單原子層磁性納米帶的自旋波譜①

米斌周 莊云飛

(華北科技學院基礎部,北京東燕郊 101601)

單原子層磁性納米帶的自旋波譜①

米斌周②莊云飛

(華北科技學院基礎部,北京東燕郊 101601)

本文利用量子統計理論的多體格林函數方法計算了單原子層磁性納米帶的自旋波的色散關系。帶寬為L的納米帶,其自旋波能譜有L條,自旋波能量隨溫度的升高而降低。溫度接近居里點時,自旋波能量趨于零,可以稱之為模式的軟化。零溫時,準一維納米帶體系的自旋波能量曲線隨帶寬的變寬而上升,最后趨于二維平面的數值。把單原子層磁性納米帶與單壁磁性納米管的自旋波能譜做比較,前者的自旋波能量是非簡并的,后者是簡并的。自旋波能量簡并在物理上是由對稱性所致,與納米管相比,納米帶的幾何對稱性明顯降低了。

磁性納米帶;量子自旋模型;格林函數方法;自旋波

0 引言

納米帶由美國佐治亞理工學院王中林研究小組在 2001年首次實驗報道[1-3]。隨后,人們利用不同的方法制備出了各種半導體氧化物或非氧化物的納米帶狀結構[4-8]。納米帶[1-8]具有長方形截面,寬度和厚度在納米量級,寬厚比較大,長度可達微米或毫米量級,是一種沒有缺陷 (例如空缺或斷層)的單晶納米結構[9,10]。這種納米帶狀結構有望成為納米器件的重要基本成分,并且為基礎研究和技術應用提供一個良好的機會。關于納米帶的實驗[9-13]及理論[14,15]研究,人們已經做了相關的工作。文獻[15]利用基于第一性原理的密度泛函理論計算了MoS2納米帶的磁學和電學性質等。2010年,文獻[16,17]將量子統計理論的多體格林函數方法應用到了介觀領域,分別對磁性納米管和納米帶的磁學性質進行了完全的量子化描述,加深了人們對于磁性納米管和納米帶的認識,對實驗和進一步理論研究都有一定參考價值。由于格林函數在理論技術上存在的困難以及計算時間的限制,作者只處理了單壁磁性納米管和單層磁性納米帶。

雖然文獻[17]對單原子層磁性納米帶的磁學性質進行了較為詳盡的研究,由于篇幅的限制,沒有對自旋波譜做深入的討論。本文在文獻[17]研究的基礎上,對自旋波譜做一個較為深入的研究。本文利用量子統計理論的多體格林函數方法詳細計算和深入討論了單原子層磁性納米帶的自旋波譜。

1 模型和計算公式

計算模型如圖 1所示,單原子層納米帶沿著z軸方向,亦即長度所在的方向看成無限長。寬度所在的方向設為y軸。我們就說納米帶的寬度(簡稱帶寬)為L,即沿著y軸方向的行數 (line)是L。每一個格點上有一個自旋,晶格常數設為a。

圖 1 單層納米帶模型圖

我們給出體系的海森伯交換哈密頓量為:

其中下標用希臘字母μ表示行數,英文字母i、j指標每行上的格點。例如,μi表示第μ行第i個格點。前兩項是海森伯交換作用項,其中第一項表示同一行上格點之間的交換作用,第二項表示相鄰行之間的交換作用,這里都只考慮最近鄰格點間的交換。第三項是單離子各向異性項。第四項是外場能。本文的數值計算中取:Jμ=100,K2μ=1(μ=1,2,…L),Jμ,μ+1=100,(μ =1,2…,L-1)。所有的參量以及溫度都是無量綱的量。

根據Mer min-Wagner定理[18],對于一維或二維各向同性海森伯系統,不存在自發(fā)磁化。但是,如果體系引入單離子各向異性,無論它多么小,就會產生自發(fā)磁化。文獻[17]證實了這一點。定義推遲格林函數:

(2)式中的算符向量取為:

其中α是一個參量。

這里的格林函數是一個L×L矩陣(L階方陣)。求解格林函數的過程同文獻[17],這里不再詳細推導,只做簡要說明。格林函數的一級極點就是這個系統的自旋波能譜ωτ=ωτ(p)。也就是說,計算系統的自旋波譜就是求 P矩陣[17]的本征值ωτ。

矩陣 P是三對角實矩陣,其非零矩陣元為:

這里,我們用〈〉表示第μ行的磁化強度,用S表示自旋量子數。

要求解 P矩陣[17]的本征值ωτ,為此,必須先求出系統的磁化強度。磁化強度的計算公式同文獻[18-20]。

當S=1/2時,即使加上 (1)式等號右邊的第三項,即單軸各向異性項,也不顯現各項異性[20]。因此,本文只計算S=1時的情況。

2 數值結果和分析

矩陣 P的所有特征值ωv是波矢p的函數,ωv=ωv(p),它就是這個系統的自旋波能譜?，F在令Bz=0,計算無外磁場時自旋波的色散關系。色散關系表述為能量ω(p)與波矢p的關系,如圖2所示。自旋量子數S=1,計算參數取為:(a)T=0,L=5;(b)T=10,L=5;(c)T=0,L=10;(d)T=10,L=10。計算結果表明,納米帶的自旋波能譜有L條。當帶寬L一定時,自旋波能量曲線隨溫度的升高而降低。這是因為自旋波能量ω(p)正比于磁化強度,溫度升高,磁化強度降低,因此元激發(fā)的能量也就降低。

圖 2 低溫下自旋波的色散關系曲線

色散關系表述為能量ω(p)與波矢pa的關系,自旋量子數S=1.計算參數取為:(a)T=0,L=5;(b)T=10,L=5;(c)T=0,L=10;(d)T=10,L=10.

數值計算表明,納米帶在S=1,L=5時的居里溫度數值是TC=44.1,圖 3畫出了接近居里點時自旋波的色散關系曲線。自旋量子數S=1,計算參數取為:(a)T=43,L=5;(b)T=44,L=5.同樣可以看出,當帶寬L一定時,自旋波能量曲線隨溫度的升高而降低。并且溫度非常接近居里點時,自旋波能量 (或頻率)趨于零。由于自旋波能量ω(p)是正比于磁化強度的,接近居里點時,磁化強度趨于零,因此自旋波能量 (或頻率)也就趨于零,這個可以稱之為模式的軟化。

色散關系表述為能量ω(p)與波矢pa的關系,自旋量子數S=1.計算參數取為:(a)T=43,L=5;(b)T=44,L=5.TC=44.1.

圖 3 接近居里點時自旋波的色散關系曲線

下面,我們對納米帶的自旋波譜做一些較為深入的研究和討論。圖 2和圖 3畫出了L=5或10時,幾個溫度下的色散關系。從圖 2看到,在同一溫度下,納米帶越寬,色散關系曲線越密集。這里我們定義能級展寬度Δ為一個波矢處的ω的最大值與最小值之差。分析圖 2,納米帶寬度固定時,溫度越高,能級展寬度Δ越窄。溫度一定時,納米帶越寬,能級展寬度Δ也越寬。如果納米帶的帶寬無限增大時,色散曲線會怎樣變化?為了簡單且能說明問題,我們只計算了L=40,T=0時的色散曲線,如圖 4所示?？梢钥闯?這時的色散曲線與圖 2(a)、(c)相比,越來越密集,兩邊的已經連在了一起。如果L再繼續(xù)增大,趨于無限大,色散曲線會連在一起成為連續(xù)譜,量子效應消失。也就是說,納米帶的帶寬L越小,量子效應越顯著。

另外,分析圖 2(a)、(c)和圖 4,納米帶在零溫時的能級展寬度Δ越來越趨于一個常數 400。為了比較,我們也計算了二維平面在零溫時的數值為Δ(2D)=400。我們得到一個結論:零溫時,納米帶的寬度L增大,能級展寬度Δ變寬并且逐漸趨于二維平面的數值。這是為什么呢?先從幾何結構上分析,納米帶的帶寬L趨于無限大時,它的幾何形狀趨于二維單原子層。再從物理上分析,零溫時,系統的熱力學漲落肯定為零。對于量子漲落,則與對稱性有關。先分析體系哈密頓量的對稱性,如果是各向異性,那么量子漲落為零。如果各向同性,那么三維時量子漲落為零。低于三維時,量子漲落是不為零的。換句話說,量子漲落總是有的。只是在三維情況,量子漲落被完全壓抑了。各向異性時也可以說量子漲落被完全壓抑了,體現不出來。我們現在研究的體系是各向異性的,零溫度時體系不存在自旋波能量量子漲落,這似乎與計算結果相矛盾。其實并不矛盾,因為我們在求解格林函數時需要在實空間做傅里葉變換,納米帶和二維平面是有本質差別的。納米帶在一維實空間中 (沿著z軸,波矢記為p)做傅立葉變換,而另一個方向 (y軸)受到限制,能量是分立譜。對于二維平面,在兩個方向 (z軸和y軸)做了傅立葉變換,波矢分別記為p和q,都在第一布里淵區(qū) (FBZ)內,能量是連續(xù)譜。假若納米帶在受到限制的方向上也存在一個波矢q1,這個波矢只能用帶寬L來標識。納米帶的帶寬L趨于無限大時,L標識的波矢q1和二維平面的波矢q的差別才會減小。所以零溫度時的這種差別是由于納米帶的幾何對稱性降低造成的,系統并不存在量子漲落。

圖 4 納米帶 L=40,T=0時的色散曲線 .

在幾何上,納米帶可看成是納米管切開平展而得到的結構,反過來,如果把納米帶卷起來考慮了兩個邊界的耦合,就形成了納米管。幾何結構的不同導致了納米管和納米帶的磁學性質的不同。文獻[17]對納米帶與納米管的自旋波能譜做比較,發(fā)現前者的自旋波能量是非簡并的,而后者是簡并的。納米帶具有鏡像對稱性(納米帶關于過中間行垂直于它的平面是鏡像對稱性的),而納米管的物理圖像如同一個救生圈,納米管除了具有鏡像對稱性外,還具有旋轉對稱性。與納米管相比,納米帶的對稱性明顯降低了。

3 結論

寬度為L的納米帶,其自旋波能譜有L條,ωv=ωv(p),v=1,2,…L.自旋波能量ω(p)隨溫度的升高而降低。溫度接近居里點時,自旋波能量趨于零。我們研究發(fā)現,零溫時,準一維納米帶體系的自旋波能量曲線隨帶寬的變寬而上升,最后趨于二維平面的數值。對單原子層磁性納米帶與單壁磁性納米管的自旋波能譜做比較,前者的自旋波能量是非簡并的,后者是簡并的。自旋波能量簡并在物理上是由對稱性所致,與納米管相比,納米帶的幾何對稱性明顯降低了。

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Spin Waves in FerromagneticM onolayer Nanobelts

M I B inzhou,ZHUANG Yunfei

(Depar tmentOfBasic Curriculum,North China Institute of Science and Technology,Yanjiao Beijing-East 101601)

In this paper,the spin wave spectra of ferromagnetic nanobelts are investigated by means of the the many-body Green’s function method of quantum statistical theory.For a nanobeltwithwidthL,there areLbranchesof energy spectra,ωv=ωv(p),v=1,2,…L.A higher temperature leads to lower energy spectra.The spin-wave energyω(p)dropswith temperature rising,and becomes zero as temperature reachesTC,which is so-called themode softening.At zero temperature,the spin-wave energy is dependent of belt-width,which increaseswithLrising,and approaches that of a 2D monolayer.Comparing the results of spin wave energy spectra of a single-layered nanobeltwith those of a single-walled nanotube,we found that the spectra of the former are non-degenerate.In contrary to that,the spectra of the latter are degenerate.Physically,the degeneracy of the energies is caused by the symmetry.Compared to a nanotube,the symmetry of a nanobelt is reduced significantly.

Ferromagnetic nanobelt;quantized spin models;many-body Green’s function method;spin wave

O 469

A

1672-7169(2011)02-0079-04

2011-03-12

米斌周(1980-),男,甘肅慶陽人,碩士,華北科技學院基礎部物理教研室教師,從事大學物理實驗教學和磁性納米材料的計算與模擬工作。