信息轉(zhuǎn)化

　　數(shù)學(xué)無處不化歸。解決數(shù)學(xué)問題的過程，其實就是不斷完成信息轉(zhuǎn)化（化歸）的過程，是逐步地化繁為簡、化生為熟、化難為易的過程。對此，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家C?A?雅諾夫斯卡婭曾一語道破其實質(zhì)：“解題最終就是歸結(jié)為已經(jīng)解決過的問題。”
　　一、信息轉(zhuǎn)化的方向與原則
　　轉(zhuǎn)信息化就是運用運動、變化、聯(lián)系、發(fā)展等辯證的觀點去認識和分析問題，是理性的帶有明確指向性的推理演化過程，通常把握好方向與原則：
　　熟悉化原則：從生到熟；從暗到明；從未知到已知。
　　簡單化原則：從難到易、從繁到簡。
　　和諧化原則：從不勻稱到勻稱；從不統(tǒng)一到統(tǒng)一，從不協(xié)調(diào)到協(xié)調(diào)。
　　具體化原則：從抽象到形象、直觀、具體；從一般到特殊；從綜合（非基本）問題到基本問題。
　　逆向化原則：從正到反；從順到逆；從進到退。
　　數(shù)學(xué)化原則：從現(xiàn)實情境到數(shù)學(xué)情境；從非數(shù)學(xué)符號化到數(shù)學(xué)符號化。
　　二、信息轉(zhuǎn)化的方式與方法
　　1.從現(xiàn)實到數(shù)學(xué)的信息轉(zhuǎn)化
　　從現(xiàn)實到數(shù)學(xué)的信息轉(zhuǎn)化其實就是通過對問題的分析，抽象建立數(shù)學(xué)模型，把現(xiàn)實生活中的問題情境轉(zhuǎn)化成“純粹”的數(shù)學(xué)化的問題情境，體現(xiàn)“問題情景——建立模型——解釋、應(yīng)用、拓展與反思”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式。
　　例1．（2011，河北中考）已知A、B兩地的路程為240千米。某經(jīng)銷商每天都要用汽車或火車將x（噸）的保鮮品一次性由A地運往B地。受各種因素限制，下一周只能采用汽車和火車中的一種運輸工具進行運輸，且須提前預(yù)訂?，F(xiàn)有貨運收費項目及收費標準表（如表1）、行駛路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)圖像（如圖1-1）、上周貨運量折線統(tǒng)計圖（如圖1-2）等信息如下：
　?。?）汽車的速度為________千米/時，火車的速度為 _________千米/時；
　?。?）設(shè)每天用汽車和火車運輸?shù)目傎M用分別為y汽（元）和y火（元），分別求y汽、y火與x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍；總費用=運輸費＋冷藏費＋其他費用），并指出x為何值時，y汽＞y火；
　?。?）從平均數(shù)、折線圖走勢兩個角度分析，該經(jīng)銷商應(yīng)提前為下周預(yù)定哪種運輸工具，才能使每天的運輸總費用較省?
　　分析：本例是一例典型的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的問題（詳解不贅），題目整合了方案設(shè)計與統(tǒng)計決策問題，在呈現(xiàn)方式上做出了創(chuàng)新，試題貼近當前社會經(jīng)濟熱點，能讓學(xué)生真切地感受到“數(shù)學(xué)來源于生活，又返回來指導(dǎo)生活”的價值。題目信息在表格、圖像間交叉呈現(xiàn)，便于考查學(xué)生從圖表中獲取信息、建立數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用它解決（解釋）現(xiàn)實問題的能力，深入貫徹了課標所提倡的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式。事實上，解決此類問題多以“函數(shù)、方程（組）和不等式（組）”作為工具。由于題目中含有從“不確定中找確定”的因素，所以關(guān)聯(lián)了函數(shù)、方程與不等式等數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用。
　　一般地，刻畫變量之間關(guān)系的問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，確定一個量的值的問題都可以轉(zhuǎn)化為方程問題，而要確定一個量的范圍的問題，往往要轉(zhuǎn)化為不等式的問題。
　　例2.（2008，太原中考）在某次人才交流會上，應(yīng)聘人數(shù)和招聘人數(shù)分別居前5位的行業(yè)列表如下：
　　如果用同一行業(yè)應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，那么根據(jù)表中數(shù)據(jù)，對上述行業(yè)的就業(yè)情況判斷正確的是（ ）。
　　A．計算機行業(yè)好于其他行業(yè)
　　B．貿(mào)易行業(yè)好于化工行業(yè)
　　C．機械行業(yè)好于營銷行業(yè)
　　D．建筑行業(yè)好于物流行業(yè)
　　分析：能否領(lǐng)悟就業(yè)情況的決定性因素，從圖表中迅速抓取有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，并借之作出判斷，顯然體現(xiàn)了數(shù)學(xué)智慧。由表格信息可知，物流和貿(mào)易行業(yè)的招聘人數(shù)均少于725人，而建筑和化工行業(yè)應(yīng)聘人數(shù)均少于659人。“用同一行業(yè)應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值（設(shè)用P表示）的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況”這句話的含義就是多少個人去應(yīng)聘一個崗位，故比值P越小，就業(yè)形勢越好。P計算機=＞1，P機械=＞1，P營銷=＞1，P物流>＞1；P貿(mào)易＞（可能大于1、等于1或小9GCtBsbDffwtjSZfZDw7MJ4Uq1HkqGp0ZZVCCzXdjpo=于1）；P建筑＜＜1；P化工＜<1.比較可知，A、B、C一定是錯的，D正確。
　　例3.（2003年，淄博中考）如圖2-1是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下（這里的A、B、C、D各點都是活動的），活動床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計而成的，其折疊過程可由圖2-2的變化反映出來。
　?。?）活動床頭的固定折疊是根據(jù)_______而設(shè)計的；
　?。?）如果已知四邊形ABCD中，AB=6cm，CD=15cm，那么BC、AD取多長時，才能實現(xiàn)上述的折疊變化？
　　分析：顯然，活動床頭的固定與折疊是根據(jù)“三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性”來設(shè)計的。而能夠?qū)崿F(xiàn)上述的折疊變化的前提是相關(guān)數(shù)據(jù)間所具有的內(nèi)在聯(lián)系，這個聯(lián)系要通過“線段重合”和“直角三角形三邊之間的關(guān)系（即勾股定理）”這兩個數(shù)學(xué)模型的特征來揭示：設(shè)BC=x，AD=y，在RtΔACD中，有AC2+CD2=AD2，即（6+x）2+152=y2（I）；在線段BD上，有:CD+CB=AB+AD，即15+x=6+y（II）；由（I）、（II）得：36+12x+x2+225=81+18x+x2，解得:x=30，y=39，故BC、AD的長分別為30cm、39cm時，鋼絲床方可折疊。
　　點評：《數(shù)學(xué)課程標準》強調(diào)數(shù)學(xué)背景的現(xiàn)實性。以“現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”內(nèi)容為背景命題，讓學(xué)生從具體的問題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用、拓展與反思”的基本過程。近幾年中考命題在此方面頗費匠心，試題取材于學(xué)生身邊的生活，新穎有趣，值得玩味。
　　課標強調(diào)“數(shù)學(xué)地思考”，即面對一個問題時，能主動嘗試著從不同的角度，開動大腦機器，尋求解決問題的突破口。從現(xiàn)實到數(shù)學(xué)的建模問題很好地體現(xiàn)了這一點。學(xué)生們只有經(jīng)過一番細致分析和豐富聯(lián)想后，產(chǎn)生了“頓悟”，方法（數(shù)學(xué)模型）才能浮出水面。
　　2.從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的信息轉(zhuǎn)化
　　從生活到數(shù)學(xué)是一個水平（橫向）數(shù)學(xué)化的過程，而從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)則是一個縱向數(shù)學(xué)化的過程。
　?。?）變更問題表述方式
　　同樣的數(shù)學(xué)問題背景，采用不同的表述方式，對解題者，難度是有區(qū)別的。了解了這一點，就可以在解題時，不斷轉(zhuǎn)化問題信息的給予方式（包括已知信息和待知信息），從而降低問題難度。
　　例4.（2011，揚州中考）如圖3-1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）?，F(xiàn)將甲槽的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度（厘米）與注水時間（分鐘）之間的關(guān)系如圖3-2所示。根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問題：
　?、賵D3-2中折線表示_______槽中水的深度與注水時間的關(guān)系，線段表示________槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點的縱坐標表示的實際意義是__________________；
　?、谧⑺嚅L時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？
　?、廴粢也鄣酌娣e為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；
　?、苋粢也壑需F塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計）。（直接寫出結(jié)果）
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　分析：我們知道：①“勻速變化”在坐標系中表現(xiàn)為一條“直線”（反之亦然）；②“速度大小”在坐標系中表現(xiàn)為圖像改善的“陡峭程度”：圖像改善越陡峭，則對應(yīng)時段的速度越大；圖像改善越平緩，則對應(yīng)時段的速度越小。在此基礎(chǔ)上，觀察乙槽的特征可知，水面上升速度應(yīng)是先快后慢，但每一段上是勻速上升的，圖像改善的“轉(zhuǎn)折點”即對應(yīng)容器的“水面剛好沒過鐵塊”這個時刻。由此，確定了圖像改善與器具的對應(yīng)關(guān)系，再把圖像改善中的信息翻譯成文字信息（或其他數(shù)學(xué)符號形式等學(xué)生可以“內(nèi)部”處理的信息），題目就變得較為容易了。
　　
　　點評：函數(shù)圖像改善以其形象、直觀的特征囊括了眾多隱含與顯在的信息。解決問題的過程就是釋放圖像改善內(nèi)涵的過程。只有準確、全面、有針對性地識讀圖像改善，從中捕捉“數(shù)據(jù)”信息與“數(shù)量關(guān)系”信息，將這些信息還原到問題情境之中，或?qū)@些信息進行有效梳理、綜合運用，才能轉(zhuǎn)化問題，順利獲解。完成“圖形”與“圖像”的“數(shù)據(jù)互補與互釋”。這對學(xué)生的能力是一個巨大的挑戰(zhàn)。其實，所有復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的解決都有這樣一個“轉(zhuǎn)化信息表述方式”，使之更適合自己思考與應(yīng)用的過程。
　?。?）降低問題抽象程度
　　在解決數(shù)學(xué)問題時，如果能實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言之間的等價轉(zhuǎn)換，就可以降低問題的抽象程度，化生為熟，使問題的解決途徑多元化。
　　例5.（2011，四川綿陽中考）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a　　A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b
　　C．x1＜a＜b＜x2 D．a(chǎn)＜x1＜b＜x2
　　分析：問題很抽象，無從下手。但從待定結(jié)論上看，無論選擇哪一個答案，都意味著x1，x2，a，b的大小排列有一個固定順序。由此可令a=-1，b=1，則原方程變?yōu)椋▁+1）（x-1）=1，即x2=2，解之，得：x1=-，x2=.故有x1＜a＜b＜x2，選C。
　　例6.（2011，呼和浩特中考）若x2-3x+1=0，則的值為 __________。
　　分析：顯然，通過求解一元二次方程得出x值，再代入式中求值是不可取的。觀察題設(shè)和待求式的聯(lián)系，可得如下方法：方法①：結(jié)合待求式中存在眾多的“x2”，可調(diào)整x2-3x+1=0，得x2=3x-1，則==。方法②：欲求S=的值，可轉(zhuǎn)為求==x2+1+的值；把方程x2-3x+1=0兩邊都除以x，得x-3+=0，x+=3，（x+）2=9，即x2+=7，于是有=7+1=8，S==。
　　點評：例5的處理策略把一個相當抽象的問題轉(zhuǎn)化成一個非常具體的問題，大大降低了思考難度；例6中，法①運用“逐步降次法”，法②運用“取倒數(shù)法”，看似玄妙，其實并非無中生有，都是建立在對已知條件和待求式充分觀察、比較的基礎(chǔ)上，巧妙降低了問題的抽象程度。
　?。?）調(diào)整問題解決策略
　　調(diào)整問題解決策略往往遵循“問題→新問題→解決新問題→解決原問題”的路子走，是一個逐步縮小已知與求解的差異的過程，是求解系統(tǒng)趨近于目標系統(tǒng)的過程，目的在于通過采用某種手段轉(zhuǎn)化信息，使之容易展開聯(lián)想，方便思考與解決。
　　例7．（2011，四川瀘州中考）如圖4-1，點P為等邊△ABC外接圓周劣弧BC上的一點。
　　求∠BPC的度數(shù)；
　　求證：PA=PB+PC；
　　設(shè)PA，BC交于點M，若AB=４，PC=２，求CM的長度。
　　分析：這是一例延用多年的經(jīng)典問題，此處僅關(guān)注第（2）問。
　　一方面，欲證PA=PB+PC，可先把PB（或PC）“補”上一段PC長（或PB長）的線段，然后推證補充后的線段長等于PA長即可。
　　方法①：延長線段BP到點D，使PD=PC，連結(jié)CD（如圖4-1，詳解不贅）；
　　方法②：延長線段PB到點D，使BD=PC，連結(jié)AD（圖形、詳解不贅）；
　　方法③：延長線段CP到點D，使PD=PB，連結(jié)BD（圖形、詳解不贅）；
　　方法④：延長線段PC到點D，使CD=PB，連結(jié)AD（圖形、詳解不贅）。
　　上述四法，我們通常稱之為“補短法”，四者異曲同工。
　　另一方面，欲證PA=PB+PC，相當于“PC=PA-PB”或“PB=PA-PC”，可考慮先從PA上“鋸”下一段PB長（或PC長）的線段，然后推證余下的一段長等于PC長（或PB長）即可。
　　方法⑤：在線段PA上截取PD=PB，連結(jié)BD（如圖4-2，詳解不贅）；
　　方法⑥：在線段PA上截取AD=BP，連結(jié)CD（圖形、詳解不贅）；
　　方法⑦：在線段PA上截取PD=PC，連結(jié)CD（圖形、詳解不贅）；
　　方法⑧：在線段PA上截取AD=PC，連結(jié)BD（圖形、詳解不贅）。
　　上述四法，我們通常稱之為“截長法”，四者也是異曲同工。
　　點評：正是由于對結(jié)論形式的調(diào)整與轉(zhuǎn)化，不同的解題策略才浮出水面，問題得以巧妙破解。
　　匈牙利著名數(shù)學(xué)家P?羅莎在她的名著《無窮的玩藝》一書中曾對“信息轉(zhuǎn)化”做過生動的描述。她首先問：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水，你應(yīng)當怎樣去做？”正確的回答是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”接著羅莎又提出第二個問題：“假設(shè)所有的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時你應(yīng)該怎樣去做？”對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上?！钡_莎認為這并不是最好的回答，因為“只有物理學(xué)家才這樣做，而數(shù)學(xué)家則會倒去壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了?！绷_莎的比喻固然有點夸張，但卻道出了“信息轉(zhuǎn)化”在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。希望通過本文，讀者能領(lǐng)悟到這個真諦。
　?。ㄘ熑尉庉? 劉永慶）