對(duì)數(shù)學(xué)教材加工策略的思考

　　隨著新課改的深入推進(jìn)，越來(lái)越多的教師開(kāi)始理性地思考這次課程改革，越來(lái)越多的教師把課堂教學(xué)定位于“倡簡(jiǎn)、務(wù)本、求實(shí)、有度”。的確，數(shù)學(xué)課堂的簡(jiǎn)約可以說(shuō)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種最高境界。但簡(jiǎn)約不是簡(jiǎn)單意義上的“減法”，而是來(lái)源于對(duì)教材的解讀與加工，教師對(duì)教材的解讀獨(dú)特而深刻，能夠抓住重點(diǎn)，有機(jī)整合，前后連貫。解讀與加工中選材可以少，但所選題材要有典型性、針對(duì)性，要精選素材，巧用素材，努力做到“一材多解”、“一材多探”、“一材多變”、“一材多用”，使每一份材料在課堂上都能發(fā)揮出最大的功效。
　　一、“一材多解”，培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散性
　　對(duì)于一道數(shù)學(xué)題，往往由于審視的方向不同，而得到不同的解題方法，在習(xí)題課教學(xué)中，教師若能抓住一切有利時(shí)機(jī)，經(jīng)常有意識(shí)地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生在所學(xué)知識(shí)的范圍內(nèi)，盡可能地提出不同的構(gòu)想，追求更好、更簡(jiǎn)、更巧、更美的解法，這不僅有利于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的梳理和掌握，而且也有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。
　　例如：已知數(shù)列{an}滿足an=，n∈N*，試比較an與an+1的大小
　　方法一：（作商）∵an>0
　　∴===<1
　　∴an　　方法二：（濃度法）把a(bǔ)n=看成是一杯溶液（糖）的濃度，隨著n的增大（相當(dāng)于向溶液中加糖），濃度當(dāng)然增大，易得an　　二、“一材多變”，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力
　　一個(gè)例題，如果孤立地去解答它，那么再好充其量只不過(guò)解決了一個(gè)問(wèn)題。數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)突出探究活動(dòng)，探究活動(dòng)不僅停留在對(duì)原習(xí)題解法的探索上，而且應(yīng)適當(dāng)?shù)貙?duì)原習(xí)題進(jìn)行深層的探索，挖掘出更深刻的結(jié)論。這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式藝術(shù)。變式，是一種探索問(wèn)題的方法，變式可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，可以有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。
　　例如：求曲線y2=-4x上與點(diǎn)A（1，0）距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)。
　　1．條件一般化
　　條件一般化是指將原題中的特殊條件，改為具有普遍性的條件，使題目具有一般性。將例題條件一般化，引導(dǎo)學(xué)生挖掘條件，是設(shè)計(jì)變式題首先考慮的一種方法。
　　變題：在曲線y2=-4x上求一點(diǎn)M（x，y），使它到點(diǎn)B（a，0）的距離最短。將原式的特殊點(diǎn)A（1，0）改為一般的點(diǎn)B（a，0），這符合由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，學(xué)生容易接受。
　　2．改變背景
　　改變背景是指在某些條件不變的情況下，改變另一些條件的形式，將問(wèn)題得到進(jìn)一步深化。在教學(xué)過(guò)程中，變換例題的形式，可激發(fā)學(xué)生的探究欲望，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。
　　變題：已知拋物線y2=-4x與直線y=kx+3沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的取值范圍。也可進(jìn)一步變題：已知拋物線y2=-4x與動(dòng)圓（x-a）2+y2=2沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍。
　　3．聯(lián)系實(shí)際
　　聯(lián)系實(shí)際是將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，這要求教師要有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，教師在例題變式的過(guò)程中創(chuàng)設(shè)情境，引起或指引學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，以此提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
　　變題：一只高腳酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式為y2=-4x，在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃小球，問(wèn)多大的玻璃小球才能觸及酒杯的底部?這樣的變式練習(xí)，學(xué)生可以實(shí)驗(yàn)得出，也可以通過(guò)教學(xué)方法得出，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
　　4．變換條件和結(jié)論
　　變換條件和結(jié)論是將原題的條件和結(jié)論都有所變動(dòng)，但所用的知識(shí)不離開(kāi)原題的范圍。這種變題：是否存在同時(shí)滿足下列條件的拋物線：（1）準(zhǔn)線是y=1；（2）頂點(diǎn)在y軸上；（3）原點(diǎn)0到此拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P的距離的最小值為1。若存在，有幾條?若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
　　將常規(guī)題變?yōu)樘剿黝}，是設(shè)計(jì)變式題的又一途徑。由常規(guī)題變出來(lái)的探索題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更具創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性。在教學(xué)中實(shí)施變式練習(xí)，必須防止機(jī)械模仿，應(yīng)使練習(xí)的思維性具有合適的梯度，逐步增加創(chuàng)造性的因素。另外，還應(yīng)向?qū)W生提供機(jī)會(huì)，接觸用各種形式給出問(wèn)題的條件等。
　　二、“一材多探”，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性
　　第一種形式：對(duì)同一題設(shè)條件，引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考，由此對(duì)導(dǎo)出的各種結(jié)果進(jìn)行探索性分析和論證，從而構(gòu)造出在同一條件下的多個(gè)命題。
　　例如：已知AB是圓0的直徑，PA⊥圓O所在的平面，C是圓周上任一點(diǎn)，求證：△ABC所在的平面⊥△PAC所在的平面。
　　這是課本的一道習(xí)題，證明完畢后可引導(dǎo)學(xué)生思考，還可以得到哪些結(jié)果?不難發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：（1）△PAB、△PAC、△PCB、△ABC都是直角三角形；（2）平面PBCA⊥平面PAC，平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC；（3）∠CAB是二面角C-PA-B的平面角，∠PCA是二面角P-CB-A的平面角；（4）AC是異面直線PA、BC的公垂線段；（5）點(diǎn)A到平面PBC的距離就是A到PC的距離。
　　第二種形式：就是對(duì)一個(gè)確定的結(jié)論或某個(gè)數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生探索能使該結(jié)論或該概念成立的充分條件或必要條件或充要條件。
　　例如：三棱錐A-BCD滿足下列條件之一：（1）各側(cè)面都是正三角形；（2）各側(cè)面都是全等的等腰三角形：（3）各側(cè)面的斜高相等；（4）各側(cè)面與底面所成的角相等；（5）各側(cè)棱與底面所成的角相等：（6）各側(cè)面都是等腰三角形且底面是正方形；（7）相鄰側(cè)面所成的二面角相等；（8）相鄰側(cè)棱所成的角都相等。
　　問(wèn)：哪些條件是四棱錐成為正三棱錐的充要條件?哪些條件是三棱錐成為正三棱錐的充分不必要條件?哪些條件是三棱錐成為正三棱錐的必要不充分條件?
　　“一材多探”的兩種設(shè)計(jì)，實(shí)際上就是結(jié)論開(kāi)放和條件開(kāi)放兩種類型的數(shù)學(xué)習(xí)題?？梢钥闯鲞@是一種思維能力訓(xùn)練力度較大的教學(xué)設(shè)計(jì)，其特點(diǎn)就是讓學(xué)生直接參與到數(shù)學(xué)習(xí)題形成的過(guò)程中，真正收到了由表及里、舉一反三、觸類旁通的功效。
　　四、“一材多用”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想
　　“一材多用”的教學(xué)模式，就是利用題目的結(jié)論或公式，借題發(fā)揮，解決多個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就要求解題者要一眼看透問(wèn)題的本質(zhì)。
　　例如：已知三棱錐P—ABC，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，求點(diǎn)P到面ABC的距離。
　　這道題主要是“點(diǎn)到平面距離”問(wèn)題。我們可以采用：方法一：作圖直接求解法；方法二：等體積法；方法三：割補(bǔ)法，把該三棱錐補(bǔ)成正方體；方法四：向量法。
　　學(xué)生由常規(guī)思路進(jìn)行方法一的求解，在教師的啟發(fā)下進(jìn)行二、三的求解，然后再采用向量法，這樣引導(dǎo)學(xué)生“想一想”進(jìn)行獨(dú)立思考，概括總結(jié)“求點(diǎn)到平面的距離”的基本解法，以及各個(gè)方法的特點(diǎn)，達(dá)到訓(xùn)練思維的目的。該題講到這里，教師還可以對(duì)該題再次進(jìn)行拓展，效果更佳。（1）縱向延伸?！扒笤撊忮F的外接球的體積”，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，理清知識(shí)間的前后聯(lián)系，逐步深化、遞進(jìn)，提高思維的深刻性。（2）橫向展開(kāi)?！案淖冾}設(shè)PA、PB、PC兩兩成60°，其它不動(dòng)，再求點(diǎn)P到面ABC的距離和求該三棱錐的外接球的體積”，學(xué)生解題后，還可以橫向展開(kāi)，引導(dǎo)學(xué)生從多種角度、多種途徑進(jìn)行解題，此種方法多用于練習(xí)課與復(fù)習(xí)課，思維的批判性得到很好訓(xùn)練。（3）逆向回轉(zhuǎn)，要求學(xué)生小結(jié)時(shí)注意轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想。這樣，訓(xùn)練學(xué)生從順、逆兩個(gè)方向思考問(wèn)題，有利于認(rèn)識(shí)的提高。一個(gè)題目多種方法，多角度設(shè)問(wèn)，既訓(xùn)練了學(xué)生的思維，又優(yōu)化了思維品質(zhì)，同時(shí)也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
　　總之，教材的解讀與加工可多層次、廣視角、全方位地進(jìn)行研究與拓展，它不只是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略或方法，其重要意義是向?qū)W生揭示了數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想和歸納的思想。
　　（責(zé)任編輯劉永慶）