車－橋豎向隨機振動響應的概率分析*

王富偉，婁 平，李宇翔

(1．中南大學土木工程學院，湖南 長沙410075;2．重載鐵路工程結構教育部重點實驗室，湖南長沙410075)

由于列車－橋梁時變系統(tǒng)隨機振動理論尚未嚴格建立［1］，很多學者在這方面進行了研究，并且發(fā)表了很多有價值的成果。夏禾等［2］通過建立隨機激勵下的車橋耦合系統(tǒng)空間模型，計算了橋梁的動力響應;張志超等［3］研究了車橋耦合系統(tǒng)受軌道高低不平順激勵而產(chǎn)生的垂向非平穩(wěn)隨機振動;李小珍等［4－5］虛擬激勵法對簡支梁進行了隨機振動分析，并討論了速度對動力響應的影響規(guī)律。

隨著列車速度的不斷提高，車－橋系統(tǒng)動力作用加劇，其動力響應成為廣泛關注的課題之一。由于軌道不平順具有隨機特性，因此，很有必要進一步開展車－橋系統(tǒng)動力響應的概率分析，研究成果作為車－橋系統(tǒng)可靠度研究的基礎。本文將列車－橋梁視為一個系統(tǒng)，利用彈性系統(tǒng)的動力學總勢能不變值原理和形成矩陣的“對號入座”法則［6－8］，建立系統(tǒng)的振動方程?？紤]軌道的隨機不平順，對幾種車速下橋梁的動力響應(橋梁中點位移最大值、橋梁中點加速度最大值)，車體加速度最大值以及輪軌力最大值等隨機變量的概率特征進行探討。婁平等［9］研究了軌道動力響應的概率特征，為本文工作的開展奠定了基礎。

1 車輛－橋梁動力學耦合模型及振動方程

1．1 車輛多剛體模型

將車輛視為多剛體振動系統(tǒng)，不考慮車體、轉向架構架、輪對等部件本身的彈性變形，各剛體通過彈簧和減振器相互連接，形成一個多自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)(圖1)，車輛參數(shù)如表1所示。

圖1 車輛－橋梁系統(tǒng)模型Fig．1 Vehicle －bridge system model

表1 車輛參數(shù)Table 1 Vehicle parameter［10］

車輛共有10個自由度，其中車體2個，即車體重心處的豎向位移yc和轉角位移θc;轉向架4個，即前后轉向架重心處豎向位移yt1和yt2，轉角位移θt1和θt2;車輪4個，即4個車輪的豎向位移 yw1，yw2，yw3和yw4。假定車輪和鋼軌總是密貼的，則車輪的自由度非獨立，故車輛只有6個自由度。假定所有豎向位移以向下為正，轉角位移以順時針方向為正，并且車輛所有的位移均從各自的靜力平衡位置開始測量(車輛為進入橋梁)，車輛在t時刻的運行速度為v(t)，加速度為a(t)。

1．2 車橋耦合關系

假定t時刻車輛4個輪對都運行在橋梁上，4個車輛與鋼軌接觸點從左至右分別位于第i1，i2，i3和i4這4個梁單元之中，4個接觸點的位置分別距各自梁單元左節(jié)點的距離為xi1，xi2，xi3和xi4。假定輪對總是與梁接觸，在t時刻，車輛輪對與梁之間4個接觸點處的約束方程如下:

上述4式分別為第h(h=1－4)個輪對的豎向位移、豎向速度和豎向加速度;［N］為梁單元的形函數(shù);分別表示第ih(h=1－4)個梁單元的節(jié)點位移矢量、節(jié)點速度矢量和節(jié)點加速度矢量;v和a分別表示車輛運行的速度和加速度;N和r的右角上標表示對局部坐標x的導數(shù)。

表2 簡支梁參數(shù)Table 2 Parameter of simply supported beam

1．3 豎向振動方程的建立和求解

考慮輪軌之間的約束關系［11］，利用彈性系統(tǒng)動力學總勢能不變值原理對4軸車輛－橋梁系統(tǒng)的總勢能進行變分并應用“對號入座”法則，得到4軸車輛－橋梁系統(tǒng)的有限元形式振動方程，表達式如下:

文中采用θ=1．4的Wilsonθ法編制相應程序求解振動方程組(2)。

2 輸入激勵的數(shù)值模擬

在本文研究中，軌道不平順隨機過程的數(shù)值模擬是一個至關重要的問題。軌道譜在國外鐵路已得到廣泛的應用，許多國家的鐵路研究機構都將軌道譜作為機車車輛、橋梁、軌道系統(tǒng)動力學仿真和振動試驗的輸入函數(shù)。國外常見的軌道譜主要為美國分級軌道譜、德國高速軌道譜和我國的干線譜。鑒于我國尚未有統(tǒng)一的高速鐵路軌道譜，文中采用德國高速軌道譜作為輪對和橋梁系統(tǒng)的輸入激勵。

常用的軌道不平順數(shù)值模擬方法主要有二次濾波法、三角級數(shù)法和白噪聲波法等。筆者采用MATLAB編寫計算程序，利用三角級數(shù)法模擬了德國高速鐵路高干擾軌道譜。德國高速譜高低不平順功率譜密度表達式為:

式中:Sv(w)為軌道不平順功率譜密度，cm2·m/rad;w為空間頻率，rad/m;wc，wr和 ws為截斷頻率，其值分別為 0．824 6，0．020 6 和 0．438 0 rad/m;Av為粗糙度系數(shù)，其值為6．125 ×10－7m·rad。

不平順取空間波長為1～50 m，對應的截止頻率為下限wl和上限wu分別為0．04π rad/m 和2π rad/m，將橋梁隨機不平順截止頻率wl和wu之間等分為500份。圖3給出了高低不平順的1個模擬樣本。

圖3 軌道高低不平順樣本Fig．3 Track irregularity sample

3 車－橋系統(tǒng)動力響應的概率分析

對上述方法建立的車－橋振動方程，輸入橋梁隨機不平順，計算車輛在簡支橋梁上分別以100～400 km/h、速度間隔為50 km/h的7種速度通過橋梁的動力響應，有關車輛和橋梁的參數(shù)見表1和表2。文中以系統(tǒng)動力響應的最大值為隨機變量，每種速度均重復運行50次，則每個隨機變量均可得到50個樣本觀測值(在同一速度下)，對每個樣本進行數(shù)理統(tǒng)計分析，以獲得每個隨機變量的均值、標準差和概率分布。為了對樣本的概率分布做出比較準確的判斷，文中使用分參數(shù)檢驗方法中的K－S檢驗并借助SPSS統(tǒng)計［12］軟件進行分析。

SPSS實現(xiàn)K－S檢驗的過程是:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和用戶的指定構造出理論分布，查分布表得到相應的理論累計概率分布函數(shù)F(x);利用樣本數(shù)據(jù)計算每個樣本數(shù)據(jù)點的累計概率，得到經(jīng)驗累計概率分布函數(shù)S(x);計算F(x)和S(x)在相應變量值點x上的差值D(x)，得到差值序列進行研究。SPSS在統(tǒng)計計算中將計算K－S的z統(tǒng)計量，并依據(jù)K－S分布表或正態(tài)分布表給出對應的相伴概率值。若相伴概率小于或等于用戶的顯著性水平α，則應拒絕零假設H0，認為樣本來自的總體與指定的分布有顯著性差異;若相伴概率值大于顯著水平，則不能拒絕假設H0，認為樣本來自的總體與指定的分布無顯著性差異。

3．1 車橋動力響應最大值隨機變量的概率特征

依據(jù)上述原理，借用SPSS軟件進行計算，得到了100 km/h速度下的車橋作用力最大值、橋梁位移最大值、橋梁加速度最大值以及車體加速度最大值等隨機變量的K－S檢驗的分析結果，如表3和表4所示。

從表3和表4可知:隨機變量橋梁中心的豎向位移最大值樣本數(shù)據(jù)的均值為5．69×10－3m，標準差為1．00×10－4m，Z 統(tǒng)計量為 0．542，相伴概率值為 0．931，顯然 0．931 ＞0．050，故不能拒絕零假設，也就是說橋梁中點位移最大值服從上述均值和標準差的正態(tài)分布，同理，從表中可知隨機變量輪對與橋梁的作用力最大值、橋梁中心加速度最大值、車體加速度最大值等的相伴概率值均大于0.05，所以，均可以得出其服從正態(tài)分布的結論。

在其余6種運行速度下，按照同樣的方法進行分析，分別得到上述車橋動力響應最大值隨機變量服從相應正態(tài)分布的結論。

表3 樣本特征(100 km/h)Table 3 Sample characteristics(100 km/h)

表4 K－S檢驗分析結果(100 km/h)Table 4 K－S Test results of the analysis(100 km/h)

3．2 速度對車－橋動力響應最大值隨機變量的影響規(guī)律

圖4～7所示分別為均值輪對與橋梁作用力最大值、橋梁位移最大值、橋梁加速度最大值以及車體加速度最大值隨機變量與速度的關系曲線。

由圖4可知:速度越大，輪對與橋梁的作用力最大值也越大，并且4組輪對與橋梁的作用力最大值相近。

由圖5和圖6可知:橋梁的位移最大值以及加速度最大值并不與車速成正比關系，估計這與橋梁自振頻率有關;當車輛通過時產(chǎn)生的振動頻率與橋梁的自振頻率接近時，則產(chǎn)生較大的振動響應。

圖4 輪對與橋梁耦合力最大值的均值與速度的關系Fig．4 Relationship between the mean of maximum wheelbridge force and the speed

圖5 橋梁中點位移最大值的均值與速度的關系Fig．5 Relationship between the mean of maximum bridge midpoint displacement and the speed

由圖7可知:車體加速度最大值與車速成正比關系，并且增量比較明顯。

圖6 橋梁中點加速度最大值的均值與速度的關系Fig．6 Relationship between the mean of maximum bridge midpoint acceleration and the speed

圖7 車體加速度最大值的均值與速度的關系Fig．7 Relationship between the mean of maximum car acceleration and the speed

4 結論

(1)車輛通過橋梁時所產(chǎn)生的動力響應中，輪對與橋梁的作用力最大值、橋梁位移最大值、橋梁加速度最大值以及車體加速度最大值等隨機變量均服從正態(tài)分布。

(2)隨著車輛速度的增加，輪對與橋梁作用力最大值和車體加速度最大值的均值均增加，且車體加速度最大值增加較快;而橋梁的位移、加速度最大值的均值并不與之成正比變化。

［1］曾慶元，向 俊，婁 平．列車脫軌的力學機理與防止脫軌理論［J］．鐵道科學與工程學報，2004，1(1):19－31．ZENG Qing-yuan，XIANG Jun，LOU Ping．Mechanical mechanism of derailment and theory of derailment prevention［J］．Railway Science and Engineering，2004，1(1):19－31．

［2］夏 禾，張宏杰，曹艷梅，等．車橋耦合系統(tǒng)在隨機激勵下的動力分析［J］．工程力學，2003，20(3):142－149．XIA He，ZHANG Hong-jie，CAO Yan-mei，et al．Dynamic analysis of train－bridges system under random excitations［J］．Engineering Mechanics，2003，20(3):142 －149．

［3］張志超，趙 巖，林家浩．車橋耦合系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機振動分析［J］．振動工程學報，2007，20(5):439 －446．ZHANG Zhi-chao，ZHAO Yan，LIN Jia-hao．Nonstationary random vibration analysis for vehicle－bridge coupled systems［J］．Journal of Vibration Engineering，2007，20(5):439－446．

［4］李小珍，朱 艷．車輛－橋梁垂向時變耦合系統(tǒng)隨機分析［J］．武漢理工大學學報，2010，32(9):356－359．LI Xiao-zhen，ZHU Yan．Stochastic analysis of train －bridge time－varying vertical system［J］．Journal of Wuhan University of Technology，2010，32(9):356 －359．

［5］朱 艷，李小珍．車橋時變耦合系統(tǒng)的隨機響應分析［J］．武漢理工大學學報，2010，32(9):352－355．ZHU Yan，LI Xiao-zhen．Stochastic analysis of train －bridge stochastic dynamic responses analysis of trainbridge time－varying system［J］．Journal of Wuhan University of Technology，2007，32(9):352 －355．

［6］曾慶元，郭向榮．列車橋梁時變系統(tǒng)振動分析理論與應用［M］．北京:中國鐵道出版社，1999．ZENG Qing-yuan，GUO Xiang-rong．Theory and application of vibration analysis of Train－bridge time－dependent system［M］．Beijing:China Railway Publishing House，1999．

［7］曾慶元，楊 平．形成矩陣的“對號入座”法則與桁梁空間分析的桁段有限元法［J］．鐵道學報，1986，8(2):48－59．ZENG Qing-yuan，YANG Ping．The“set－in－right－position”rule for forming structural matrices and the finite truss－element method for space analysis of truss bridges［J］．Journal of the China Railway Society，1986，8(2):48－59．

［8］ZENG Qing-yuan，LOU Ping，XIANG Jun ．The principle of total potential energy with stationary value in elastic system dynamics and its vibration analysis［C］//Proceedings of International Conference on Engineering and Technological Sciences 2000，Session 5．Beijing:Science Press，2000:183 －193．

［9］婁 平，趙永超．高速鐵路隨機振動軌道動力響應的概率分析［J］．鄭州大學學報:工學版，2010，31(2):56－59．LOU Ping，ZHAO Yong-chao．Track － dynamic response probability analysis for random vibration of hgih－speed railway［J］．Journal of Zhengzhou University:Engineering Science，2010，31(2):56－59．

［10］ WU Yean-seng，YANG Yeong-bin．Steady － state response and riding comfort of trains moving over a series of simply supported bridges［J］．Engineering Structures，2003，25(2):251－265．

［11］婁 平，曾慶元．車輛－軌道－橋梁系統(tǒng)豎向運動方程的建立［J］．鐵道學報，2004，26(5):71－80．LOU Ping，ZENG Qing-yuan．Formulation of equations of vertical motion for vehicle－track－bridge system［J］．Journal of the China Railway Society，2004，26(5):71－80．

［12］劉順忠，景麗芳，榮麗敏，等．非參數(shù)統(tǒng)計和SPSS軟件應用［M］．武漢:武漢大學出版社，2008．LIU Shun-zhong，JIANG Li-fang，RONG Li-min．Non －parametric statistics and applications of spss software［M］．Wuhan:Wuhan Univerysity Press，2008．