數(shù)學中的構(gòu)造方法——兼談初等數(shù)學和高等數(shù)學方法的一致性

王書臣，張 友

（大連民族學院 理學院，遼寧 大連 116600）

數(shù)學中的構(gòu)造方法
——兼談初等數(shù)學和高等數(shù)學方法的一致性

王書臣，張 友＊

（大連民族學院 理學院，遼寧 大連 116600）

初等數(shù)學與高等數(shù)學中的構(gòu)造方法在本質(zhì)上是一樣的，常見的有構(gòu)造圖形（或函數(shù)）與構(gòu)造算法，教學中教師要注意提煉和應用，以提升學生對該方法的領(lǐng)悟和使用能力。

初等數(shù)學；高等數(shù)學；構(gòu)造方法；一致性

數(shù)學中的構(gòu)造方法可分廣義與狹義兩種。廣義的構(gòu)造法是指數(shù)學中的概念和方法按固定的方式經(jīng)有限個步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法，這與算法的概念較接近；狹義的構(gòu)造法是指不對要求解的問題直接求解，而根據(jù)問題及問題的條件構(gòu)造一個與之相關(guān)的輔助問題，通過輔助問題的求解來解決原問題。其中的輔助問題也可稱之為輔助模型，可能是圖形、不等式、函數(shù)或算法等數(shù)學模式。

從數(shù)學產(chǎn)生那天起，數(shù)學中的構(gòu)造方法就隨之產(chǎn)生了。在歷史上，通過構(gòu)造邊長為1的正方形的對角線，找到了客觀存在的無理數(shù)，康托爾通過構(gòu)造cantor集，證實了存在不可數(shù)但測度為0的集合；現(xiàn)代直覺主義學派打出了“存在就等于被構(gòu)造”［1］的口號，在他們的號召下數(shù)學中的構(gòu)造方法研究大大地向前發(fā)展了。［2］

其實，雖然構(gòu)造方法廣泛應用于現(xiàn)代數(shù)學研究，并為現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展起到了巨大的作用，但這并不意味著它是高等數(shù)學的專利，高等數(shù)學的大部分思想方法都來源于初等數(shù)學，如化歸、遞推、模型化、公理化等等都是初等數(shù)學中常用的思想方法。構(gòu)造法也不例外，從中小學到大學，初等數(shù)學與高等數(shù)學都大量使用著構(gòu)造法，它們在本質(zhì)上都是一樣的。以廣義的構(gòu)造法為例，小學的四則運算法則，中學的實數(shù)運算法則、整式運算、方程和方程組的求解等，微分中的極限運算法則（包括洛必達法則）、積分求解等，線性代數(shù)中行列式計算、矩陣運算、矩陣變換等，都是一脈相承的。當然這種一致性特別需要教師幫助學生歸納和提煉，以提升他們對構(gòu)造思想方法的領(lǐng)悟和應用能力。本文僅以狹義的構(gòu)造法中的兩種常見構(gòu)造為例說明初等數(shù)學與高等數(shù)學在思想方法上的一致性。

一、構(gòu)造圖形

先讓我們看一道小學數(shù)學題。

分析：這是一道分數(shù)求和問題，若直接用算術(shù)的方法求解，對于還未學習等比數(shù)列的小學生來說，則需要高超的技巧或?qū)ｉT的培訓，但若以數(shù)想形，利用整體與部分的關(guān)系，構(gòu)造圖1則可迎刃而解。

圖1

與此相類似，在中學的許多問題中，我們也可以構(gòu)造圖形來解決。

分析：要按照構(gòu)成三角形的條件去證明就比較麻煩，我們可以根據(jù)所給的三條線段的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想勾股定理，構(gòu)造圖形見圖2。

圖2

顯然滿足條件的三角形存在，其面積為：

在微積分的學習中，由于我們主要研究函數(shù)，一般來說函數(shù)都有可對應圖形（曲線）。因此，在微積分問題中就很少有構(gòu)造圖形去解決的，因為此時也可以說圖形與函數(shù)是一一對應的。所以構(gòu)造函數(shù)解決問題就相當于構(gòu)造圖形，其中最典型的例子就是拉格朗日中值定理的證明。［3］羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情形，所以，在證明了羅爾定理的前提下構(gòu)造新的函數(shù)，使其滿足羅爾定理的條件，利用羅爾定理的結(jié)論推導出拉格朗日定理的結(jié)論。而其中構(gòu)想出的函數(shù)也借助了圖形。柯西定理是拉格朗日定理的推廣，它的證明又再次選用了這一思路，也再次驗證了同一類問題在解決方法上的一脈相承。當然，這里還有化歸的方法。構(gòu)造輔助函數(shù)解題已成為高等數(shù)學解決問題的一個重要方法，如例3。

證明：因為f’（ξ）＝－，即ξf’（ξ）＋f（ξ）＝0，故令F（x）＝xf（x），則F（x）在［0，1］上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，且F（0）＝F（1）＝0。由羅爾定理在（0，1）內(nèi)至少存在一點ξ使F’（ξ）＝0，即

從以上幾例可以看出，不論初等數(shù)學中的構(gòu)造圖形還是高等數(shù)學中的構(gòu)造輔助函數(shù)，在本質(zhì)上是一致的，它的基本思路是，先對原問題的條件及特點進行分析，然后構(gòu)造出相應的幾何圖形或輔助函數(shù)，通過圖形蘊含的幾何意義或輔助函數(shù)的求解，得出原問題的解。

二、構(gòu)造算法

初等數(shù)學有這樣一個構(gòu)造算法的典型例子。

例4 求證：能找到1995個連續(xù)自然數(shù)，它們中恰好有一個質(zhì)數(shù)。

證明：取N＝1×2×3…×1995＋1，因為質(zhì)數(shù)有無窮多個。再取大于N的最小質(zhì)數(shù)p，則N＋1，N＋2，…N＋1994都是合數(shù)（分別可被2，3，4，… ，1995整除），所以p＞N＋1994，即p≥N＋1995。p，p－1，p－2，…p－1994為連續(xù)的1995個自然數(shù)，其中恰好只有一個質(zhì)數(shù)p。

在線性代數(shù)中的某些行列式的計算中，往往并不是按定義計算，也不是按行列式的性質(zhì)計算，而是通過構(gòu)造輔助行列式來計算，這其實也是構(gòu)造一種算法。

例5［4］證明

一方面，把5階范德蒙行列式按照第5列展開，－D4恰為f（x）的x3的系數(shù)。另一方面，根據(jù)5階范德蒙行列式的結(jié)論：

由此可知x3的系數(shù)為 － （a－b）（a－c）（ad）（b－c）（b－d）（c－d）（a＋b＋c＋d），所以D4＝（a－b）（a－c）（a－d）（b－c）（b－d）（c－d）（a＋b＋c＋d）。行列式計算中的“加邊法”也屬于構(gòu)造算法。

初等數(shù)學與高等數(shù)學中構(gòu)造算法的思路是一樣的，算法是一種工具，通過有限步驟可實現(xiàn)解決問題的計劃。在矩陣理論中初等變換是最基本的運算，有著廣泛的應用，起初這種變換只是在原矩陣上做行或列的變形，但這種方式在理論表述和證明中顯得很不方便，于是人們又構(gòu)造了初等矩陣，即由單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣，這樣就可以將初等變換用初等矩陣與原矩陣的乘法來表示了，這實質(zhì)上是構(gòu)造了一種新的算法，它對矩陣論的發(fā)展起到了很好的促進作用。陳景潤和很多數(shù)論專家在通往解決哥德巴赫猜想的道路上，不斷地改進篩法，從而使結(jié)果越來越好。其實，改進篩法的過程也是構(gòu)造新的算法的過程。構(gòu)造算法的基本思路是，先對要解決的問題的條件與結(jié)論進行分析，確定完成計算或證明的步驟及每一步驟的具體內(nèi)容，從而構(gòu)造出算法，得到期望的結(jié)果。

由此可見，初等數(shù)學與高等數(shù)學所用的構(gòu)造法在思維方式上基本是一致的。其實，其他數(shù)學思維

方法，如一般化、特殊化、公理化等都有相類似之處，這就要求大學數(shù)學教師關(guān)注這一點，［5］在教學中能以初等數(shù)學中的例子中的思維方法類比高等數(shù)學中數(shù)學思維方法，使學生的學習不再感到抽象乏味，而能與其原有的知識與方法建立必然的聯(lián)系。這就可由抽象回歸到具體，從而再上升到抽象，使數(shù)學學習更有效。

［1］孫小禮．數(shù)學與文化［M］．北京：北京大學出版社，1980：13－14．

［2］黃秦安．數(shù)學哲學與數(shù)學文化［M］．西安：陜西師大出版社，1999：123－124．

［3］吳贛昌．微積分［M］．北京：中國人民大學出版社，2007：90－91．

［4］同濟大學．線性代數(shù)：第四版［M］．北京：高等教育出版社，1999：13－14．

［5］張友，王書臣．高等數(shù)學課程的教學改革和考試改革［J］．黑龍江教育學院學報，2006（2）：62－63．

On Construction Methods in Mathematics—— Also on Consistency of Elementary and Higher Mathematics Methods

WANG Shu－chen，ZHANG You
（CollegeofScience，DalianNationalitiesUniversity，Dalian116600，China）

Construction methods in elementary and higher mathematics are the same in essence，and the usual methods are constructing graphics（or function）and constructing arithmetic．Teachers should pay attention to generalization and application in teaching in order to enhance students’understanding and usage of this method．

elementary mathematics；higher mathematics；construction method；consistency

G642．3 < class="emphasis_bold">文獻標識碼：A文章編號：

1008－388X（2011）03－0037－03

2011－07－11

王書臣（1963－），男，黑龍江齊齊哈爾人，副教授。

閱力］