例談高中數(shù)學(xué)“換個(gè)角度”解題策略

　　摘要：在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，換個(gè)角度思考問題是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一. 本文著重從局部與整體、抽象與具體、特殊與一般的互相轉(zhuǎn)化討論了換角度思考問題帶來的便捷，通過訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生換角度思考問題的能力，提高學(xué)生的解題能力和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性思維.
　　關(guān)鍵詞：思想方法；解題策略
　　
　　在高中數(shù)學(xué)中，對(duì)于有些問題，我們應(yīng)提倡學(xué)生換個(gè)角度思考，學(xué)生通過不同角度的思考所獲得的成功既可以使學(xué)生觸類旁通，激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情，又能增強(qiáng)其自信與成就感. 在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)思想方法的精巧構(gòu)思、奇異變換，無不給學(xué)生以美的陶冶. 筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就在解題方面對(duì)換個(gè)角度思考問題的類型進(jìn)行了簡單的歸納、探索和整理，讓大家一起體驗(yàn)換個(gè)角度思考問題的妙處所在.
　　
　　把握局部與整體
　　1. 從整體退到局部
　　有些問題，如果從整體上不便解決，可先研究其局部，局部問題的解決常常能促使問題整體得以解決.
　　例1試判斷函數(shù)f（x）=ln（+x）的單調(diào)性．
　　分析：此函數(shù)的定義域?yàn)镽，直接用定義判斷f（x）在R上的單調(diào)性有一定的難度，注意到f（x）為奇函數(shù)，它在（-∞，0）和［0，+∞］上的單調(diào)性相同，就可以把判斷f（x）在R上的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為判斷f（x）在［0，+∞］上的單調(diào)性，再用定義判斷就簡單多了.
　　2. 從局部退到整體
　　對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題，我們可以不需要對(duì)條件與結(jié)論進(jìn)行分解，也不需設(shè)立“中途點(diǎn)”去逐步逼近，而是全面地、整體地考慮問題，注意問題的整體結(jié)構(gòu)，擺脫局部細(xì)節(jié)一時(shí)難以弄清的數(shù)量關(guān)系的困擾，整體把握，使問題簡潔明快得以解決.
　　例2求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)：
　?。?）z+是實(shí)數(shù)；
　?。?）1　?。?）z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)．
　　分析本題如按常規(guī)方法求解，難度較大，若采用整體考慮的策略，可把z+當(dāng)作一個(gè)整體而令z+=m，則得z2－mz+10=0. （*）
　　由（1）（2）知m∈R且1　　
　　抽象與具體
　　數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特點(diǎn)是高度的抽象，有時(shí)問題比較抽象， 不易發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的聯(lián)系和規(guī)律，要解決此類數(shù)學(xué)題，往往要換個(gè)角度思考，看能否將問題具體化來解決.
　　例3設(shè)任意實(shí)數(shù)x，y滿足x<1，y<1，求證+≥．
　　分析：本題從形式上、內(nèi)容上看屬于不等式問題，一般采用算術(shù)平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)來證，但它們的數(shù)量關(guān)系比較抽象，直接證明比較煩瑣，若能捕捉到待證式的具體意義，即能聯(lián)想到無窮遞縮等比數(shù)列｛a1qn｝的求和公式 a1+a1q+a1q2+…a1qn+…=，利用它來解決，則快捷、迅速.
　　由 x<1，y<1，知x2<1，y2<1，故?搖?搖?搖
　　+=（1+x2+x4+x6+…）+（1+y2+y4+y6+…）=2+（x2+y2）+（x4+y4）+（x6+y6）+…≥2+2xy+2x2y2+2x3y3+…=.
　　
　　特殊與一般
　　特殊與一般是對(duì)立的統(tǒng)一，在人類的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，常通過特殊去探索一般，從一般去研究特殊，特殊與一般在科學(xué)研究中有著重要的地位和作用，是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的兩種重要方法.
　　1. 從一般退到特殊
　　有的數(shù)學(xué)問題所要求的結(jié)論在一般情況下不容易推出，但在特殊情況下反倒易處理，我們應(yīng)注意到有些問題的普遍性寓于特殊性之中，換個(gè)角度考慮，把待解決的問題化歸為某個(gè)特殊問題，再把解決特殊情況的方法或結(jié)論應(yīng)用到或推廣到一般問題上去.
　　例4已知f（θ）=sin2θ+sin（θ+α）+sin（θ+β），其中α，β是滿足0≤α≤β≤π的常數(shù)，試問 α，β為何值時(shí)，f（θ）與θ無關(guān)？
　　分析：根據(jù)題設(shè)條件知，對(duì)于所有不同的θ，f（θ）恒為定值.因此，用θ的特殊值代入已知函數(shù)，考慮θ的幾個(gè)特殊值θ=0，－α，－β，，使f（θ）的表達(dá)式變得較為簡單，由f（0）=f（－α）=f（－β）=f，可求得α，β的值.
　　由于特殊圖形比較簡單，并且它的解決往往孕育一般圖形的解決，特別是在某一定范圍有唯一確定的答案的幾何計(jì)算題，直接利用特殊對(duì)象（如特圖、特值等）去探索、研究一般數(shù)學(xué)問題也是一種重要的解法.
　　例5路燈距離地面8 m，一個(gè)身高1．6 m的人沿穿過路燈的直路以84 m/min的速度行走，問人影的變化率是多少？
　　
　　圖1
　　分析：如圖1，采用特殊值位置法，根據(jù)答案是一具體數(shù)值，可取從路燈正下方行走1分鐘，設(shè)人影長度為x m，故由三角形相似知=，從而解得x值.
　　2. 從特殊退到一般
　　由于特殊情況往往涉及過多無關(guān)宗旨的枝節(jié)，掩蓋了問題的關(guān)鍵，而“一般”概括了“特殊”，一般情況更能明確地表達(dá)問題的本質(zhì)，易于解決. 因此，置待解決的問題于更為普遍的情況之中，通過對(duì)一般情形的研究去處理特殊的情形，這樣的思考方法同樣也是可行和必要的.
　　例6證明不等式loga（a+b）>loga+c（a+b+c）（a>1，b，c>0）．
　　分析：我們發(fā)現(xiàn)不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)完全相同，差別僅在于右邊對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)比左邊的多一個(gè)c，因此，考慮這樣的一個(gè)函數(shù) f（x）=logx（x+b），x∈（1，+∞），這樣待證不等式就為f（a）>f（a+c），由c>0，故a　　總之，數(shù)學(xué)是高中學(xué)生的一門重要課程，解題能力是數(shù)學(xué)能力的重要表現(xiàn)形式.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，我們要結(jié)合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，重視解題方法的引領(lǐng)，經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生換個(gè)角度去思考、去解決問題. 這樣學(xué)生的解題思路就會(huì)更加開闊，學(xué)生的解題能力也會(huì)逐步提高.