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    第一類李擬代數(shù)的Frattini子代數(shù)與c可補(bǔ)子代數(shù)

    2011-12-27 03:50:36溫啟軍肖玉山
    關(guān)鍵詞:子代數(shù)導(dǎo)子玉山

    溫啟軍,肖玉山

    (長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130022)

    第一類李擬代數(shù)的Frattini子代數(shù)與c可補(bǔ)子代數(shù)

    溫啟軍,肖玉山

    (長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130022)

    把Frattini理論推廣到第一類李擬代數(shù),得到了第一類李擬代數(shù)的Frattini子代數(shù)的若干性質(zhì),并研究了第一類李擬代數(shù)的c可補(bǔ)子代數(shù)的重要性質(zhì),給出它們之間的重要關(guān)系.

    第一類李擬代數(shù);Frattini子代數(shù);c可補(bǔ)子代數(shù)

    1 預(yù)備知識(shí)

    李代數(shù)不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有重要的地位,而且在理論物理研究中也具有不容忽視的作用.作為李代數(shù)(李超代數(shù))的自然推廣,人們給出6種新推廣的代數(shù),分別稱為第一、二、三類李擬代數(shù),根據(jù)結(jié)合代數(shù)與李代數(shù)之間的密切聯(lián)系,文獻(xiàn)[1]給出了不變子代數(shù)和第一、二、三類李擬代數(shù)(李擬超代數(shù))之間的密切聯(lián)系.

    在文獻(xiàn)[1]中,作者把有限維李代數(shù)對(duì)于基的結(jié)構(gòu)常數(shù)、可解性、冪零性、同態(tài)基本定理、導(dǎo)子等性質(zhì)推廣到了在一個(gè)非空有限集合S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù)上,主要給出了第一類李擬代數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)[2-5].李代數(shù)等代數(shù)的Frattini子代數(shù)與c可補(bǔ)子代數(shù)已經(jīng)有了較多的研究[4-8],本文主要把Frattini理論推廣到第一類李擬代數(shù),得到了第一類李擬代數(shù)的Frattini子代數(shù)的若干性質(zhì),研究了第一類李擬代數(shù)的c可補(bǔ)子代數(shù)的重要性質(zhì),并給出它們之間的重要關(guān)系.本文總設(shè)S是非空集合,符號(hào)和術(shù)語(yǔ)與文獻(xiàn)[3-6]一致.

    定義1.1[4]設(shè)G是域F上的線性空間,若G中有二元雙線性運(yùn)算(x,y)→[x,y]滿足以下兩個(gè)條件:

    則稱G為域F上的李代數(shù).條件(2)稱為Jacobi恒等式.

    定義1.2[1]設(shè)L是域F上的向量空間,在L中定義了一個(gè)二元雙線性運(yùn)算集合{[·,·]k|k∈S},其中[·,·]k:L×L→L是一個(gè)二元映射,若以下兩個(gè)條件成立:

    則稱L為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù),記為(L,[·,·]k∈S).條件(2)稱為Jacobi擬恒等式.

    定義1.3[1]L為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù),I是L的子空間.若?k∈S,有[L,I]k?I,則稱I是L的理想.

    定義1.4[1]L為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù),N是L的子空間.若?k∈S,有[N,N]k?N,則稱N是L的子代數(shù).

    定義1.5L為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù),D是L上的一個(gè)線性變換,如果?k∈S,?x,y∈L,D([x,y]k)=[Dx,y]k+[x,Dy]k,則稱D為L(zhǎng)一個(gè)導(dǎo)子,記DerL={D∈ɡl(L)|D為L(zhǎng)的導(dǎo)子}.

    例 設(shè)S為非空集合,V是復(fù)數(shù)域C上的n維向量空間.記V上的所有線性變換的集合為ɡl(V),由定義1.2知ɡl(V)關(guān)于方括號(hào)積{[A,B]k=φ(k)(AB-BA)|A,B∈ɡl(V),k∈S}構(gòu)成在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù),其中φ:k|→φ(k)是一個(gè)從S到F*的映射,那么李代數(shù)L可以被視為在S上誘導(dǎo)出的第一類李擬代數(shù).

    2 Frattini子代數(shù)

    3 c可補(bǔ)第一類李擬代數(shù)

    若x?N(L),則存在L的理想C滿足x?C.故L/C是冪零的.

    設(shè)x1?N(L)與C1是滿足x1?C1的理想且L/C1是冪零的.若C1?N(T),則結(jié)論成立;若不是,則選取x2∈C1\N(L),并設(shè)C2是滿足x2?C2的理想且L/C2冪零.顯然

    致謝 感謝陳良云副教授在我訪問(wèn)東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院時(shí)給予的指導(dǎo)與幫助!

    [1]KWASNIEWSKI,ANDRZEJ KRZYSZTOF.On graded Lie-like algebras[J].Bull Soc Sci Lett,1989,39:5-19.

    [2]溫啟軍,錢玲,陳良云.Jordan李代數(shù)的分解與Frattini理論[J].東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,42(4):12-16.

    [3]TOWER D A,VAREA V R.Elementary Lie algebras Lie algebras[J].J Algebra,2007,312:891-901.

    [4]STITZINGER E L.The Frattini subalgebra of a Lie algebras[J].J London Math Soc,1970,2(2):177-182.

    [5]MALEK A A.The Frattini subalgebra of a malcev algebras[J].Arch Math,1981,37:306-315.

    [6]CHEN L Y,MENG D J,ZHANG Y Z.The Frattini subalgebra of restricted Lie Superalgebras[J].Acta Math Sinica:English Series,2006,22(5):1343-1356.

    [7]BECHTELL H.Frattini subgroups andφ-central groups[J].Pacific J Math,1966(18):15-23.

    [8]BAI R P,CHEN L Y,MENG D J.The Frattini subalgebra ofn-Lie algebras[J].Acta Math Sinica:English Series,2007,23(5):847-856.

    Frattini subalgebras andc-supplemented subalgebras for Lie-like algebras1-st

    WEN Qi-jun,XIAO Yu-shan
    (School of Sciences,Changchun University,Changchun 130022,China)

    In this present paper,initially Frattini subalgebras andc-supplemented subalgebras are developed for Lie-like algebras1-st,obtained some properties of the Frattini subalgebras andcsupplemented subalgebras and give their relationship.

    Lie-like algebras1-st;Frattini subalgebrs;c-supplemented subalgebras

    O 152.5

    110·21

    A

    1000-1832(2011)04-0020-05

    2010-06-30

    國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10701019).

    溫啟軍(1973—),男,碩士,講師,主要從事李代數(shù)研究;肖玉山(1964—),男,博士,教授,主要從事統(tǒng)計(jì)學(xué)研究.

    陶 理)

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