第一類李擬代數(shù)的Frattini子代數(shù)與c可補(bǔ)子代數(shù)

溫啟軍，肖玉山

（長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130022）

第一類李擬代數(shù)的Frattini子代數(shù)與c可補(bǔ)子代數(shù)

溫啟軍，肖玉山

（長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130022）

把Frattini理論推廣到第一類李擬代數(shù)，得到了第一類李擬代數(shù)的Frattini子代數(shù)的若干性質(zhì)，并研究了第一類李擬代數(shù)的c可補(bǔ)子代數(shù)的重要性質(zhì)，給出它們之間的重要關(guān)系.

第一類李擬代數(shù)；Frattini子代數(shù)；c可補(bǔ)子代數(shù)

1 預(yù)備知識(shí)

李代數(shù)不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有重要的地位，而且在理論物理研究中也具有不容忽視的作用.作為李代數(shù)（李超代數(shù)）的自然推廣，人們給出6種新推廣的代數(shù)，分別稱為第一、二、三類李擬代數(shù)，根據(jù)結(jié)合代數(shù)與李代數(shù)之間的密切聯(lián)系，文獻(xiàn)［1］給出了不變子代數(shù)和第一、二、三類李擬代數(shù)（李擬超代數(shù)）之間的密切聯(lián)系.

在文獻(xiàn)［1］中，作者把有限維李代數(shù)對(duì)于基的結(jié)構(gòu)常數(shù)、可解性、冪零性、同態(tài)基本定理、導(dǎo)子等性質(zhì)推廣到了在一個(gè)非空有限集合S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù)上，主要給出了第一類李擬代數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)［2－5］.李代數(shù)等代數(shù)的Frattini子代數(shù)與c可補(bǔ)子代數(shù)已經(jīng)有了較多的研究［4－8］，本文主要把Frattini理論推廣到第一類李擬代數(shù)，得到了第一類李擬代數(shù)的Frattini子代數(shù)的若干性質(zhì)，研究了第一類李擬代數(shù)的c可補(bǔ)子代數(shù)的重要性質(zhì)，并給出它們之間的重要關(guān)系.本文總設(shè)S是非空集合，符號(hào)和術(shù)語(yǔ)與文獻(xiàn)［3－6］一致.

定義1.1［4］設(shè)G是域F上的線性空間，若G中有二元雙線性運(yùn)算（x，y）→［x，y］滿足以下兩個(gè)條件：

則稱G為域F上的李代數(shù).條件（2）稱為Jacobi恒等式.

定義1.2［1］設(shè)L是域F上的向量空間，在L中定義了一個(gè)二元雙線性運(yùn)算集合｛［·，·］k｜k∈S｝，其中［·，·］k：L×L→L是一個(gè)二元映射，若以下兩個(gè)條件成立：

則稱L為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù)，記為（L，［·，·］k∈S）.條件（2）稱為Jacobi擬恒等式.

定義1.3［1］L為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù)，I是L的子空間.若?k∈S，有［L，I］k?I，則稱I是L的理想.

定義1.4［1］L為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù)，N是L的子空間.若?k∈S，有［N，N］k?N，則稱N是L的子代數(shù).

定義1.5L為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù)，D是L上的一個(gè)線性變換，如果?k∈S，?x，y∈L，D（［x，y］k）＝［Dx，y］k＋［x，Dy］k，則稱D為L(zhǎng)一個(gè)導(dǎo)子，記DerL＝｛D∈ɡl（L）｜D為L(zhǎng)的導(dǎo)子｝.

例 設(shè)S為非空集合，V是復(fù)數(shù)域C上的n維向量空間.記V上的所有線性變換的集合為ɡl（V），由定義1.2知ɡl（V）關(guān)于方括號(hào)積｛［A，B］k＝φ（k）（AB－BA）｜A，B∈ɡl（V），k∈S｝構(gòu)成在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù)，其中φ：k｜→φ（k）是一個(gè)從S到F＊的映射，那么李代數(shù)L可以被視為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù).

2 Frattini子代數(shù)

3 c可補(bǔ)第一類李擬代數(shù)

若x?N（L），則存在L的理想C滿足x?C.故L／C是冪零的.

設(shè)x1?N（L）與C1是滿足x1?C1的理想且L／C1是冪零的.若C1?N（T），則結(jié)論成立；若不是，則選取x2∈C1＼N（L），并設(shè)C2是滿足x2?C2的理想且L／C2冪零.顯然

致謝 感謝陳良云副教授在我訪問(wèn)東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院時(shí)給予的指導(dǎo)與幫助！

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［2］溫啟軍，錢玲，陳良云.Jordan李代數(shù)的分解與Frattini理論［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，42（4）：12－16.

［3］TOWER D A，VAREA V R.Elementary Lie algebras Lie algebras［J］.J Algebra，2007，312：891－901.

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［6］CHEN L Y，MENG D J，ZHANG Y Z.The Frattini subalgebra of restricted Lie Superalgebras［J］.Acta Math Sinica：English Series，2006，22（5）：1343－1356.

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Frattini subalgebras andc－supplemented subalgebras for Lie－like algebras1－st

WEN Qi－jun，XIAO Yu－shan
（School of Sciences，Changchun University，Changchun 130022，China）

In this present paper，initially Frattini subalgebras andc－supplemented subalgebras are developed for Lie－like algebras1－st，obtained some properties of the Frattini subalgebras andcsupplemented subalgebras and give their relationship.

Lie－like algebras1－st；Frattini subalgebrs；c－supplemented subalgebras

O 152.5

110·21

A

1000－1832（2011）04－0020－05

2010－06－30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10701019）.

溫啟軍（1973—），男，碩士，講師，主要從事李代數(shù)研究；肖玉山（1964—），男，博士，教授，主要從事統(tǒng)計(jì)學(xué)研究.

陶 理）