位勢(shì)問(wèn)題的雜交有限元算法研究

趙新娟,趙吉義

(1.河南工業(yè)大學(xué),鄭州450052;2.平原工業(yè)濾器有限公司,河南新鄉(xiāng)453000)

位勢(shì)問(wèn)題的雜交有限元算法研究

趙新娟1,趙吉義2

(1.河南工業(yè)大學(xué),鄭州450052;2.平原工業(yè)濾器有限公司,河南新鄉(xiāng)453000)

利用各向異性位勢(shì)問(wèn)題的基本解,推導(dǎo)出了一種用于求解二維各向異性位勢(shì)問(wèn)題的雜交有限元方法.在該方法中,用基本解的線性組合近似表示的單元域內(nèi)的位勢(shì)場(chǎng)分布可以解析滿足控制方程,而采用普通的形函數(shù)插值表示的單元邊界位勢(shì)場(chǎng)被用于保證單元之間的協(xié)調(diào)性要求;結(jié)合新構(gòu)造的積分雜交泛函,可以得到只涉及單元邊界積分的計(jì)算公式.算例結(jié)果表明了該算法的精確性和有效性,且可以推廣到其他問(wèn)題的求解.

雜交有限元法;基本解;各向異性;位勢(shì)問(wèn)題

作為一種基于基本解(格林函數(shù))的邊界積分型算法,邊界元法(邊界積分方程方法)存在邊界點(diǎn)及近邊界點(diǎn)奇異和幾乎奇異積分的計(jì)算難點(diǎn),其準(zhǔn)確性很大程度上依賴于這些奇異積分的計(jì)算精度,且當(dāng)源點(diǎn)為域內(nèi)近邊界點(diǎn)時(shí),其物理參量的計(jì)算通常由于幾乎奇異積分導(dǎo)致失效,這種現(xiàn)象稱為邊界層效應(yīng)[1-2].除了邊界元法之外,基于基本解插值的雜交有限元法是另外一種新興的計(jì)算方法.該方法融合了有限元法[3]和邊界元法的計(jì)算優(yōu)勢(shì),可以同時(shí)消除邊界元法中的奇異積分計(jì)算和邊界層效應(yīng),提高近邊界位勢(shì)梯度計(jì)算精度.該算法利用相互獨(dú)立的單元域內(nèi)和單元邊界插值方案,可以構(gòu)造出滿足需要的單元類型和保持單元邊界積分特性.為了保證控制方程的解析滿足,基本解的線性組合被用于構(gòu)造單元域內(nèi)位勢(shì)場(chǎng),而普通有限元插值則被用來(lái)構(gòu)造單元邊界位勢(shì)場(chǎng),以保證相鄰單元之間的協(xié)調(diào)性要求.文獻(xiàn)[4]導(dǎo)出了二維位勢(shì)問(wèn)題的雜交有限元計(jì)算公式,并討論了不同的插值方案對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響;文獻(xiàn)[5]研究了正交各向異性材料中彈性響應(yīng)的雜交有限元分析;文獻(xiàn)[6]研究了復(fù)雜生物結(jié)構(gòu)眼睛中生物熱的雜交有限元分析.除此之外,國(guó)內(nèi)外尚無(wú)這種算法研究的公開報(bào)道.本文將推導(dǎo)各向異性位勢(shì)問(wèn)題的雜交有限元法實(shí)現(xiàn)過(guò)程,并采用此算法計(jì)算各向異性介質(zhì)內(nèi)的位勢(shì)場(chǎng)分布.

1 雜交有限元法分析過(guò)程

二維各向異性材料位勢(shì)問(wèn)題的控制方程為[7]:

式中:u是待求的勢(shì)函數(shù);kij(i=1,2;j=1,2)是各向異性材料特性系數(shù).對(duì)該問(wèn)題,其對(duì)應(yīng)的雜交泛函可以為:

式中:,表示法向勢(shì)流;是給定的邊界條件;u和u分別表示相互獨(dú)立的單元域內(nèi)插值場(chǎng)和邊界插值場(chǎng).

在基于基本解的雜交有限元算法中,單元域內(nèi)位勢(shì)場(chǎng)被假設(shè)為基本解的線性組合,例如:

而單元邊界位勢(shì)場(chǎng)則被假設(shè)為普通的形函數(shù)插值:

式中,{ce}和{de}分別為插值系數(shù)和未知的節(jié)點(diǎn)位勢(shì)矢量.其基本解為:

(x1,x2)為場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo),(xs1,xs2)為源點(diǎn)坐標(biāo).

對(duì)式(2),用高斯散度定理可以消除域積分,從而得到如下形式的單元邊界積分方程:

把式(3)和式(4)代入式(6)得到

其中:

為了建立{ce}和{de}之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系并得到剛度方程,給出泛函Πe的極值條件:

進(jìn)而可以得到:

至此,我們已經(jīng)推導(dǎo)出了各向異性材料位勢(shì)問(wèn)題的雜交有限元分析公式.從中我們發(fā)現(xiàn),獨(dú)立的插值方案和完全的邊界積分允許自行構(gòu)造單元,而不必局限于普通有限元法中的單元類型,這為構(gòu)造滿足需要的特殊單元提供了保障.下面考察各向異性正方形區(qū)域內(nèi)的位勢(shì)分布.

假設(shè)材料的各向異性參數(shù)為k11=1,k22=5,k12=2,正方形邊長(zhǎng)為6 m,邊界條件如圖1所示.該問(wèn)題的精確解為T(x1,x2)=3x21-x22+x1x2.采用49個(gè)8節(jié)點(diǎn)單元,方形區(qū)域內(nèi)的位勢(shì)分布如圖2所示.可以看到,采用本文所提出的雜交有限元算法得到的計(jì)算結(jié)果和ABAQUS結(jié)果吻合較好,說(shuō)明該算法具有較好的計(jì)算精度.

2 結(jié) 語(yǔ)

本文導(dǎo)出了一種用于求解二維各向異性位勢(shì)問(wèn)題的雜交有限元方法.該方法采用基本解的線性組合近似表示單元域內(nèi)的位勢(shì)場(chǎng)分布,單元邊界位勢(shì)場(chǎng)采用普通的形函數(shù)插值,結(jié)合新構(gòu)造的積分雜交泛函,可以得到只涉及單元邊界積分的計(jì)算公式.算例結(jié)果表明了該算法的精確性和有效性,且可以推廣到其他問(wèn)題的求解.

[1]Brebbia C A,Telles J C F,W robel L C.Boundary Element Techniques[M].Berlin:Sp ringer-Verlag,1984.

[2]周煥林,牛忠榮,王秀喜,等.正交各向異性位勢(shì)問(wèn)題邊界元法中幾乎奇異積分的解析算法[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),2005,22(2):193-198.

[3]Chandrupatla T R,Belegundu A D.Introduction to Finite Elements in Engineering(3rd ed)[M].New Jersey:Prentice Hall,2002.

[4]Wang H,Qin Q H.Hybrid FEM w ith Fundamental Solutions as Trial Functions for Heat Conduction Simulation[J].Acta Mechanica Solida Sinica,2009,22(5):487-498.

[5]Wang H,Qin Q H.Fundamental-solution-based Finite Element Model for Plane Orthotropic Elastic Bodies[J].European Journal of Mechanics-A/Solids,2010,29(5):801-809.

[6]Wang H,Qin Q H.FEApp roach w ith Green’s Function as Internal Trial Function fo r Simulating Bioheat Transfer in the Human Eye[J].A rchievesof Mechanics,2010,62(6):493-510.

[7]Carslaw H S,Jaeger J C.Conduction of Heat in Solids(2nd ed)[M].Oxfo rd:Oxfo rd University Press,1959.

Potential Problems in Anisotropic Solids Using Hybrid Finite Element Model

ZHAO Xin-juan1,ZHAO Ji-yi2
(1.Henan University of Technology,Zhengzhou 450052;2.Pingyuan Industry Filter Co.,L td,Xinxiang 453000,China)

The hybrid finite element formulation is developed in the paper for p lane anisotropic potential analysis.The linear com bination of fundamental solution is used to app roximate the element interio r field,w hile the app roximation of shape function is used to give element boundary field.The hybrid variational is constructed to link these two fields and p roduce the final system of equations involving boundary integrals only.Numerical results show that the p roposed app roach has good accuracy,and can be extended to solve other p roblem s.

hybrid finite element;fundamental solution;anisotropy;potential p roblem s

O343.1

A

10.3969/j.issn.1671-6906.2011.01.016

1671-6906(2011)01-0059-03

2011-01-15

趙新娟(1976-),女,河南新鄉(xiāng)人,講師.