(jià)格下降百分比)=上行概率×(上行乘數(shù)－1)+下行概率×(下行乘數(shù)+1)，即為

即期權(quán)費(fèi)用c0=c0(c，s0)。

(2)多期二叉樹模型。單期的定價(jià)模型假設(shè)本來(lái)現(xiàn)貨市場(chǎng)單位運(yùn)力的價(jià)格只有兩個(gè)可能，對(duì)于時(shí)間很短的貨運(yùn)期權(quán)來(lái)說(shuō)時(shí)可以接受的，若到期時(shí)間較長(zhǎng)，如本文中1月的時(shí)間，就與事實(shí)相去甚遠(yuǎn)。改善的辦法是把到期時(shí)間分割成多部分，就可以使期權(quán)價(jià)值更接近實(shí)際。從原理上看，與兩期模型一樣，從后向前逐級(jí)推進(jìn)，只不過(guò)多了幾個(gè)層次。期數(shù)增加以后帶來(lái)的主要問題是現(xiàn)貨市場(chǎng)單位運(yùn)力價(jià)格上升與下降的百分比確定問題。期數(shù)增加以后，要調(diào)整價(jià)格變化的升降幅度，以保證貨運(yùn)市場(chǎng)年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差不變?？梢约僭O(shè)年收益率與升降百分比滿足以下的等式:

式中:e為自然常數(shù)，約等于2．718 3;σ為鐵路貨運(yùn)市場(chǎng)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差;t為以年表示的時(shí)間長(zhǎng)度。

設(shè):suu為現(xiàn)貨市場(chǎng)中單位運(yùn)力價(jià)格在多個(gè)時(shí)期都上升;sdd為現(xiàn)貨市場(chǎng)中單位運(yùn)力價(jià)格在多個(gè)時(shí)期都下降;sud為現(xiàn)貨市場(chǎng)中單位運(yùn)力價(jià)格在一個(gè)時(shí)期上升，另一個(gè)時(shí)期下降;cuu為現(xiàn)貨市場(chǎng)單位運(yùn)力價(jià)格都上升的鐵路期權(quán)價(jià)值;cud為現(xiàn)貨市場(chǎng)單位運(yùn)力價(jià)格都下降的鐵路期權(quán)價(jià)值;cdd為現(xiàn)貨市場(chǎng)單位運(yùn)力價(jià)格一個(gè)時(shí)期上升一個(gè)時(shí)期下降的期權(quán)價(jià)值。用二叉樹表示如圖3所示。

圖3 多期二叉樹Fig．3 Multi－ period binary tree

c0根據(jù)單期二叉樹模型從后向前逐級(jí)推進(jìn)。以2期二叉樹模型為例:

同樣地，c0是關(guān)于期權(quán)執(zhí)行價(jià)格c和現(xiàn)貨市場(chǎng)貨運(yùn)價(jià)格s0的變量，即可以表示為c0(c，s0)。

2．4．2 執(zhí)行價(jià)格以及期權(quán)購(gòu)買量的確定

(1)問題描述。假設(shè)現(xiàn)貨市場(chǎng)運(yùn)力價(jià)格為2種價(jià)格中的1種，上升為su的概率為P，下降為sd的概率為1－P。

鐵路運(yùn)輸企業(yè)與協(xié)議客戶在進(jìn)行交易時(shí)具體操作順序如下:

①鐵路運(yùn)輸企業(yè)制定期權(quán)費(fèi)用c0和期權(quán)執(zhí)行價(jià)格 c。

②協(xié)議客戶根據(jù)鐵路運(yùn)輸企業(yè)制定的期權(quán)定價(jià)政策(c0，c)，根據(jù)其對(duì)市場(chǎng)的預(yù)期收益效用函數(shù)，選擇最優(yōu)運(yùn)力訂購(gòu)量n，并支付期權(quán)費(fèi)用c0n。

③在期權(quán)的交易日，協(xié)議客戶根據(jù)現(xiàn)貨市場(chǎng)的價(jià)格和期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格來(lái)決定是否執(zhí)行期權(quán)以及其在現(xiàn)貨市場(chǎng)的運(yùn)力購(gòu)買量。

④鐵路運(yùn)輸企業(yè)支付長(zhǎng)期準(zhǔn)備成本和短期準(zhǔn)備成本，并支付固定生產(chǎn)成本KC。

(2)模型建立。對(duì)協(xié)議客戶的最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買量以及鐵路運(yùn)輸企業(yè)最優(yōu)期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的確定均需要分情況討論。

情況1:當(dāng)t=T時(shí)，若現(xiàn)貨市場(chǎng)的運(yùn)力價(jià)格為低價(jià)sd＜c，協(xié)議客戶選擇直接從現(xiàn)貨市場(chǎng)購(gòu)買，放棄使用期權(quán)。

協(xié)議客戶的利潤(rùn)函數(shù)為:

鐵路運(yùn)輸企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為:

代入D=a－bp+ε，可得協(xié)議客戶和鐵路運(yùn)輸企業(yè)利潤(rùn)的期望值分別為:

情況2:當(dāng)t=T時(shí)，若現(xiàn)貨市場(chǎng)的運(yùn)價(jià)為高價(jià)su＞c，協(xié)議客戶盡量使用期權(quán)以減少運(yùn)力成本。如果t=0時(shí)購(gòu)買的期權(quán)數(shù)量大于t=T時(shí)的實(shí)際需求量，則只需要執(zhí)行期權(quán)來(lái)滿足需求。如果t=0時(shí)購(gòu)買的期權(quán)數(shù)量小于t=T時(shí)的實(shí)際需求量，則除了執(zhí)行期權(quán)，還需要從現(xiàn)貨市場(chǎng)中購(gòu)買運(yùn)力以滿足需求。

協(xié)議客戶的利潤(rùn)函數(shù)為:鐵路運(yùn)輸企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為:

代入D=a－bp+ε，可得協(xié)議客戶和鐵路運(yùn)輸企業(yè)的利潤(rùn)的函數(shù)分別為:

則利潤(rùn)的期望值分別為:

結(jié)合情況1和情況2，則協(xié)議客戶的利潤(rùn)期望值為:

對(duì)E(Γ)求n的一階導(dǎo)數(shù)，可得:

則可得到協(xié)議客戶的最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買量n滿足的條件為:

同樣，鐵路運(yùn)輸企業(yè)的利潤(rùn)期望值為:

對(duì)E(Π)求n的一階導(dǎo)數(shù)，可得:

結(jié)合式(18)和(20)可得鐵路運(yùn)輸企業(yè)的最優(yōu)期權(quán)執(zhí)行價(jià)格:

3 算例分析

假設(shè)鐵路貨運(yùn)市場(chǎng)提前1月制定期權(quán)價(jià)格與期權(quán)費(fèi)用，協(xié)議客戶根據(jù)其定價(jià)政策選擇其最優(yōu)期權(quán)訂購(gòu)量，在現(xiàn)貨市場(chǎng)中根據(jù)現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格決定期權(quán)執(zhí)行量。

假設(shè)在期權(quán)到期日存在現(xiàn)貨市場(chǎng)，且ε的分布為滿足［－200，+200］均勻分布，密度函數(shù)為:

分布函數(shù)為:

設(shè)長(zhǎng)期生產(chǎn)成本為b0=160，短期生產(chǎn)成本b1=240，市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=4%，以兩期二叉樹模型為例，若期權(quán)制定前1天現(xiàn)貨市場(chǎng)運(yùn)力價(jià)格s0=200，市場(chǎng)收益率標(biāo)準(zhǔn)差σ =0．4068，則上行乘數(shù)u=1．1246，下行乘數(shù) d=0．8892，可以計(jì)算出上行概率 P=0．64，下行概率1 － P 為0．36，則在單期二叉樹樹模型中，su=220。

據(jù)此，根據(jù)式(21)可得最優(yōu)期權(quán)執(zhí)行價(jià)格c=180?？梢钥闯?鐵路運(yùn)輸企業(yè)制定的協(xié)議價(jià)格相比現(xiàn)貨市場(chǎng)的運(yùn)力價(jià)格下降了18%，其大小與現(xiàn)貨市場(chǎng)運(yùn)力價(jià)格、長(zhǎng)期準(zhǔn)備成本、短期準(zhǔn)備成本相關(guān)。

為了使求得的期權(quán)費(fèi)用更加精確，采用兩期二叉樹模型求解期權(quán)費(fèi)用，如圖4所示。

圖4 兩期二叉樹求解過(guò)程Fig．1 Two－period binary tree sdution process

可以求得期權(quán)的費(fèi)用c0=20。

總結(jié)求解最優(yōu)期權(quán)訂購(gòu)量的相關(guān)條件為:

c0=20，c=180，su=220，假定 D=a － bp+ε 中，a=1000，b=0．5，p=500，把上述條件代入公式(18)可得協(xié)議客戶最優(yōu)期權(quán)訂購(gòu)量為:n=750。

綜上所述，可得鐵路運(yùn)輸企業(yè)的最優(yōu)定價(jià)策略:c=180，c0=20;協(xié)議客戶的最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買量n=750。

根據(jù)上述假定和結(jié)論，計(jì)算在鐵路運(yùn)輸企業(yè)制定不同的價(jià)格政策時(shí)協(xié)議客戶的最優(yōu)期權(quán)訂購(gòu)量，其結(jié)果如表1所示。

表1 最優(yōu)期權(quán)訂購(gòu)量對(duì)定價(jià)政策的敏感性分析Table 1 Sensitivity analysis of the optimal quantity to pricing policy

從表1可以看出:在期權(quán)執(zhí)行價(jià)格給定的情況下，隨著期權(quán)價(jià)格的升高，協(xié)議客戶的期權(quán)購(gòu)買量逐漸減少;在期權(quán)價(jià)格給定的情況下，隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的升高，協(xié)議客戶的期權(quán)購(gòu)買量逐漸減少。這是因?yàn)?隨著期權(quán)成本的上升，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的上升，協(xié)議客戶比較傾向直接在現(xiàn)貨市場(chǎng)中購(gòu)買運(yùn)力，而不是購(gòu)買期權(quán)。

4 結(jié)論

(1)鐵路運(yùn)輸企業(yè)制定的協(xié)議價(jià)格與現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格、鐵路運(yùn)輸企業(yè)的長(zhǎng)期準(zhǔn)備成本正相關(guān)，與鐵路運(yùn)輸企業(yè)短期準(zhǔn)備成本負(fù)相關(guān)。

(2)協(xié)議客戶的最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買量與期權(quán)價(jià)格、期權(quán)執(zhí)行價(jià)格負(fù)相關(guān)。

本文設(shè)計(jì)的模型僅考慮了鐵路運(yùn)輸企業(yè)和協(xié)議客戶之間的供求關(guān)系，并沒有考慮實(shí)際市場(chǎng)中鐵路運(yùn)輸企業(yè)與其他運(yùn)輸方式之間的競(jìng)爭(zhēng)。

［1］Ritchken P，Tapiero C．Contingent claims contracting for purchasing decision in inventory management［J］．Operation Research，1986，34(6):864 －870．

［2］Cachon G，Lariviere M．Contracting to assure supply:How to share demand forecasts in a supply chain［J］．Management Science，2001，47(5):629 －646．

［3］Seifert，Ralf W Thonemann，Ulrich W Hausman，et al．Optimal procurement strategies for online spot markets［J］．European J of Operational Research，2004，152(3):781 －799．

［4］郭 瓊，楊德禮．基于期權(quán)與現(xiàn)貨市場(chǎng)的供應(yīng)鏈契約式協(xié)調(diào)的研究［J］．控制與決策，2006，21(11):1229－1234．GUO Qiong，YANG De-li．On supply chain coordination with contract based on option and spot market［J］．Control and Decision，2006，21(11)，1229 －1234．

［5］郭 瓊．基于期權(quán)契約的供應(yīng)鏈協(xié)作模型的研究［D］．大連:大連理工大學(xué)，2006．GUO Qiong．Research on supply chain coordination with option contracts［D］．Dalian:Dalian University of Technology，2006．

［6］郭 瓊，遲國(guó)泰．基于期權(quán)的供應(yīng)鏈契約式協(xié)調(diào)模型［J］．系統(tǒng)工程，2005，23(10):1 －6．GUO Qiong，CHI Guo-tai．Supply chain cooraination with option contract［J］．Systems Engineering，2005，23(10):1－6．

［7］趙 霞，黃培清．一種基于期權(quán)合約和現(xiàn)貨市場(chǎng)的零售商采購(gòu)模型研究［J］．科學(xué)技術(shù)與工程，2009，9(4):1085－1088．ZHAO Xia，HUANG Pei-qing．Model for retailer’s procurement based on option contract and spot market［J］．Science Technology and Engineering，2009，9(4):1085 －1088．

［8］劉 晉，段 毅．基于期權(quán)的供應(yīng)鏈伙伴關(guān)系管理［J］．統(tǒng)計(jì)與決策，2008(14):62－64．LIU Jin，DUAN Yi．Supply chain partnership management based on the options［J］．Statistics and Decision，2008(14):62－64．

［9］佟 斌，潘 新．基于需求預(yù)測(cè)的供應(yīng)鏈期權(quán)式契約協(xié)調(diào)［J］．系統(tǒng)工程，2006，24(11):13 －18．TONG Bin，PAN Xin．Supply chain coordination with option contract under demand updating［J］．Systems Engineering，2006，24(11):13 －18．

［10］馬 成．基于期權(quán)契約的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題研究［D］．合肥:合肥工業(yè)大學(xué)，2009．MA Cheng．Study on supply chain coordination based on option contracts［D］．Hefei:Hefei University of Industrial，2009．

［11］馬士華，胡劍陽(yáng)．一種基于期權(quán)的供應(yīng)鏈能力預(yù)訂模型［J］．管理工程學(xué)報(bào)，2004，18(1):8 －11．MA Shi-hua，HU Jian-yang．A model for supplier’s capacity ordering with options［J］．Journal Of Industrial Engineering and Engineering Management，2004，18(1):8－11．

［12］Rolf H．Capacity options for revenue management—theory and applications in the air cargo industry［D］．WHU Otto Beisheim School of Management，2006．

［13］趙明瑞，周 寒．航空貨運(yùn)的期權(quán)銷售模式初探［J］．空運(yùn)商務(wù)，2009(236):19－20．ZHAO Ming-rui，ZHOU Han．Study on the model of air cargo option．［J］．Air Transport Business，2009(236):19－20．

［14］王曉哲，楊靜蕾．期權(quán)理論下的貨運(yùn)市場(chǎng)運(yùn)力組織研究［J］．物流技術(shù)，2009，28(12):7 －9．WANG Xiao-zhe，YANG Jing-lei．Study on the transport capacity organization of the freight market based on option theory［J］．Logistics Technology，2009，28(12):7 －9．

［15］雷麗彩，周 晶．風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避下的航空貨運(yùn)期權(quán)定價(jià)Stackelberg博弈模型［J］．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010，30(2):264 －271．LEI Li-cai，ZHOU Jing．Stackelberg game model of capacity options for air cargo under risk aversion［J］．Systems Engineering Theory ＆ Practice，2010，30(2):264 －271．