創(chuàng)建高效課堂背景下《橢圓的幾何性質(zhì)(一)》課例設計

　　摘要：本文對人教版選修2—1第二章第二節(jié)的內(nèi)容《橢圓的幾何性質(zhì)（一）》進行了教學設計，強調(diào)以生為本的理念，在教師的適當引導和學生的合作探究下，實現(xiàn)高效課堂的創(chuàng)建.
　　關鍵詞：橢圓；方程；幾何性質(zhì)；離心率
　　
　　課例設計背景
　　高效課堂，是高效型課堂或高效性課堂的簡稱，顧名思義，是指教育教學效率或效果能夠達到相當高的目標的課堂，具體而言是指在有效課堂的基礎上、完成教學任務和達成教學目標的效率較高、效果較好并且取得教育教學的較高影響力和社會效益的課堂. 高效課堂是有效課堂的最高境界，高效課堂基于高效教學. 本堂課是為探索高效課堂教學，構(gòu)建和諧高效的課堂教學模式的校級“高效課堂”教學研討課.采取“15+15+15”模式，即教師講授時間不超過15分鐘，學生練習時間不少于15分鐘，學生思考、發(fā)言時間不少于15分鐘.“問題是數(shù)學的心臟”，教學活動采用“問題探究式”的教學方式進行，通過把知識轉(zhuǎn)化成問題，引導學生分組討論，合作探究，教學中穿學練結(jié)合，同時滲透數(shù)形結(jié)合；學生則采用自主探究、合作交流的“研討式”學習方式，參與問題的分組討論等方式，參與問題的發(fā)現(xiàn)、解決過程，體驗知識的形成過程，從而達到掌握知識、提高能力的目的.
　　《橢圓的幾何性質(zhì)（一）》是人教版選修2—1第二章第二節(jié)的內(nèi)容，它是在學完橢圓的標準方程的基礎上，通過研究橢圓的標準方程來探究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是本單元的重點內(nèi)容之一. 利用曲線方程研究曲線的性質(zhì)，是解析幾何的主要任務. 通過本節(jié)課的學習，既要讓學生了解橢圓的幾何性質(zhì)，又要讓學生初步體會利用曲線方程來研究其性質(zhì)的過程，同時也為下一步學習雙曲線和拋物線的性質(zhì)做好鋪墊. 基于上述考慮，筆者制定了以下內(nèi)容.
　　教學重點：橢圓的幾何性質(zhì)及其應用.
　　教學難點：如何通過橢圓方程研究其性質(zhì).
　　教學目標：
　　1. 知識目標：掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì).
　　2. 能力目標：能夠運用橢圓的幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題，初步感受運用曲線方程研究曲線性質(zhì)的方法，進一步領會數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學生自主學習、合作探究、類比猜想的能力.
　　3. 情感目標：通過實例激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.
　　
　　教學過程
　　1. 知識回顧
　?。?）橢圓的定義
　　平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)（大于F1F2）的動點的軌跡叫做橢圓.
　　定義的數(shù)學表達式為：PF1+PF2=2a（2a>F1F2=2c）.
　?。?）橢圓的標準方程
　　當焦點在x軸上時，方程為：+=1（a>b>0）；?搖
　　當焦點在y軸上時，方程為：+=1（a>b>0）.?搖
　?。?）橢圓方程中a，b，c的關系：a2=b2+c2.
　　教學活動安排和設計意圖：此節(jié)安排學生口答，復習鞏固知識點.
　　2. 新知構(gòu)建
　　探究方案制訂：以焦點在x軸上的橢圓為例+=1（a>b>0）.
　?。?）橢圓的頂點
　　教學活動安排和設計意圖：先觀察圖象，再從方程出發(fā)，研究橢圓與坐標軸的交點. 引導學生獨立運用方程研究曲線的性質(zhì)并提高學生的自學能力.
　　
　　圖1
　　頂點坐標：（-a，0），（a，0），（0，-b），（0，b）.
　　長軸、短軸：線段A1A2——長軸；線段B1B2——短軸；a——長半軸長；b——短半軸長.
　?。?）橢圓的范圍
　　教師：設P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上的任一點，則x，y能否取任意值？
　　學生活動，從形和數(shù)兩個角度得出結(jié)論.
　　形：橢圓落在x=±a，?搖y=±b圍成的矩形中.
　　數(shù)：變量取值范圍是－a≤x≤a，－b≤y≤b.
　　（3）橢圓的對稱性
　　教師提問：橢圓+=1（a>b>0）有何對稱性？如何根據(jù)曲線方程判斷出曲線的對稱性？
　　學生討論：
　　從圖形上看，橢圓關于x軸、y軸、原點對稱.
　　從方程上看：
　?。?）把x換成-x，方程不變，圖象關于y軸對稱；
　?。?）把y換成-y，方程不變，圖象關于x軸對稱；
　?。?）把x換成-x，同時把y換成-y，方程不變，圖象關于原點中心對稱.
　　教學活動安排和設計意圖：體會運用方程研究曲線性質(zhì)的方法，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想以及知識的遷移能力.
　?。?）橢圓的離心率
　　圓的形狀是相似的，而橢圓的形狀是否相似？如何刻畫它的“扁”的程度呢？
　　操作探究：教師通過多媒體展示橢圓保持a不變、改變c的扁平變化動畫過程，探究橢圓的c與a的變化是如何反映橢圓的圓、扁程度的.?搖
　　離心率：橢圓的焦距與長軸長的比，即e=.
　　學生討論得出如下結(jié)論：
　?。?）離心率的取值范圍：0　　（2）離心率對橢圓形狀的影響：
　　e越接近1，橢圓就越扁；
　　e越接近0，橢圓就越圓.
　?。?）e與a，b的關系: e===.
　　練習：判斷下列哪一個橢圓更接近圓？
　?。?）+=1；
　?。?）+=1.
　　教師總結(jié)：計算e可先算e2；離心率對橢圓形狀的影響的形象記憶法：?搖
　　1（長又扁）← 離心率 → 0（圓又圓）.
　　教學活動安排和設計意圖：學練結(jié)合，及時鞏固.
　　
　　應用練習
　　1. 短平快
　　性質(zhì)篇：
　　1． 口答練習:已知橢圓方程為+=1，它的長軸長是________；短軸長是________；焦距是________；離心率等于________；焦點坐標是________；頂點坐標是________.
　　學生板演變式：已知橢圓x2+（m+3）?y2=m的離心率e=，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標.
　　教師總結(jié)：先化標準形，差錯全無影！
　　2. 橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標準方程為____________.
　　3. 已知橢圓長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點P（3，0），橢圓的標準方程為________________.
　　離心率篇：
　　4. 若橢圓的兩個焦點及一個短軸端點構(gòu)成正三角形，則其離心率為?搖_________.
　　5. 橢圓的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則其離心率為?搖_________.
　　6. 若橢圓+=1的離心率e=，則k=?搖_________.
　　教學活動安排和設計意圖：2，3學生自主完成，注意避免漏解；4，5學生板演，注意數(shù)形兩種方法，特別是形的方法；6強調(diào)e2的優(yōu)點.
　　2. 準實活應用篇
　?。?）在橢圓+=1上求一點P， 使它與兩焦點的連線互相垂直.
　　變式1：橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為其上的動點. 當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標取值范圍.
　　變式2：F1，?搖F2是橢圓+=1（a>b>0）的焦點，若在橢圓上存在點M滿足MF1⊥MF2，則橢圓離心率的范圍是_________.
　　教學活動安排和設計意圖：本題難度稍大，學生分小組合作探究，師生共同解決，使知識的運用得到升華.
　　
　　歸納總結(jié)
　　知識點：（橢圓的幾何性質(zhì)）取值范圍、頂點、對稱性、離心率.
　　數(shù)學方法：圖象法、待定系數(shù)法.
　　數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論.
　　教學活動安排和設計意圖：結(jié)合具體題目總結(jié)題型及解法，達到梳理思路，對所學知識形成清晰的知識網(wǎng)絡的效果.
　　
　　教學評價
　　本節(jié)課積極引導學生動手操作、動腦思考，讓學生充分的交流、探究，把學習的主動權交給學生，把思維的空間留給學生，把探索的機會留給學生，把體會成功后的快樂送給學生，把課堂的時間還給學生.教師的作用是給學生“指點迷津”、引導學生“重點突破”、刺激學生“深化理解”、幫助學生“能力提升”；把知識的形成過程轉(zhuǎn)化為自學、探索、思考、發(fā)現(xiàn)和運用知識的過程，以學生為主體，以合作探究、學練結(jié)合為手段，以提高能力為目的，讓學生在操作中探索，在探索中領悟，在領悟中理解，體會數(shù)學之美、探究之趣.