基于變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量的小子樣靜態(tài)一致性檢驗(yàn)

郝晉峰，郭 輝，李經(jīng)中，王 琦，徐 成

（1.軍械工程學(xué)院六系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學(xué)外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，河北石家莊 050018；3.66440部隊(duì)，河北石家莊 050081；4.78636部隊(duì)，四川什邡 618419）

基于變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量的小子樣靜態(tài)一致性檢驗(yàn)

郝晉峰1，郭 輝2，李經(jīng)中1，王 琦3，徐 成4

（1.軍械工程學(xué)院六系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學(xué)外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，河北石家莊 050018；3.66440部隊(duì)，河北石家莊 050081；4.78636部隊(duì)，四川什邡 618419）

針對(duì)小子樣條件下靜態(tài)一致性檢驗(yàn)問(wèn)題，介紹了利用次序統(tǒng)計(jì)量相關(guān)理論進(jìn)行一致性檢驗(yàn)的部分方法，在對(duì)此類(lèi)方法的檢驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行深入探討的基礎(chǔ)上，借鑒已有的部分研究結(jié)論，對(duì)利用變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行一致性檢驗(yàn)的思路和方法進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)后的方法適用于任意分布子樣，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便且檢驗(yàn)效果良好。

小子樣；一致性檢驗(yàn)；秩和檢驗(yàn)法；次序統(tǒng)計(jì)量；變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量

武器裝備試驗(yàn)和鑒定工作中，由于試驗(yàn)成本等客觀條件的限制，完全依靠現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息進(jìn)行試驗(yàn)分析的方法已無(wú)法滿足現(xiàn)實(shí)需求。隨著仿真技術(shù)的日漸成熟，研究人員更加關(guān)注小子樣條件下合理利用仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)統(tǒng)計(jì)決策的研究。由于數(shù)據(jù)是對(duì)實(shí)際情況的模擬，其結(jié)果可信性、與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)差異性，將直接影響到后續(xù)試驗(yàn)鑒定方法的合理運(yùn)用，因此在利用仿真數(shù)據(jù)前，必須對(duì)其與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一致性進(jìn)行驗(yàn)證，即一致性檢驗(yàn)。

目前，針對(duì)一致性檢驗(yàn)方法的討論很多，方法研究也較為成熟，但適用于小子樣情況下的檢驗(yàn)方法還比較少。文獻(xiàn)［1］對(duì)小子樣條件下秩和檢驗(yàn)法的應(yīng)用進(jìn)行了討論，但秩和檢驗(yàn)法適用范圍相對(duì)較小，某些情況下檢驗(yàn)精確度不甚理想。部分研究人員又提出了利用次序統(tǒng)計(jì)量的相關(guān)理論來(lái)解決一致性檢驗(yàn)問(wèn)題的方法［2］，但其理論推導(dǎo)過(guò)程存在一定的缺陷，文獻(xiàn)［3］對(duì)文獻(xiàn)［2］中的方法進(jìn)行了深入分析，指出了原有方法的缺陷，并提出了一系列利用變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行一致性檢驗(yàn)的方法，較好地解決了部分特定分布子樣的一致性檢驗(yàn)問(wèn)題，但沒(méi)有給出適用于任意分布的小子樣一致性檢驗(yàn)的思路和方法［4］。

筆者通過(guò)對(duì)秩和檢驗(yàn)法和某正態(tài)分布數(shù)據(jù)一致性檢驗(yàn)方法的進(jìn)一步分析，并結(jié)合已有研究結(jié)論，給出了利用次序統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量對(duì)小子樣條件下任意分布進(jìn)行一致性檢驗(yàn)的思路和方法。

1 一致性檢驗(yàn)的基本方法和思路

1.1 基本方法

研究子樣間一致性問(wèn)題的方法有很多，比較成熟的定量方法為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的方法。設(shè)有2組樣本（X1，X2，…，Xn）和（Y1，Y2，…，Yn），其分布函數(shù)為F（x）和G（y），驗(yàn)證2組子樣的一致性就是要驗(yàn)證2組子樣是否符合同一分布。根據(jù)試驗(yàn)背景的不同，大體有以下3種情況。

1）2組子樣分布形式相同且已知，但分布參數(shù)未知。在工程試驗(yàn)中，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)有時(shí)可以提前預(yù)知2組子樣的分布形式，但分布參數(shù)未知，此時(shí)可利用參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的方法來(lái)驗(yàn)證2組子樣分布的分布參數(shù)相同，進(jìn)一步得到一致性結(jié)論。

2）2組子樣中，一組子樣分布完全已知，另一組子樣分布未知。假設(shè)分布G（y）完全已知，而F（x）未知，此時(shí)的一致性檢驗(yàn)問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證子樣（X1，X2，…，Xn）服從分布G（y）的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)問(wèn)題。

3）2組子樣分布的形式與參數(shù)均未知。此時(shí)可利用非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)2組子樣分布進(jìn)行相等性檢驗(yàn)。

1.2 基本思路

小子樣情況指現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)子樣較少的情況，對(duì)仿真試驗(yàn)樣本量沒(méi)有特定要求，因此在處理小子樣一致性檢驗(yàn)問(wèn)題時(shí)一般有2種基本思路：一種是利用自助法（Bootstrap）等方法對(duì)子樣進(jìn)行再抽樣，將小子樣轉(zhuǎn)化為大子樣問(wèn)題，然后選取適合大子樣的假設(shè)檢驗(yàn)方法進(jìn)行一致性檢驗(yàn)；另一種則是直接選用適合小子樣的方法進(jìn)行，如W 檢驗(yàn)、秩和檢驗(yàn)等等。

2 小子樣條件下一致性檢驗(yàn)

在檢驗(yàn)過(guò)程中利用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)對(duì)分布形式進(jìn)行近似，以次序統(tǒng)計(jì)量為出發(fā)點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

3 基于變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量的一致性檢驗(yàn)

文獻(xiàn)［2］介紹了利用變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量對(duì)任意分布進(jìn)行一致性檢驗(yàn)的基本思路，但該思路存在一定的理論缺陷［3］，文獻(xiàn)［4］提出了一系列利用變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行一致性檢驗(yàn)的方法，筆者以正態(tài)分布子樣的檢驗(yàn)方法為例，對(duì)其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布的一般形式以及一般情況下該檢驗(yàn)方法的運(yùn)用進(jìn)行深入探討。

3.1 變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量定義

假設(shè)存在2組子樣（x1，x2，…，xn1）和（y1，y2，…，yn2），由小到大混合排序記為 X（1）≤X（2）≤…≤X（n1＋n2），其中n1＋n2＝n，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，稱其為變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量［4］。利用該統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行的檢驗(yàn)為一種多尺度分析，是以Xk－Xi為尺度測(cè)量Xj與Xi有無(wú)差異性。

3.2 相關(guān)分析

可以看出，上述檢驗(yàn)方法對(duì)于不同的i，j，k取值，Xijk的分布函數(shù)非常難于求解，而且其分布函數(shù)不具有一般表達(dá)式，其臨界值也只能通過(guò)大量模擬計(jì)算求得。在實(shí)際的工程試驗(yàn)鑒定中，此檢驗(yàn)方法計(jì)算量過(guò)大，適用范圍比較窄，只適用于n非常小的情況下正態(tài)分布數(shù)據(jù)的一致性檢驗(yàn)問(wèn)題。雖然文獻(xiàn)［4］提出了一系列的檢驗(yàn)方法，但這些方法均是針對(duì)某類(lèi)分布的特定方法，不具有一般性。因此，有必要提出一種計(jì)算簡(jiǎn)便且適用于任意分布的基于變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量的一致性檢驗(yàn)思路和方法。

4 任意分布的變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)

根據(jù)以上討論，并借鑒文獻(xiàn)［2］—文獻(xiàn)［4］的相關(guān)結(jié)論，利用變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量，給出任意分布下靜態(tài)一致性檢驗(yàn)的思路和方法。

4.1 基本原理

給定不同的α，以雙側(cè)檢驗(yàn)為例，可設(shè)定P｛Zijk＜z1｝＝P｛Zijk＞z2｝＝α／2，查不完全β函數(shù)表或通過(guò)模擬計(jì)算可求得相應(yīng)的z1，z2值。同時(shí)可看出ak的表達(dá)式即為次序統(tǒng)計(jì)量X（k）的分布函數(shù)，根據(jù)子樣分布F（x）的不同，可分別求得ak的值，進(jìn)一步可得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Zijk的值。若z1＜Zijk＜z2，則αk符合U（0，1）均勻分布，2個(gè)子樣相容；若Zijk≤z1或Zijk≥z2，則αk不符合U（0，1）均勻分布，2組子樣不相容。

4.2 相關(guān)分析

1）上述方法適用于任意分布的一致性檢驗(yàn)，并且在進(jìn)行檢驗(yàn)前子樣所符合的總體分布F（X）需完全已知。在無(wú)法預(yù)知分布時(shí)，若仿真子樣充足，則直接計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布Fn（X）用以近似F（X）；若仿真子樣也略顯不足，則利用Bootstrap法對(duì)子樣進(jìn)行再抽樣以獲得足夠的再生子樣，利用再生子樣計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布（X）用以近似F（X），最后運(yùn)用上述方法進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

2）利用上述方法進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，需對(duì)所有αk構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Zijk進(jìn)行逐一討論，有1個(gè)不符合一致性條件則認(rèn)定2個(gè)子樣不相容。

3）上述方法是利用了變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量對(duì)αk是否滿足U（0，1）進(jìn)行了檢驗(yàn)，也可以利用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)αk是否滿足U（0，1）。

5 算例分析

以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布U（0，1）為例，隨機(jī)產(chǎn)生子樣x1＝1.066 8，x2＝－0.095 6，x3＝0.059 3，x4＝0.294 4，x5＝－0.832 3，利用4.1所述任意分布一致性檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

將子樣排序有次序統(tǒng)計(jì)量：x（1）＝－0.832 3，x（2）＝－0.095 6，x（3）＝0.059 3，x（4）＝0.294 4，x（5）＝1.066 8。利用式（3）有α1＝0.677 6，α2＝0.761 3，α3＝0.544 2，α4＝0.364 8，α5＝0.462 3，將αk排序并求得個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Zijk的值。

令α＝0.05，設(shè)定P｛Zijk＜z1｝＝P｛Zijk＞z2｝＝α／2，利用 Matlab逆累計(jì)積分布函數(shù)計(jì)算可求得此時(shí)的拒絕域z1和z2的值，將Zijk與z1，z2同時(shí)列于表1?？梢钥闯?，對(duì)任意Zijk，均有z1＜Zijk＜z2，故子樣滿足一致性。

表1 n＝5時(shí)，Zijk與z 1，z 2的取值Tab.1 Values of z 1，z2 and Zijk when n＝5

6 結(jié) 語(yǔ)

筆者針對(duì)小子樣條件下靜態(tài)一致檢驗(yàn)問(wèn)題，介紹了利用次序統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造變尺度差商比序列統(tǒng)計(jì)量對(duì)任意分布小子樣靜態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行一致性檢驗(yàn)的基本思路和方法，通過(guò)與已有檢驗(yàn)方法的對(duì)比分析和實(shí)例驗(yàn)證得出，該方法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布形式確定且易于計(jì)算，適用于任意分布形式數(shù)據(jù)的一致性驗(yàn)證。

［1］ 張湘平，張金槐，謝紅衛(wèi).驗(yàn)前信息與現(xiàn)場(chǎng)子樣的相容性檢驗(yàn)方法研究［J］.飛行器測(cè)控學(xué)報(bào)（Journal of Spacecraft TT and C Technology），2002，21（1）：55-59.

［2］ 唐雪梅.小樣本場(chǎng)合下相容性檢驗(yàn)方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)（Systems Engineering and Electronics），2001，23（10）：66-80.

［3］ 王 暉，潘高田，臧興震，等.正態(tài)分布的小樣本數(shù)據(jù)的相容性檢驗(yàn)理論和方法［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)（Mathematics in Practice and Theory），2005，35（3）：131-137.

［4］ 潘高田，潘 峰，王 暉，等.順序統(tǒng)計(jì)量在小樣本檢驗(yàn)中的理論和方法研究［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)（Chinese Journal of Engineering Mathematics），2005，22（2）：301-306.

［5］ 李 姝.導(dǎo)彈系統(tǒng)仿真模型驗(yàn)證方法研究［D］.長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)，2003.

［6］ 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京：高等教育出版社，1982.

［7］ 張金槐，唐雪梅，邵鳳昌.武器裝備小子樣試驗(yàn)分析與評(píng)估［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2001.

Static consistency inspection under small sample circumstance based on statistic of difference quotient ratio series in variable metric

HAO Jin-feng1，GUO Hui2，LI Jing-zhong1，WANG Qi3，XU Cheng4
（1.The Sixth Department，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang Hebei 050003，China；2.College of Foreign Languages，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China；3.No.66440 Unit of PLA，Shijiazhuang Hebei 050081，China；4.No.78636 Unit of PLA，Shifang Sichuan 618419，China）

The paper presents some methods of static consistency inspection for simulation data under small sample circumstance with order statistics.Based on the discussion of these methods and by using some results for reference，the consistency inspection based on the statistic of difference quotient ratio series in variable metric is improved，which is fit for arbitrary distributions and has a better inspection effect.

small sample；consistency inspection；rank sum test；order statistics；statistic of difference quotient ratio series in variable metric

O635

A

1008-1542（2011）05-0413-04

2011-04-05；

2011-08-27；責(zé)任編輯:張 軍

郝晉峰（1984-），男，河北新樂(lè)人，博士研究生，主要從事裝備維修保障等方面的研究。