構(gòu)造法在三角函數(shù)式證明中的應(yīng)用

　　摘要：本文主要討論了利用構(gòu)造法把所求的三角函數(shù)相關(guān)問題與某個熟知的公式、定理、圖形等聯(lián)系起來，構(gòu)造出一個與原問題有關(guān)的函數(shù)、方程、命題與圖形等數(shù)學(xué)形式，利用代數(shù)、三角、幾何等數(shù)學(xué)知識的相互滲透來促成問題的轉(zhuǎn)換或產(chǎn)生新的解題方法，以實現(xiàn)問題解決的目的，其中體現(xiàn)了較強的創(chuàng)造性思維特點.
　　關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；函數(shù)；方程；命題；圖形
　　
　　解題時由于某種需要，把題設(shè)條件中元素間的關(guān)系構(gòu)造出來，或者構(gòu)想這種關(guān)系在某個模型上得以實現(xiàn)，或者構(gòu)想出某種關(guān)系或形式，能使問題按照新的觀點、新的角度去審視，從而使問題巧妙地獲得解決的方法，稱之為構(gòu)造法. 構(gòu)造法不僅表現(xiàn)出簡明、精巧、新穎等特點，而且使問題易于解決并具有較強的創(chuàng)造性思維，為此受到廣大師生的充分重視.在各省市歷年的高考試題特別是與函數(shù)有關(guān)的壓軸題中，?？梢姌?gòu)造法的蹤影. 本文從函數(shù)、方程、命題和圖形等角度，展示構(gòu)造法在三角函數(shù)式證明中的應(yīng)用.
　　
　　構(gòu)造函數(shù)法
　　構(gòu)造函數(shù)法是以題設(shè)條件為對象，構(gòu)想、組合出一種新的函數(shù)關(guān)系、多項式等具體形式，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與極值等性質(zhì)，使問題實現(xiàn)轉(zhuǎn)化而獲得解決的一種思想方法.
　　例1已知α，β是銳角，求證+>.
　　思路分析：欲證不等式中都含有形如“”的代數(shù)式，如果把“W”看成變化的數(shù)，則可構(gòu)造函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞）.
　　證明：設(shè)函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞），易知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù). 由α，β是銳角，得sinα+sinβ>sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β），即sinα+sinβ>sin（α+β）>0. 于是>，而由=+易得+>>，問題得證.
　　
　　構(gòu)造方程法
　　從形式或數(shù)量關(guān)系等角度，觀察、分析題設(shè)條件或欲證結(jié)論的特點，必要時可作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，以構(gòu)造出一元二次方程，再運用方程理論或解方程思想使原問題得到解決，這種思想方法稱作構(gòu)造方程法.
　　例2已知α≠kπ（k∈Z），求證（sin2α+csc2α）（cos2α+sec2α）≥.
　　思路分析：待證結(jié)論的左邊是一個同角三角函數(shù)的代數(shù)式，其正、余弦之間存在某些方便利用的性質(zhì)，如sin2α+cos2α=1，sin4α+cos4α≤1，sin2αcos2α≤等等. 如果再以“數(shù)的眼光看式子”，左邊本質(zhì)上是一個“數(shù)”，確切地說是一個不小于的數(shù)，故直接設(shè)左邊為m，方程就構(gòu)造出來了.
　　略證：設(shè)（sin2α+csc2α）（cos2α+sec2α）=m. 令t=sin2αcos2α，則易知t≤. 化簡得關(guān)于t的一元二次方程t2－（m+2）t+2=0，解得t=.由t≤，得≤，解得m≥，所以（sin2α+csc2α）（cos2α+sec2α）≥.
　　
　　構(gòu)造命題法
　　構(gòu)造命題法是指當(dāng)命題直接證明有困難時，可以考慮構(gòu)造等價命題、輔助命題、引理，或者是更一般的命題，從而使問題得到解決的一種思想方法. 但應(yīng)注意構(gòu)造的新命題應(yīng)是已經(jīng)被解決了的或比原命題更容易解決的問題.
　　例3對任意正整數(shù)n，求證命題A：C－3C+32C－33C+…=sin成立.
　　思路分析：命題A的左邊在形式上似曾相識，是某個二項式的展開式，或者是展開式中的某個部分，而正數(shù)項與負(fù)數(shù)項交替出現(xiàn)，且右邊是一個與n有關(guān)的三角函數(shù)式，所以構(gòu)想左邊是某個復(fù)數(shù)的二項式展開.因為左邊可化為C－C（）2+C（）4－C（）6+…，考慮乘以，恰恰右邊就有，于是找到等價的命題B，…
　　略證：構(gòu)造命題A的等價命題B：（C－3C+32C－33C+…）=2nsin，再構(gòu)造等價命題C：C－C（）3+C（）5－C（）7+…=2nsin.
　　由二項式定理得（1+i）n=1+Ci+C（i）2+C（i）3+…+C（i）n-1+（i）n，再由棣莫弗定理得（1+i）n=2ncos+isin，比較虛部得命題C成立，從而命題A得證.
　　
　　構(gòu)造圖形法
　　用數(shù)形結(jié)合思想去分析題設(shè)條件中的數(shù)量關(guān)系，找出數(shù)量關(guān)系所蘊涵的幾何意義，以某種方式構(gòu)想出幾何圖形，從而轉(zhuǎn)化為利用圖形的幾何性質(zhì)去解決原問題，這樣的思想方法稱作構(gòu)造圖形法.
　　例4已知a>b>0，求證a2（cosα－cosβ）2+b2（sinα－sinβ）2≤4a2.
　　思路分析：觀察欲證不等式的左邊，如果將a，b分別放進括號中，從幾何意義來看，問題將轉(zhuǎn)化為兩點間的距離表示.
　　略明：設(shè)點A（acosα，bsinα），B（acosβ，bsinβ），由兩點間距離公式知欲證不等式的左邊就是AB2. 繼續(xù)觀察知A，B都是橢圓+=1上的點，則弦AB的長應(yīng)不大于長軸長，即AB≤2a， 所以兩邊平方即有a2（cosα－cosβ）2+b2?（sinα－sinβ）2≤4a2.
　　例5若0<α<β<，求證>.
　　思路分析：由于α，β都是銳角，且欲證不等式的左邊是兩個弧度角的比，而右邊是兩個正弦值的比，要實現(xiàn)弧度角與正弦值的轉(zhuǎn)換，容易聯(lián)想起單位圓.因為角α，β的終邊都在第一象限，通過單位圓可將角及正弦的比統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為面積之比，從而獲得解題思路.
　　證明：構(gòu)造單位圓的第一象限部分，角α，β的始邊放在x軸的正向.設(shè)角α，β的終邊分別交單位圓于A，B，延長AB交x軸于C. AE，BF分別垂直x軸，且交x軸于E，F(xiàn)兩點，作BD⊥AE于D，OG⊥AB于G.
　　由=，S扇形OBM1.易知△ABD～△BCF，即有=，而在單位圓中=>，==，所以>，即>.
　　用構(gòu)造法解題的妙處在于不是直接去解決原問題，而是把所求問題與某個熟知的概念、公式、定理、圖形等聯(lián)系起來，構(gòu)造出一個與原問題有關(guān)的函數(shù)、方程、關(guān)系式、命題、模型與圖形等，利用代數(shù)、三角、幾何等數(shù)學(xué)知識的相互滲透去促成原問題的轉(zhuǎn)化或產(chǎn)生新的解題方法，從而問題得以解決.