凸顯審題功能 架通因果橋梁

　　摘要：立體幾何的學(xué)習(xí)對部分學(xué)生來說是個難點，尤其是解答題，學(xué)生往往找不著入口，顯得束手無策． 作為教師，怎樣教會學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何呢？毫無疑問，審題是關(guān)鍵. 本文結(jié)合教學(xué)實際，詳細分析了審題的步驟和方法，通過例題展示審題的路徑和方向．
　　關(guān)鍵詞：立體幾何；審題
　　
　　立體幾何由于抽象、邏輯性強，不少學(xué)生覺得它難學(xué)，不易掌握，有的學(xué)生甚至產(chǎn)生恐懼感，尤其對解答題更是望而卻步，無從下手． 其實不必害怕，只要教師教會學(xué)生抓住正確的解題策略，把握好審題關(guān)，問題就不難解決．審題是解決問題的關(guān)鍵，審題需要有明確的思維步驟，教師要教會學(xué)生有順序地做好以下幾項工作．
　?。?）首先，仔細審查題目的已知條件，從已知條件中查找信息，并對信息進行簡單分類，如是角還是線，是垂直還是平行等. 努力從這些信息中拓展推出另外的信息，把已知信息和拓展信息一一記在腦子里．
　　（2）其次，審查題目結(jié)論，看看要解決的問題是什么，要解決它需要哪些條件，有哪些途徑與手段． 想到的途徑越多越好，必要時一一記錄．
　?。?）再次，審查所需要的條件在不在已獲得的信息中，若在，問題即得到了解決；若不在，則考查已知信息中哪些信息與所要條件接近，與所要條件之間有多大差距，它們能聯(lián)系上嗎？已知信息還能有怎樣的拓展，怎樣的轉(zhuǎn)化呢？注意留意在證題過程中所得到的新的信息，這對證明第二問、第三問或許是有用的．
　?。?）解題結(jié)束后還要“回頭看”，即最后審題，這次審題主要是回頭看一看已知條件有沒有用到位、是否有疏漏、是否規(guī)范等等．
　　一般地，在較簡單的解答題中，解決問題所需要的條件可以在已獲得的信息中找到，但對于較復(fù)雜的問題，往往需要對已獲得的信息進行轉(zhuǎn)化，或?qū)π畔⑦M行整合，從而獲得更多的信息． 顯然獲得的信息越多越好，問題解決的途徑越多越好，這樣連結(jié)點就可能多一些，解決問題的方法也就可能多一些．
　　例題如圖1，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABCD，AB1=BB1，AN=3NB，M是B1C的中點，E是AB的中點，F(xiàn)是EC的中點，AB=4，MN=，側(cè)棱與底面ABCD成45°角．
　?。?）求證：MF⊥底面ABCD；
　?。?）求二面角M－AB－C的大??；
　?。?）求MN與平面B1CE所成角的大?。?br/>　　
　　圖1
　　解題分析：這個題目剛拿到手時，學(xué)生感到已知條件很多，要證明的結(jié)論也很多，一時間不知該如何下手．事實上只要仔細審題，就會有很多發(fā)現(xiàn)，問題將不難解決．
　　審題1：從題目的已知條件出發(fā)，整合轉(zhuǎn)化信息.
　　（1）由ABCD－A1B1C1D1為平行六面體，可得出各個面為平行四邊形，其中有很多對平行線．
　?。?）底面ABCD為矩形，說明內(nèi)角為90°，有線線垂直關(guān)系，如AB⊥BC等．
　?。?）由面ABB1A1⊥底面ABCD可想到：①過一平面內(nèi)一點作交線的垂線，垂直于另一個平面；②過第一平面內(nèi)一點作另一個面的垂線，則該垂線在第一個平面內(nèi)． 其中還可以繼續(xù)鏈接：垂線垂直于平面，則這條垂線就垂直于平面內(nèi)的所有直線，反過來這個平面內(nèi)的所有直線包括以后作出的輔助直線都垂直于這條直線．
　?。?）由AB1=BB1想到△AB1B為等腰三角形，進而得到等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，即B1E⊥AB，這些經(jīng)常被使用，易產(chǎn)生線線垂直．
　?。?）由AN=3NB，暫時看不出有什么用處．
　　（6）由M是B1C的中點，E是AB的中點，F(xiàn)是EC的中點，最容易想到中位線，繼而得出線線平行，即MF∥B1E． 另外，還往往會聯(lián)想到取其他邊的中點，得出更多的中位線．
　?。?）AB=4，MN=，可能是為求角所用．
　　（8）側(cè)棱與底面ABCD成45°角，即BB1與底面所成角為45°，往往可轉(zhuǎn)化成線線角，可轉(zhuǎn)化哪個角呢？根據(jù)線面角定義，易知是∠ABB1，即∠ABB1=45°．
　　以上就是審題所獲得的信息，還有很多的信息可能隱含在以上信息中或由以上信息整合后才看得出，需用哪些，看結(jié)論是否需要再定．
　　審題2：從題目的結(jié)論出發(fā)，分析證題途徑，結(jié)合已知條件，建立連結(jié)點．
　?。?）要證MF⊥底面ABCD，途徑有：①定義，一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，從而線面垂直；②判定定理，一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，得出線面垂直；③兩條平行線中的一條線與一個平面垂直，則另一條線也和這個平面垂直；④一條直線垂直于兩個平行平面內(nèi)的一個，也和另一個平面垂直. 其中，②最常用，③次之．
　　結(jié)合本題已獲得的信息：MF∥B1E，那么B1E⊥平面ABCD嗎？尋找信息：我們知道B1E⊥AB，而平面ABB1⊥平面ABCD，容易得出B1E⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD，得出了結(jié)論．
　?。?）求二面角的方法是“一作，二證，三求”，作二面角平面角的途徑有：
　　 ①利用定義作出二面角的平面角．②利用三垂線定理作出二面角的平面角（這一條最常用，尤其是在已知有線面垂直的情況下）． ③利用cosθ=．
　　結(jié)合本題所得的信息，MF⊥平面ABCD，又FN∥BC，BC⊥AB，所以FN⊥AB. 連結(jié)MN，由三垂線定理（MN⊥AB）可得∠MNF即為二面角的平面角．在Rt△MFN中，MF=BE=1，MN=，易求得∠MNF=45°，即為所求．
　?。?）求線面角的途徑是：找出線面角，需在直角三角形中求解，從而需要有斜線在這個平面上的射影得出線面角；要找出斜線的射影，需要在斜線上找一個點，最好是特殊的點，過該點作平面的垂線即可． 結(jié)合已有的信息“MF⊥平面ABCD”，所以MF垂直于平面ABCD內(nèi)的所有直線． 若過點N在面ABCD內(nèi)作NG⊥EC，則NG⊥MF，從而得NG⊥平面B1EC，只需在Rt△MGN中求解即可．
　　經(jīng)過上述分析，本題就較為輕松地解決了，基礎(chǔ)不好的學(xué)生對獲得的信息要一一記錄，而基礎(chǔ)較好的學(xué)生只需在頭腦中反復(fù)醞釀即可． 如果遇到在解題過程中被卡住的情形時，建議再次審題，檢查是否從已知條件中漏掉某些信息． 因此，在平時教學(xué)中筆者常建議教師們要教會學(xué)生如何審題，如何挖掘題目中的隱蔽信息．
　　最后，還要重新審題，這一次的審題與前面的審題有所不同，本次主要是看看已知條件、求解過程與求解結(jié)果是否完整統(tǒng)一，是否有疏漏偏差，對整個題目的思維過程又進行一次“過濾”，從而加深對整個題目的印象．
　　總之，學(xué)習(xí)立體幾何不能急躁，要求學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上把好審題關(guān)． 審題的關(guān)鍵是教師要教會學(xué)生把已知條件連成線、串成串，同時更要注重培養(yǎng)學(xué)生對已知條件進行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，從而產(chǎn)生新的更接近結(jié)果的已知條件，也就是要對學(xué)生的思維進行更深層次的培養(yǎng)與訓(xùn)練． 從結(jié)論入手要思考解決它所需要的條件，教會學(xué)生如何分析問題，如何把握問題的結(jié)合點等技巧． 解后回顧是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性和嚴密性，使審題過程更加完善． 相信經(jīng)過這樣多次訓(xùn)練，學(xué)生的邏輯思維、推理能力將會得到提高，思路將越來越開闊，立體幾何題也就不難解決了．