如何在解題后引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律

　　摘要：解題后反思解題規(guī)律，有利于總結(jié)解題經(jīng)驗、積累解題方法，從而較快地摸索解題線索，提高解題能力. 本文結(jié)合一個教學(xué)案例，提出了解題后引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律的五個教學(xué)步驟.
　　關(guān)鍵詞：解題后反思；數(shù)學(xué)題型；解題規(guī)律；思維規(guī)律
　　
　　著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧與反思.” 可見波利亞非常重視解題后反思的過程. 數(shù)學(xué)解題后的反思包括反思錯解及其原因、反思思維過程、反思解題規(guī)律、反思一題多解等等.本文就解題后反思解題規(guī)律這一方面進(jìn)行研究.
　　許多數(shù)學(xué)題，具有相同的結(jié)構(gòu)形式，它們的解答形式雖然不相同，但解題思路卻有一定的規(guī)律. 所以解題后引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行歸類，對這類題型的解題規(guī)律進(jìn)行分析歸納，可使學(xué)生從題海中解脫出來，提高分析歸納解題規(guī)律的能力，也有利于總結(jié)解題經(jīng)驗、積累解題方法，從而較快地摸索解題的線索，提高解題能力. 那么解題后如何引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律呢？可分為下面五個步驟進(jìn)行.
　　
　　引導(dǎo)學(xué)生反思題目涉及的主要知識點(diǎn)，總結(jié)題型
　　數(shù)學(xué)題型往往是和知識點(diǎn)聯(lián)系在一起的，所以要總結(jié)題型，應(yīng)先挖掘出題目所涉及的知識點(diǎn). 一道題通常包含大量的信息，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去粗取精，理清題干，提煉出關(guān)鍵的解題信息（比如找出已知條件、主要數(shù)學(xué)概念、要求解的目標(biāo)或求證的結(jié)論）. 這些信息經(jīng)過整理，用數(shù)學(xué)語言描述出來后就是題目涉及的主要知識點(diǎn).最后在這些知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合題干和解題目標(biāo)，就容易總結(jié)出該類題型.
　　例1如圖1所示，在棱長為a正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，求AE，BF所成角的大小.
　　
　　圖1
　　解析連結(jié)C1E，C1A，因為E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，則有EC1∥BF，
　　所以∠AEC1是異面直線AE，BF所成的角.
　　因為AE=EC1=a，AC1=a，所以cos∠AEC1==1-=-，從而AE，BF所成的角為arccos.
　　分析解答完該題后，教師通過一系列的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生一步步反思知識點(diǎn)和總結(jié)題型（下同）.
　　教師：解答完這道題，現(xiàn)在讓我們來回顧一下本題主要涉及哪些數(shù)學(xué)概念？
　　學(xué)生：正方體，中點(diǎn)，兩直線所成的角度.
　　教師：同學(xué)們回答得很全面，其中兩直線是異面直線，因此異面直線所成的角是本題的核心概念.本題的已知條件是什么？解題目標(biāo)是什么？
　　學(xué)生：已知條件包含正方體棱長，兩個中點(diǎn)，AE，BF分別在兩個面上；解題目標(biāo)是求AE，BF所成的角.
　　教師：所以從已知條件和解題目標(biāo)可以看出，本題涉及的主要知識點(diǎn)有正方體的性質(zhì)、余弦定理、異面直線所成的角. 本題題型為求兩條異面直線所成的角.
　　應(yīng)用“文章”分段法，引導(dǎo)學(xué)生反思該題型的解題步驟
　　日常教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，熟悉解題步驟的學(xué)生，答題的時候明顯更加自信，而且解題所用時間較短，所以反思某個題型的具體解題步驟是有必要的. 總結(jié)題型后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧一下解題過程，把它看成是一篇“文章”，然后對該“文章”劃分段落. 用數(shù)學(xué)語言描述出各段落的大意，這就形成該題關(guān)鍵的幾個解題步驟.結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生反思解題步驟.
　　教師：本“文章”可分為幾段？各段分別是從哪里到哪里？
　　學(xué)生：分成三段，第一段從開頭到“連結(jié)C1E，C1A”；第二段到“∠AEC1是異面直線AE，BF所成的角”； 第三段到結(jié)束.
　　教師：各段的段落大意如何？
　　學(xué)生：第一段說的是過一點(diǎn)作平行線，作出一個角；第二段說的是證明上面作出的角是所求異面直線所成的角；第三段說的是把角置于三角形中，通過已知條件和解三角形的知識求出角.
　　教師：很好，以上三段的段落大意就是本題型的三個解題步驟.
　　
　　引導(dǎo)學(xué)生反思該題型的解題思維規(guī)律
　　解題思維規(guī)律是解題規(guī)律中最重要的組成部分，掌握了它就能迅速摸索到解題線索，從而擬定具體解題步驟. 我們可以把解題思維規(guī)律看成是一篇文章的中心思想，它是各段段落大意和寫作意圖的高度概括. 所以結(jié)合各解題步驟及其意圖，經(jīng)過概括、簡化，就能形成解題思維規(guī)律. 結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生.
　　教師：我們知道本題分三個步驟，第一個步驟的意圖是什么？
　　學(xué)生：選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，通過平移直線后，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.
　　教師：接下來的兩個步驟的意圖各是什么？
　　學(xué)生：第二個步驟意圖是要確定所求的角；第三個步驟意圖是在平面內(nèi)，聯(lián)系已知條件，算出答案.
　　教師：我們把這三個目的整理一下便可以得到如下解題規(guī)律：欲求兩條異面直線所成的角，關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，通過平移一條直線（或兩條直線）后，轉(zhuǎn)化為平面問題，最后在平面內(nèi)把該角求出.
　　
　　引導(dǎo)學(xué)生反思該題型中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用
　　數(shù)學(xué)思想方法是關(guān)于怎樣進(jìn)行認(rèn)知活動的知識，是數(shù)學(xué)解題規(guī)律在更高層次上的抽象和概括. 解題之后對涉及的數(shù)學(xué)思想方法及時提煉，可以構(gòu)建學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)，深化學(xué)生的理性認(rèn)識，提高學(xué)生的思維水平. 這個步驟一定要及時，要抓住最佳時機(jī)，一旦錯過，教學(xué)效果會大打折扣. 在教學(xué)中，教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生對該題型的思維規(guī)律進(jìn)行深層次的概括和提煉，然后體會該數(shù)學(xué)思想方法在本題中的作用. 結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo).
　　教師：請回顧一下本題的思維規(guī)律，你認(rèn)為最核心的是哪個詞？
　　學(xué)生：平移.
　　教師：平移的目的是將三維空間中抽象的角轉(zhuǎn)化為平面問題來解決. 所以最核心的詞是哪個？
　　學(xué)生：轉(zhuǎn)化.
　　教師：對了，就是轉(zhuǎn)化法. 所謂轉(zhuǎn)化法，就是通過把問題適當(dāng)?shù)刈兏?，進(jìn)行難易或繁簡的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到最終解決問題的目的，它是一種常用的好方法. 在本題中，它的作用如何體現(xiàn)呢？
　　學(xué)生：使得求角變得簡單.
　　教師：分析得不夠全面. 在三維空間中，要直接用公式計算兩異面直線所成的角，以我們現(xiàn)在所學(xué)知識很難解決.在平面上，我們已經(jīng)掌握了一些求角的經(jīng)驗，解決起來相對容易. 這樣把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，使得本題由難變易.
　　
　　引導(dǎo)學(xué)生反思題目的變式和拓展，以鞏固對解題規(guī)律的掌握
　　變式和拓展就是針對題目的條件進(jìn)行變換，或是對原題的所求內(nèi)容進(jìn)行拓寬與引申，設(shè)計出新題并進(jìn)行求解. 這樣有助于學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的相互關(guān)聯(lián)，能夠讓學(xué)生對數(shù)學(xué)解題規(guī)律的運(yùn)用達(dá)到“學(xué)一知二、舉一反三”的好效果. 結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo)反思題目的變式和拓展.
　　變式1：在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，求AE和BC所成的角.
　　變式2：在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，求BF和A1D1所成的角.
　　以上兩個變式是對解題目標(biāo)進(jìn)行表面變換，實(shí)質(zhì)未變.
　　拓展：在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，求AE和CF所成角的大小.
　　拓展題目的解題背景和條件變換了，但求解的實(shí)質(zhì)還是求兩條異面直線所成的角.
　　常言道：“好記性不如爛筆頭.” 教師在引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律的時候，通常只是口頭闡述，導(dǎo)致學(xué)生來不及作筆記.所以教師要有適當(dāng)?shù)陌鍟?，要留適當(dāng)?shù)臅r間給學(xué)生做好簡單筆記，這樣有利于學(xué)生形成反思習(xí)慣，提高復(fù)習(xí)效率. 總之，把以上5個步驟切實(shí)運(yùn)用于課堂教學(xué)中，可以大大提高學(xué)生解題后反思的興趣，培養(yǎng)科學(xué)的反思習(xí)慣，提高解決問題的能力.