映射論

　　從數(shù)學(xué)發(fā)展史中，我們知道，函數(shù)的概念是在方程的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的?？蓮鸟R克思的《數(shù)學(xué)手稿》中找到依據(jù)：“函數(shù)一詞，最初是在處理方程個數(shù)少于其中出現(xiàn)的未知數(shù)的所謂不定方程時，引到了代數(shù)中來的。這里，例如y的值的變化取決于人們譬如對x給予的數(shù)值3、4、5等等。這里的y叫做x的函數(shù)，因為它必須服從x的命令，正象每個官員，甚至偉大的威廉一世也要依從某個人一樣?！焙瘮?shù)發(fā)展到了十九世紀七十年代，由于康托爾的集合論問世，函數(shù)自變量突破了“變量是數(shù)”的限制，提出了函數(shù)的變量可以是任何集合的元素，泛指任何研究對象，大大拓寬了函數(shù)定義的適應(yīng)范圍。于是更一般的抽象概念——映射就發(fā)展起來了。
　　映射這個概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展不可分離的重要概念，它建立了客觀世界具有某種屬性的“量”的依存關(guān)系，使許多數(shù)學(xué)分支諸如解析函數(shù)，實變函數(shù)、泛函、概率論以及拓撲學(xué)等學(xué)科脫穎而出。利用映射的思想還可以重新認識初等數(shù)學(xué)，提高其理論水平和抽象水平。因此，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，初等數(shù)學(xué)并沒有停止在“初等”時期的水平，而通過大量吸收現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法使初等數(shù)學(xué)得到迅速充實和提高，尤其是建立在集合論基礎(chǔ)上的映射思想幾乎滲透到了初等數(shù)學(xué)的每一個角落，使今天的初等數(shù)學(xué)煥發(fā)出誘人的活力，越來越多的科學(xué)工作人員或從事數(shù)學(xué)專業(yè)的人員都投進到了初等數(shù)學(xué)奧秘的懷抱，大大促進了初等數(shù)學(xué)發(fā)展。中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容都是初等數(shù)學(xué)內(nèi)容，因此，它的知識結(jié)構(gòu)和理論體系都大量滲透著映射的思想和方法。我們學(xué)習和研究數(shù)學(xué)應(yīng)重視映射方法，光大映射法在數(shù)學(xué)發(fā)展中的功能和作用。
　　什么是映射法呢?映射法是指把兩類數(shù)學(xué)對象或兩個數(shù)學(xué)集合的元素之間建立某種“對應(yīng)關(guān)系”，通過這種對應(yīng)關(guān)系實現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的等構(gòu)轉(zhuǎn)換而變未知為已知的化歸思想方法。映射作為一種關(guān)系為研究和處理數(shù)學(xué)問題提供了必要的思想基礎(chǔ)和方法基礎(chǔ)。映射法處理數(shù)學(xué)問題的一般模式為：
　　這個圖示總的思維過程遵循化歸方法的基本思想，即喬治·波利亞的解題思想和一般模式，從離中心問題近處向離中心問題遠處依次搜索前進，再通過綜合反饋還原成中心問題的解。從這個圖示中還可以看到，對數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化并不是僅一次映射變換就能發(fā)現(xiàn)直接結(jié)果，同時也不是僅一次反演變換就能還原到間接結(jié)果。
　　最典型而且最有說服力的映射化歸思想應(yīng)歸結(jié)為笛卡爾的坐標法(解析法)。它把初等數(shù)學(xué)原本是獨立發(fā)展的代數(shù)與幾何利用“坐標法”重新又統(tǒng)一了起來，使數(shù)與形得到了和諧發(fā)展與相互支配。革命導(dǎo)師恩格斯指出：“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實世界中得出來的?！边@說明，數(shù)和形是客觀事物對象的本質(zhì)屬性的抽象與概括。數(shù)學(xué)命題的內(nèi)容主要是幾何型與代數(shù)型，通過笛卡爾的工作，使數(shù)學(xué)命題形成了綜合型(代數(shù)幾何型)。坐標法的產(chǎn)生，不僅促進了變量數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，而且進一步溝通了純代數(shù)，幾何、三角等學(xué)科之間的本質(zhì)依存關(guān)系(不使用坐標法的聯(lián)系)，這說明代數(shù)與幾何從來就是緊密聯(lián)系的。利用這種思想可以解決涉及到理論的整體性結(jié)構(gòu)的更高“層次”的數(shù)學(xué)問題。這里引用鄭毓倩老師在他的《數(shù)學(xué)方法論入門》一書中關(guān)于非歐幾何的“相對相容性”的證明作為例子來說明映射法在解決更高“層次”上的數(shù)學(xué)問題的作用。
　　我們知道，非歐幾何的產(chǎn)生來自于歐氏幾何平行公理的研究，由于平行公理缺乏自明性，歷史上眾多數(shù)學(xué)家開始對這條公理是否必要產(chǎn)生懷疑，并總希望能用歐氏公理前四條公理來推出，想盡辦法來否定它的獨立性，企圖把它作為定理來加以證明。史料表明，無論是從正面攻擊，還是從反面力求推出矛盾，這些努力最終成為“水中撈月”。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基總結(jié)了前人兩千多年的經(jīng)驗教訓(xùn)，大膽地設(shè)想了“過直線外一點在該平面內(nèi)可以作不只一條直線與已知直線平行”，并用這條設(shè)想代替歐氏平行公理，與歐氏前四條公理一起構(gòu)成一組新的公理系統(tǒng)，形成和建立了以這組新的公理為出發(fā)點的羅氏演繹幾何。但羅氏幾何是否具備科學(xué)的真實性，還必須進行嚴密的論證，即需對其合理性進行科學(xué)的證明。證明的核心問題就是他的“假設(shè)公理”是否符合公理的獨立性，也即從理論上證明其相容性。這個證明最早是由意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米完成的。“首先，貝特拉米在歐氏空間的一個曲面(偽曲面)內(nèi)與羅氏平面之間建立了對應(yīng)關(guān)系，即給出了這樣的‘翻譯’法則。利用這一法則羅氏(平面)幾何中的對象(點、直線)及對象之間的基本關(guān)系(如‘點在直線上’等)可以在歐氏空間的這一曲面上得到解釋。其次，他又證明了，在這樣的解釋下，羅氏幾何中的公理所對應(yīng)的都是歐氏幾何中的定理。這樣，羅氏幾何相對于歐氏幾何的相容性就得到了證明?！薄坝捎谪愄乩鬃C明的是羅氏幾何相對于歐氏幾何的相容性，因此，這就是一種相對相容性的證明?！睆呢愄乩椎倪@一證明過程和思維方式中，可以看出，他合理地借用了映射(對應(yīng))的思想，把歐氏幾何公理的相容性通過給出一個合理的“翻譯”法則移植到羅氏幾何中，從而達到證明羅氏幾何公理的相容性，因此，它實質(zhì)上反映了映射方法的成功應(yīng)用。
　　映射法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用更是十分廣泛，平時我們知道的“幾何變換”、“數(shù)形結(jié)合”、“構(gòu)造法”等都是映射方法下的具體表現(xiàn)形式。
　　我們知道，歷史上幾何有三大難題，即尺規(guī)作圖的三大問題是否可解，從公元前400多年前提出已研究了兩千多年，直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何后，對不可解性的認識才有了重大突破。這個問題的答案不能從幾何學(xué)本身去找，而要借助于代數(shù)學(xué)。坐標法為判斷或論證尺規(guī)作圖三大問題的不可解性提供了從代數(shù)上進行研究的手段。
　　這里著重論述一下化圓為方的不可解性。圓化方問題的基本內(nèi)容是：要求用尺規(guī)作一個正方形使其面積等于已知圓的面積。我們知道，在坐標平面上作出幾何圖形最重要的是確定符合這個圖形的點的坐標，而尺規(guī)作圖只能作出直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點坐標。因此，幾何作圖就歸結(jié)為求作定長的線段。在幾何作圖中，由于我們把任何的幾何量長度看作單位長度，因此，若設(shè)圓的面積為仃(半徑R=1)，則所作正方形的邊長就為根號下π。于是圓化方問題就轉(zhuǎn)化為能否作出長度為根號下π的線段，這實際上是不可能的，因為根號下π不是有理數(shù)。一般來說，由于直線和圓在形數(shù)對應(yīng)下的方程是有理方程，而且用尺規(guī)能做出的數(shù)量僅限于是有理數(shù)，經(jīng)過有限多次的加、減、乘、除以及乘方等五則運算得出的量，而無法作出超越數(shù)所表示的量，由于根號下π是無理數(shù)，所以圓化方問題是不可解的。同樣的道理可以證明三大作圖問題的另兩個問題也是不可解的。
　　坐標法對研究綜合型問題或能從直觀中構(gòu)造出綜合型模式都是十分有用的。事實上圖象問題在運用了數(shù)量關(guān)系的公式、法則和計算等武器后，可以使較尖深的問題化歸為較易處理的數(shù)量關(guān)系式的研究，而數(shù)量關(guān)系借助了直觀圖象的性質(zhì)，可以使許多抽象的關(guān)系直觀化、形象化和簡單化。正如笛卡爾在他的《思維的法則》中指出：“沒有任何東西比幾何圖象更容易印入腦際了，因此，用這種方法來表達事物是非常有益的。”
　　由于坐標緊密聯(lián)系著函數(shù)，我們把命題中能構(gòu)成函數(shù)的條件稱之為主條件。在一個數(shù)學(xué)命題中，如果有若干個條件，那么這若干條件中必有主條件。在考慮用坐標法解題時，必須先找出主條件所反映的變量式，在通過認識這個函數(shù)的性質(zhì)，在其它條件的約束下，有效地找到問題的答案。
　　例如當實數(shù)a為何值時，不等式0≤x²+as+5≤4恰有一個實數(shù)解。這個問題的主條件是研究函數(shù)y=x²+ax+5在區(qū)間[0，4]內(nèi)的變化，它構(gòu)建了一個數(shù)形結(jié)合的直觀感，因此，可利用對應(yīng)的幾何圖形來研究代數(shù)不等式在給定區(qū)間內(nèi)變化的性質(zhì)。建立這種數(shù)形的移植關(guān)系，使我們在理解上一下子發(fā)生了質(zhì)的變化。對函數(shù)y=x²+ax+5。當a取不同值時，此函數(shù)圖象表示平面上的一束拋物線，其頂點坐標為(-a/2，5-a²/4)，從圖形上可直觀看出，當且僅當頂點的縱坐標5-a²/4=4時，恰好與直線y=4相切，于是僅當a=±2時，代數(shù)不等式恰有一個實數(shù)解。
　　映射法在研究初等數(shù)學(xué)問題時有較為普遍的應(yīng)用，在此不一一舉例?？傊莆蘸瓦\用映射法不僅能幫助靈活應(yīng)用和深刻理解數(shù)學(xué)知識，而且對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)有極其重要的意義，可以說，映射法作為方法論的基礎(chǔ)是十分重要也是十分必要的，這對數(shù)學(xué)教學(xué)論也具有更深刻的意義。
　　
　　參考文獻
　　[1]數(shù)學(xué)方法論入門，鄭毓信，浙江教育出版社，1985。
　　[2]數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)方法論選講，朱學(xué)智，黑龍江省林業(yè)教育學(xué)院，1984。
　　[3]數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(第一卷)，[美]G·波利亞科學(xué)出版社，1982。
　　作者簡介　韓云橋，男，籍貫：湖北，職稱：數(shù)學(xué)中學(xué)高(特)級教師，現(xiàn)兼職廣東省華南教科所特約研究員，廣州市海珠區(qū)教科研專家指導(dǎo)組，廣州市第五中學(xué)教科室主任，學(xué)術(shù)委員主任委員，研究方向：高中數(shù)學(xué)學(xué)科與教學(xué)研究，主要成果：出版專著《高中數(shù)學(xué)題型·結(jié)構(gòu)·背景·解法》一部，發(fā)表論文20余