七橋問題和歐拉定理

　　人教版教材《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)第95頁介紹了古典數(shù)學(xué)名題《七橋問題》：
　　18世紀(jì)東普魯士的哥尼斯堡城，有一條河穿過，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸聯(lián)系起來（如圖1）。有人提出一個(gè)問題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)？
　　這個(gè)問題似乎不難，誰都樂意用它來測(cè)試一下自己的智力?？墒?，誰也沒有想到，這是一個(gè)不可能問題。因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)，誰也沒有找到一條這樣的路線，連以博學(xué)著稱的大學(xué)教授們，也感到一籌莫展。“七橋問題”難住了哥尼斯堡的所有居民，哥尼斯堡城也因“七橋問題”而出了名。
　　哥尼斯堡七橋問題傳開了。1735年，瑞士的大數(shù)學(xué)家歐拉在俄國彼得堡聽到了這個(gè)問題，并引起極大的興趣。歐拉沒有去過哥尼斯堡，他也沒有去親自測(cè)試可能的路線。他知道，如果沿著所有可能的路線都走一次的話，一共要走5040次，就算是一天走一次，也需要13年多的時(shí)間。實(shí)際上，歐拉只用了半天時(shí)間就解決了七橋問題。
　　剖析一下歐拉的解法是饒有趣味的。
　　首先，歐拉把七橋問題抽象成一個(gè)合適的“數(shù)學(xué)模型”。他想：兩岸的陸地與河中的小島，都是橋梁的連接點(diǎn)，它們的大小、形狀均與問題本身無關(guān)。因此，不妨把它們看做是4個(gè)點(diǎn)。7座橋是7條必須經(jīng)過的路線，它們的長短、曲直，也與問題本身無關(guān)。因此，不妨任意畫7條線來表示它們（如圖2）。
　　就這樣，歐拉將七橋問題抽象成了一個(gè)“一筆畫”問題。怎樣不重復(fù)地通過7座橋，變成了怎樣不重復(fù)地畫出一個(gè)幾何圖形的問題。
　　原先，人們是要求找出一條不重復(fù)的路線。歐拉想，成千上萬的人都失敗了，這樣的路線也許是根本不存在的。如果根本不存在，硬要去尋找它豈不是白費(fèi)力氣！于是，歐拉接下來著手判斷：這種不重復(fù)的路線究竟存在不存在？由于這么改變了一下提問的角度，歐拉抓住了問題的實(shí)質(zhì)。
　　最后，歐拉認(rèn)真考察了一筆畫圖形的結(jié)構(gòu)特征。
　　歐拉發(fā)現(xiàn)，凡是能用一筆畫成的圖形，都有這樣一個(gè)特點(diǎn)：每當(dāng)你用筆畫一條線進(jìn)入中間的一個(gè)點(diǎn)時(shí)，你還必須畫一條線離開這個(gè)點(diǎn)。否則，整個(gè)圖形就不可能用一筆畫出。也就是說，單獨(dú)考察圖中的任何一個(gè)點(diǎn)（除起點(diǎn)和終點(diǎn)外），它都應(yīng)該與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，那么，連這個(gè)點(diǎn)也應(yīng)該與偶數(shù)條線相連。
　　在七橋問題的幾何圖中，B、C、D三點(diǎn)分別與3條線相連，A點(diǎn)與5條線相連。連線都是奇數(shù)條。因此，歐拉斷定：一筆畫出這個(gè)圖形是不可能的。也就是說，不重復(fù)地通過7座橋的路線是根本不存在的！
　　歐拉通過對(duì)七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到并證明了如下有關(guān)一筆畫的三條結(jié)論：
　　（1）凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。
　　（2）凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)
　?。?）其他情況的圖都不能一筆畫出。
　　歐拉把它們歸納為：如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是連通的并且奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則，它不可以一筆畫出。
　　這就是數(shù)學(xué)上著名的歐拉定理，運(yùn)用它就可以很方便地判斷一個(gè)圖形是否可以一筆畫出。例如，在圖3中，①②③④⑥是連通網(wǎng)絡(luò)，②和③沒有奇點(diǎn)，①和⑥只有2個(gè)奇點(diǎn)，它們都可以一筆畫出；④有4個(gè)奇點(diǎn)，不能一筆畫出；⑤是不連通網(wǎng)絡(luò)，也不能一筆畫出（盡管它的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0）。
　　由于歐拉研究一筆畫問題的貢獻(xiàn)，一筆畫問題又叫歐拉通路問題，它的應(yīng)用非常廣泛。例如，郵電通路問題就是一個(gè)典型應(yīng)用。歐拉在研究這類問題時(shí)，認(rèn)為這是一門新的幾何學(xué)分支，他稱之為“位置幾何學(xué)”。后來，這門數(shù)學(xué)分支被正式命名為“拓?fù)鋵W(xué)”。歐拉對(duì)七橋問題的研究，是拓?fù)鋵W(xué)研究的先聲。到19世紀(jì)的最后幾年里，法國數(shù)學(xué)家龐加萊開始系統(tǒng)地研究拓?fù)鋵W(xué)，正式奠定了這門數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。
　　現(xiàn)在，拓?fù)鋵W(xué)已成為豐富多彩的一門數(shù)學(xué)分支。
　?。ㄘ?zé)編藍(lán)天）