一類平面二次系統(tǒng)(III)類方程的極限環(huán)存在性

朱曼，楊鎖玲，郭麗艷

(1．臨沂大學(xué) 理學(xué)院，山東 臨沂 276005;2．山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

0 引言

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特早在二十世紀(jì)初的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)著名數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展起到了很大的推動(dòng)作用．其中，第16個(gè)問(wèn)題的后半部分為:多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)是多少?相對(duì)位置如何?自那以后特別是近幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)工作者花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力致力于該問(wèn)題的研究，取得了一系列卓越的研究結(jié)果．其中在對(duì)平面二次系統(tǒng)的研究中，著名數(shù)學(xué)家葉彥謙先生給出了如下的葉彥謙分類:

(I)類方程:˙x=-y+δx+lx2+m xy+ny2，˙y=x．

(II)類方程:˙x=-y+δx+lx2+m xy+ny2，˙y=x(1+ax)，a≠0．

(III)類方程:˙x=-y+δx+lx2+m xy+ny2，˙y=x(1+ax+by)，b≠0．

關(guān)于二次微分系統(tǒng)的極限環(huán)問(wèn)題的研究，近幾十年來(lái)已有大量的工作［1，2］．但是，通常采取的方法是作適當(dāng)?shù)淖儞Q把方程化為L(zhǎng)iénard形式，再利用定性的方法來(lái)討論極限環(huán)的存在性．文［3］利用分支的方法，通過(guò)分析未擾方程的同宿軌經(jīng)擾動(dòng)破裂以后的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的相對(duì)距離，研究了一類含三個(gè)自由參數(shù)的平面二次微分系統(tǒng)(III)類方程的極限環(huán)的存在性問(wèn)題．本文對(duì)文［3］中方程進(jìn)行改進(jìn)，并研究改進(jìn)后一類含五個(gè)自由參數(shù)的平面二次微分系統(tǒng)(III)類方程的同宿環(huán)的分支問(wèn)題，給出系統(tǒng)存在極限環(huán)的條件．

1 引理

考慮平面自治系統(tǒng)

及其擾動(dòng)系統(tǒng)

其中 f，g，f0，g0∈ C1，x，y ∈ R1，p ∈ R1，q ∈ Rk，k ≥ 0．

引理1 (P－B環(huán)域定理)［5］:設(shè)D是由兩條不相交的單閉曲線L1和L2所圍成的環(huán)

注1:L1和L2可以部分地由軌線構(gòu)成，甚至上面可以出現(xiàn)有限個(gè)奇點(diǎn)，只要保證軌線一旦進(jìn)入(離開)D后不再離開(進(jìn)入)即可．

注2:D的內(nèi)邊界(不妨設(shè)為L(zhǎng)1)可以縮為一個(gè)不穩(wěn)定(穩(wěn)定)的奇點(diǎn)．

引理2［6，7］:假設(shè)(1)．系統(tǒng)(1．1) 存在同宿于鞍點(diǎn) O(0，0) 的同宿軌 Γ，P0為 Γ 上任意一點(diǎn)，過(guò)P0作(1．1)的橫截線l與Γ在P0點(diǎn)的外法線方向→n共線．

(2)．?dāng)_動(dòng)系統(tǒng)(1．2) 在O(0，0) 點(diǎn)附近的鞍點(diǎn)為ˉO，過(guò)ˉO的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形與 l的交點(diǎn)分別為 Ps和 Pu．則在小擾動(dòng)下，從 Ps到 Pu的有向距離

2 主要結(jié)果

考慮系統(tǒng)

(1)當(dāng)0 ＜ δ ＜2時(shí)，系統(tǒng)(2．1)和(2．2)有鞍點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn) B(0，0)．0

(2) 當(dāng) δ ≥2時(shí)，系統(tǒng)(2．1) 和(2．2) 有鞍點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) B(0，0)．0

(3)當(dāng) -2 ＜ δ ＜0時(shí)，系統(tǒng)(2．1)和(2．2)有鞍點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn) B(0，0)．0

(4) 當(dāng) δ ≤-2時(shí)，系統(tǒng)(2．1) 和(2．2) 有鞍點(diǎn)，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) B(0，0)．0

(1)當(dāng)0＜pq＜2時(shí)，系統(tǒng)(2．3)有鞍點(diǎn)O(0，0)，不穩(wěn)定焦點(diǎn)

(2)當(dāng)pq≥2時(shí)，系統(tǒng)(2．3)有鞍點(diǎn)O(0，0)，不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

(3)當(dāng) -2＜pq＜0時(shí)，系統(tǒng)(2．3)有鞍點(diǎn)O(0，0)，穩(wěn)定焦點(diǎn)(4)當(dāng)pq≤-2時(shí)，系統(tǒng)(2．3)有鞍點(diǎn)O(0，0)，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

考慮(2．3) 的未擾系統(tǒng)(2．3)|p=0

當(dāng)h=0時(shí)，系統(tǒng)(2．5)為(2．4)過(guò)鞍點(diǎn)O(0，0)的同宿軌，記為Γ，即:由系統(tǒng)(2．4)知Γ為逆時(shí)針走向，經(jīng)計(jì)算易知，Γ與v軸的交點(diǎn)為不妨設(shè)此時(shí),即

當(dāng)n＞0時(shí)，系統(tǒng)(2．4)的同宿軌Γ整體定義在v軸的負(fù)半平面，記其在v軸的右邊部分為Γ+，在v軸左邊部分為Γ-(當(dāng)n＜0時(shí)，系統(tǒng)(2．4)的同宿軌Γ整體定義在v軸的正半平面，記其在v軸的左邊部分為Γ+，在v軸右邊部分為Γ-)，由(2．5)知Γ+與Γ-的表達(dá)式分別為

同理:

所以:

下面利用P-B環(huán)域定理證明極限環(huán)的存在性．要證Γ內(nèi)含有極限環(huán)，只需構(gòu)造環(huán)域定理所需的內(nèi)外境界即可．

其次，已知p ＞ 0，0 ＜|q|＜ 1，p充分小，取PsPu∪PuO∪OPs作為環(huán)域D的外境界．

綜上所述即得下述定理:

［1］葉彥謙．極限環(huán)論［M］．上海:上?？萍汲霭嫔?，1984．

［2］葉彥謙．多項(xiàng)式微分系統(tǒng)定性理論［M］．上海:上?？萍汲霭嫔?，1995．

［3］李光芹．一類平面二次方程的極限環(huán)存在性［J］．曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，(2):53－55．

［4］金銀來(lái)．二次微分系統(tǒng)(I)類方程的分支問(wèn)題［J］．聊城師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，(2):15－16，20．

［5］張芷芬，丁同仁，等．微分方程定性理論［M］．北京:科學(xué)出版社，1985．

［6］張錦炎，馮貝葉．常微分方程幾何理論與分支問(wèn)題［M］．北京:北京大學(xué)出版社，2000．

［7］韓茂安，朱德明．微分方程分支理論［M］．北京:煤炭工業(yè)出版社，1994．

［8］程福德．軟彈簧型方程在攝動(dòng)下分支出極限環(huán)［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1998，(2):121－125．