返璞歸 真自然而然

　　2010年12月，作為教研員教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，筆者到學(xué)校上課，上課年級是高一，課題是“數(shù)列的概念”。眾所周知，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，教學(xué)設(shè)計(jì)似乎已沒有多少可創(chuàng)新的空間。但是，學(xué)無止境，教亦無止境。在備課的過程中，筆者對幾種版本的新課程教材作了研究對比，對新課程及其解讀進(jìn)行了再學(xué)習(xí)，并引發(fā)了一些思考。筆者嘗試使教學(xué)設(shè)計(jì)回歸自然，追求課堂教學(xué)過程中的和諧平穩(wěn)，力求避免一些人為雕琢的痕跡。這里，筆者就教學(xué)設(shè)計(jì)過程中的一些做法思考與廣大同仁交流，請批評指正。至于課堂教學(xué)過程及其反思，擬再另撰文交流。
　　
　　1
　　有關(guān)分析
　　
　　1.1　教學(xué)內(nèi)容的定位
　　我們知道，“數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在日常生活中有著重要應(yīng)用?！睌?shù)列是一種離散函數(shù)，學(xué)習(xí)數(shù)列對深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極的意義；數(shù)列是以后學(xué)習(xí)極限、級數(shù)求和的基礎(chǔ)。因此，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置?！案拍钍撬季S的基本單位?！睌?shù)列的概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起點(diǎn)與基礎(chǔ)，因而建立數(shù)列的概念是本章教學(xué)的重點(diǎn)，更是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)；學(xué)生主動(dòng)自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)歷辨別、抽象、概括等過程，影響概念學(xué)習(xí)過程的因素又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，是教學(xué)的難點(diǎn)。
　　
　　1.2　學(xué)情分析
　　學(xué)生經(jīng)過高一近一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，特別是學(xué)習(xí)了重要內(nèi)容“函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)”后，在觀察、抽象、概括等學(xué)習(xí)策略與學(xué)習(xí)能力方面，有了一定的基礎(chǔ)。況且，數(shù)列概念的學(xué)習(xí)并不需要很多的知識(shí)基礎(chǔ)，可以說學(xué)習(xí)數(shù)列的概念并無知識(shí)上的困難。這些都是數(shù)列概念教學(xué)的有利條件。同時(shí)也要看到，剛剛開始高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生，其學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)還是很有限的，特別是概念的學(xué)習(xí)，作為“固著點(diǎn)”的已有知識(shí)相對較少，一些學(xué)生還習(xí)慣于記憶，自己主動(dòng)地建構(gòu)概念的意識(shí)還不夠強(qiáng)，能力還不夠高。同時(shí)，在建立概念的過程中，學(xué)生在辨別各種刺激模式、抽象出觀察對象或事物的共同本質(zhì)特征，概括形成概念，并且用數(shù)學(xué)語言(符號)表達(dá)等方面，會(huì)表現(xiàn)出不同的水平，從而會(huì)影響整體的教學(xué)。故在教學(xué)中要積極面對這些差異，努力使全體同學(xué)都得到發(fā)展。
　　
　　1.3　教法分析
　　從新課程教材的有關(guān)內(nèi)容和已有的教學(xué)經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)來看，學(xué)生獲得“數(shù)列的概念”的方式應(yīng)當(dāng)是“概念形成”：“同類事物的關(guān)鍵屬性可以由學(xué)生從大量同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)?！倍?，“在概念形成方式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師一定要扎扎實(shí)實(shí)地引導(dǎo)學(xué)生完成概念的形成的每一個(gè)步驟……”所以，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生辨別、抽象、概括的“刺激模式”——問題情境，是實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)。從而，本節(jié)課的教法應(yīng)是：在教師指導(dǎo)下的學(xué)生的自主探究與自我建構(gòu)學(xué)習(xí)——?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生完成觀察、辨別、抽象、概括、應(yīng)用、強(qiáng)化等一系列過程。自然地，對探究學(xué)習(xí)的過程，教師要舍得花時(shí)間，要傾注更多的精力，作出悉心的指導(dǎo)。
　　
　　2　對教學(xué)設(shè)計(jì)幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的思考
　　
　　基于上述分析，筆者認(rèn)為，“數(shù)列的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)有三點(diǎn)不容忽視，或者說，這三個(gè)方面把握的恰當(dāng)與否是教學(xué)設(shè)計(jì)成敗的關(guān)鍵。
　　其一，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境?！啊稑?biāo)準(zhǔn)》把數(shù)列視為反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，要求在教學(xué)中通過日常生活中的實(shí)例，講解數(shù)列的概念和幾種表示方法?！币虼嗽O(shè)計(jì)的問題情境應(yīng)是“大量的”、蘊(yùn)含數(shù)列概念的“本質(zhì)屬性的”，與學(xué)生的“距離較近的”、學(xué)生比較“感興趣的”的社會(huì)生活或數(shù)學(xué)實(shí)例。與此同時(shí)，要設(shè)計(jì)出在學(xué)生觀察、辨別、抽象、概括等一系列活動(dòng)過程中的教師角色與行為：如何啟發(fā)引導(dǎo)，如何調(diào)控探究過程，甚至對啟發(fā)提問用語(包括語氣、口氣、神情，等等)都要作出精心的設(shè)計(jì)。
　　其二，處理好數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系。這是由函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位所決定的?！翱巳R因認(rèn)為函數(shù)為數(shù)學(xué)的‘靈魂’，應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的‘基石’”。南京師范大學(xué)涂榮豹教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)要把握大觀點(diǎn)，函數(shù)的觀點(diǎn)就是大觀點(diǎn)，教學(xué)要“……用函數(shù)的觀點(diǎn)把握學(xué)過的知識(shí)，然后把它納入到函數(shù)里面去……”
　　“《標(biāo)準(zhǔn)》……特別指出要體現(xiàn)數(shù)列是一種特殊函數(shù)，通過列表、圖象、通項(xiàng)公式表示數(shù)列，把數(shù)列融于函數(shù)之中。”①“新課程特別要求把數(shù)列的學(xué)習(xí)與研究放置到函數(shù)的大背景之下，既可以用函數(shù)的觀點(diǎn)方法來研究數(shù)列，指導(dǎo)數(shù)列的學(xué)習(xí)，又能夠深化對函數(shù)的進(jìn)一步的深刻理解。那么，作為數(shù)列的起始課，作為數(shù)列學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的基本概念的教學(xué)，如何體現(xiàn)這一重要觀點(diǎn)呢?是先數(shù)列，還是先函數(shù)?還是在數(shù)列概念的教學(xué)過程中，讓函數(shù)半路“殺出”來，硬湊在數(shù)列的“旁邊”?這恐怕都不妥，因?yàn)楹瘮?shù)是數(shù)列的“根”，數(shù)列是“特殊的”函數(shù)。筆者認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)讓數(shù)列去“尋根問祖”，自然地融入函數(shù)，讓數(shù)列還其本來面目，讓數(shù)列的概念得以深化，讓函數(shù)的內(nèi)涵得以進(jìn)一步豐富發(fā)展。而滲透于其問的學(xué)生主動(dòng)觀察與猜想，探索與求證，正是發(fā)展其思維能力的最佳時(shí)機(jī)和重要過程。
　　其三，教學(xué)設(shè)計(jì)要考慮整體性。數(shù)列的概念名詞較多：定義、分類、符號、圖象、與函數(shù)關(guān)系、通項(xiàng)公式……教學(xué)過程中逐條拋出顯然是不合適的。那樣會(huì)使概念知識(shí)失去本身固有的聯(lián)系，加重學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，試圖通過概念的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生思維能力也將大打折扣。如何保持?jǐn)?shù)學(xué)活動(dòng)的整體性與連續(xù)性，讓每一個(gè)概念適時(shí)地自然地生長出來，并將它們連為一體，是值得探索的。
　　
　　3　教學(xué)過程設(shè)計(jì)的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)分析與思考
　　
　　基于上述分析，筆者認(rèn)為，在備課過程中既要目標(biāo)明確，突出主線，又要顧及到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的銜接與過渡，平衡各種矛盾，從而從整體上把握一堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)，構(gòu)建和諧的課堂活動(dòng)過程。
　　
　　3.1　整體把握問題情境的設(shè)計(jì)
　　概念課的問題情境設(shè)計(jì)，無疑是教學(xué)的基礎(chǔ)和起點(diǎn)。筆者給出以下問題情境：
　　情境1　舉世矚目的第16屆亞運(yùn)會(huì)在廣州落下帷幕，中國奪得199枚金牌。是自1982年奪得金牌總數(shù)第一以后，連續(xù)八屆蟬聯(lián)金牌總數(shù)第一。這8次取得的金牌數(shù)依次是
　　61，94，183，125，129，150，165，199.
　　情境2　某家庭記錄2010年內(nèi)前9個(gè)月的用電量(單位：度)依次是：
　　110，120，90，80，62，80，103，115，84.
　　情境3　據(jù)開學(xué)體檢記錄，本班學(xué)號1～5的同學(xué)的身高(單位：cm)依次是
　　172，173，169，177，176。
　　情境4　某種細(xì)胞，如果每個(gè)細(xì)胞每分鐘分裂為2個(gè)，那么每過1分鐘后，1個(gè)細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)依次為
　　1，2，4，8，16，…
　　情境5
　　正奇數(shù)按從小到大的順序排列如下：
　　1，3，5，7，9，11，…
　　情境6π的不足近似值的前7項(xiàng)依次為
　　3，3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592.
　　筆者認(rèn)為，這一組問題情境的設(shè)計(jì)，有以下幾個(gè)特點(diǎn)：一是充分聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)背景，特別是剛剛閉幕的第16屆亞運(yùn)會(huì)金牌數(shù)、該班部分同學(xué)的身高，是學(xué)生身邊的“數(shù)學(xué)”或熱門話題，意在引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；二是注意問題情境的“數(shù)學(xué)含量”，即考慮問題情境為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)。比如，情境1、2、3是有窮數(shù)列，情境4、5是無窮數(shù)列；情境4是等比，情境5是等差；情境4、5有通項(xiàng)公式，情境6則容易發(fā)展為無通項(xiàng)公式的例子；情境2畫出圖象后易于觀察用電量的變化(體會(huì)數(shù)列的圖象表示)；三是考慮問題情境的“節(jié)約環(huán)?！?，即問題情境要能多次使用，具有多重功能，聯(lián)系課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，支持整堂課的教學(xué)活動(dòng)全程。下圖表示了教學(xué)設(shè)計(jì)將全部知識(shí)點(diǎn)串為一體，并且問題情境支持了整堂課數(shù)學(xué)活動(dòng)的全程(虛線箭頭表示知識(shí)出現(xiàn)的順序及聯(lián)系)：
　　
　　3。2　突出學(xué)生的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)與求證探索
　　如前所述，把數(shù)列融入函數(shù)中，無論對于數(shù)列自身的學(xué)習(xí)與研究，還是深化對函數(shù)的理解，都具有重要的意義。蘇教版教材是這樣描述的：“數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N^*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})為定義域的函數(shù)a=f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對應(yīng)的一列函數(shù)值?！?br/>　　教學(xué)顯然不能照本宣科，將結(jié)論直接告知給學(xué)生。筆者認(rèn)為，作為數(shù)列起始課數(shù)列概念的教學(xué)，在引入數(shù)列概念之后，自然地及時(shí)地把數(shù)列納入函數(shù)，并以此促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)與自覺求證的意識(shí)和能力，是值得嘗試探索的。筆者試圖這樣處理：在學(xué)生畫出情境2中的數(shù)列的圖象后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想函數(shù)：“面對數(shù)列的列表與圖象表達(dá)，你想到什么——這個(gè)數(shù)列也可以用列表表示，還可以用圖象表達(dá)，你聯(lián)想到什么——我們已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，哪一個(gè)可以用列表法，又可以用圖象法表達(dá)……”在學(xué)生感悟出“數(shù)列就是函數(shù)”后。筆者進(jìn)一步追問：“數(shù)列是函數(shù)——你能說出為什么嗎——函數(shù)的要素是什么——如何說明一個(gè)對應(yīng)是函數(shù)呢——要說明數(shù)列是函數(shù)，就要說明什么——請以問題情境2和問題情境5為例驗(yàn)證……”
　　待學(xué)生理解“數(shù)列就是函數(shù)”并嘗試說明理由后，再讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列是“特殊”的函數(shù)到底“特”在哪里，并引出通項(xiàng)公式，便是水到渠成的事了。
　　
　　3.3　強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程的和諧自然
　　本節(jié)課是概念課，在引人數(shù)列的概念之后，還有一些概念名詞需要學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)理解：數(shù)列的分類、數(shù)列的圖象、數(shù)列是函數(shù)、數(shù)列的通項(xiàng)、有關(guān)應(yīng)用……圍繞這些教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，將存在一個(gè)如何銜接過渡的問題。教學(xué)過程既要突出重點(diǎn)，突出每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)與探究，各個(gè)擊破，又要力求保持整個(gè)教學(xué)活動(dòng)過程的連續(xù)性與系統(tǒng)性。
　　基于這樣的考慮，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，力求保持各個(gè)環(huán)節(jié)的平穩(wěn)過渡與自然銜接。比如，在建立數(shù)列的概念后，對數(shù)列的分類(有窮、無窮數(shù)列)回到開始創(chuàng)設(shè)的問題情境中去印證，然后將情境2中的數(shù)列用表格和圖象表示，借以誘導(dǎo)學(xué)生猜想出“數(shù)列是函數(shù)”，此時(shí)，再將情境5引申變化，讓學(xué)生去印證自己的猜想。再如，從驗(yàn)證“數(shù)列是函數(shù)”的過程中，適當(dāng)?shù)刈儞Q問題的探究角度，提出新的問題，從中自然產(chǎn)生通項(xiàng)公式的概念，然后，再次開發(fā)情境5，設(shè)計(jì)新問題，強(qiáng)化通項(xiàng)公式的應(yīng)用……學(xué)生的知識(shí)的自我主動(dòng)建構(gòu)也在過程中自然形成。
　　
　　3.4　悉心啟發(fā)，讓知識(shí)從學(xué)生的頭腦中流淌出來
　　南京師范大學(xué)涂榮豹教授指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)啟發(fā)的最主要也是最基本的方法，是運(yùn)用‘元認(rèn)知揭示語’發(fā)問……從用隱蔽性強(qiáng)的弱暗示提示語進(jìn)行啟發(fā)，到用隱蔽性逐步減弱的強(qiáng)暗示提示語進(jìn)行啟發(fā)，用這樣的‘分級提問’來達(dá)到對不同層次的引導(dǎo)。”筆者的理解是，提問應(yīng)當(dāng)從“元認(rèn)知”提問出發(fā)，“由遠(yuǎn)及近”：讓學(xué)生思考一段時(shí)間，然后教師提出一個(gè)稍接近目標(biāo)的問題，再讓學(xué)生思考，然后教師再提出更接近目標(biāo)的問題……使全體學(xué)生都得到思考與思維的發(fā)展，讓知識(shí)從學(xué)生的頭腦中自然流淌出來。
　　本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者把對學(xué)生啟發(fā)引導(dǎo)的提示語作為備課的重要內(nèi)容之一，嘗試設(shè)計(jì)從“元認(rèn)知”提問開始的分級提問。比如，在數(shù)列概念的引入過程中，當(dāng)給出一組問題情境之后，筆者的提問語是：“考察這一組問題，你看出什么，想到了什么——這些問題有何共同特點(diǎn)——從數(shù)學(xué)的角度觀察思考——問題的主要對象是什么，有何共同特點(diǎn)——去掉“依次”會(huì)怎樣——什么叫一定順序，交換其中兩個(gè)不同的數(shù)，是否發(fā)生改變……”力求由暗及明，由遠(yuǎn)及近，階梯遞進(jìn)，使全體學(xué)生都能夠得到思考與探究的機(jī)會(huì)。
　　
　　4　結(jié)束語
　　
　　不教而教，學(xué)生皆謂“我自然”，是教學(xué)追求的最高境界教學(xué)設(shè)計(jì)要立足學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際，把準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生在知識(shí)自然生長的狀態(tài)下進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)怎樣，有怎樣的學(xué)習(xí)傾向，數(shù)學(xué)知識(shí)的生長點(diǎn)在哪……在充分了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)以學(xué)生為主體的、滿足學(xué)生自我發(fā)展需求的活動(dòng)過程，使教學(xué)設(shè)計(jì)反璞歸真，才能構(gòu)建和諧“綠色”課堂，教學(xué)過程才可能自然而然
　　
　　參考文獻(xiàn)
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　　作者簡介渠東劍(1962－　)，男，江蘇省豐縣人，江蘇省南京市秦淮區(qū)教學(xué)研究室中學(xué)數(shù)學(xué)教研員，中學(xué)高級教師，江蘇省特級教師，在省級以上發(fā)表教育教學(xué)論文50余篇。研究方向：新課程背景下區(qū)域教研與教師專業(yè)發(fā)