數(shù)學(xué)分析中分區(qū)間方法及應(yīng)用

孔海濤

(常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部 江蘇常州 213164)

數(shù)學(xué)分析中分區(qū)間方法及應(yīng)用

孔海濤

(常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部 江蘇常州 213164)

系統(tǒng)地介紹了數(shù)學(xué)分析中的“分區(qū)間法”。結(jié)合數(shù)學(xué)分析教材中關(guān)于一致連續(xù)、積分的極限、一致收斂等定義以及性質(zhì)對分區(qū)間法的應(yīng)用進(jìn)行了系統(tǒng)探討，得到一些有用的性質(zhì)和方法。在此基礎(chǔ)上，舉出一些有代表性的例子，進(jìn)一步運(yùn)用所得到的性質(zhì)和方法，力求使學(xué)生在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中加深印象，提高教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)分析;分區(qū)間法;一致連續(xù)

0 引言

在專業(yè)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)分析教材中，“分區(qū)間法”是很常見的，很多定理的證明以及定積分等定義的引入都充分運(yùn)用了“分區(qū)間法”［1-2］。在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，比較常見的是“分區(qū)間法”在一致連續(xù)、定積分的定義、積分的極限、一致收斂、實(shí)數(shù)完備性等方面的應(yīng)用。在整個(gè)數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)體系中，“分區(qū)間法”所扮演的角色舉足輕重，是數(shù)學(xué)高等理論學(xué)習(xí)中獨(dú)具一格的思想方法［3］。

1 “分區(qū)間法”在數(shù)學(xué)分析中的一些應(yīng)用

“分區(qū)間法”，顧名思義，就是將一段區(qū)間分成若干部分，在每一部分上，函數(shù)可能具有相同的性質(zhì)。在專業(yè)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)分析教材中，“分區(qū)間法”是很常見的，很多定理的證明以及定積分等定義的引入都充分運(yùn)用了“分區(qū)間法”。在本科數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，比較常見的是“分區(qū)間法”在一致連續(xù)、定積分的定義、積分的極限、一致收斂、實(shí)數(shù)完備性等方面的應(yīng)用。下文將系統(tǒng)介紹“分區(qū)間法”在上述各方面的具體應(yīng)用。

1.1 “分區(qū)間法”與一致連續(xù)

直觀地說，f在I上一致連續(xù)意味著:不論兩點(diǎn)x'與x"在其中的什么位置，只要它們的距離小于δ，就可使|f(x')－f(x")|＜ε。當(dāng)然，根據(jù)一致連續(xù)定義中δ的出現(xiàn)，正是分區(qū)間的關(guān)鍵。如下面的定理1:

②由Cantor定理，f在［a，Δ+1］上一致連續(xù)，故對此ε＞0，?δ1＞0，當(dāng)x'，x"∈［a，Δ+1］，|x'－x"|＜δ1時(shí)，有

③令δ={1，δ1}，則x'，x"＜a，|x'－x"|＜δ時(shí)，x'，x"要么同屬于［a，Δ+1］，要么同屬于(Δ，∞)。

④從而由(1)、(2)知，只要x'，x"∈［a，∞)，|x'－x"|＜δ，就有|f(x')－f(x")|＜ε，所以f(x)在［a，∞)上一致連續(xù)。

從定理1可以初步了解“分區(qū)間法”與一致連續(xù)問題的關(guān)系，例1更深入證明“分區(qū)間法”在一致連續(xù)相關(guān)問題中的應(yīng)用:

證明:①因f(x)在［0，∞)上一致連續(xù)，所以?ε＞0，?δ＞0，當(dāng)|x'－x"|＜δ(x'，x"＞0)時(shí)，有

在此，只列出函數(shù)一致連續(xù)性相關(guān)問題與“分區(qū)間法”的一些關(guān)系。事實(shí)上，與此類似的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂、含參數(shù)積分一致收斂等符合其一致收斂性性質(zhì)的相關(guān)問題均可考慮“分區(qū)間法”［3］。

1.2 “分區(qū)間法”與積分的極限

當(dāng)極限的表達(dá)式里含有定積分時(shí)，把這種極限稱為積分的極限。對這種極限，求極限的一般方法理論上都是使用的，所不同的，這里需要充分運(yùn)用積分的各種特性和運(yùn)算法則，從而轉(zhuǎn)化為新的定積分［4］。在這些轉(zhuǎn)化過程中，“分區(qū)間法”是一種很重要的能簡化問題并最終解決問題的方法。

注:此例十分典型，將區(qū)間分為兩段:其中一段上函數(shù)有界，可將區(qū)間長度取的任意小，然后固定分點(diǎn)，另一段區(qū)間長度有限，函數(shù)一致趨于零，因此兩段上的積分都任意小。整個(gè)積分趨向零。這也是求解積分的極限時(shí)候最常用的方法。下面的例3也是這種方法更具體的應(yīng)用:

例3:設(shè)f(x)在［0，1］上連續(xù)，則

所以上式極限趨向零.在一些情況下，也可以利用“分區(qū)間法”將定積分的極限轉(zhuǎn)化為某函數(shù)的Darboux的極限，數(shù)學(xué)分析中著名的Riemann引理的證明［5］正是運(yùn)用這樣的思想。

2 結(jié)束語

本文主要介紹了“分區(qū)間法”在數(shù)學(xué)分析中某些方面的應(yīng)用，當(dāng)然“分區(qū)間法”在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，但其在一致連續(xù)、定積分的定義、積分的極限、一致收斂、實(shí)數(shù)完備性方面的應(yīng)用是非常典型的，上述所給出的每一個(gè)例子都具有代表性，能明確地表達(dá)“分區(qū)間法”的意義。

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京:高等教育出版社，1997:53-54.

［2］ 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，1993:67-68.

［3］ 唐美艷.證明函數(shù)一致連續(xù)的幾種方法［J］.貴州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，26(12):7-10.

［4］ 孫秀華，呂誠.探討積分的極限［J］.合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，17(4):70-72.

［5］ 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹［M］.武漢:崇文書局，2009:73-74.

Dividing Method and Its Application in Mathematical Analysis

KONG Hai-tao
(Department of Basic Courses，Changzhou College of Information Technology，Changzhou 213164，China)

The paper mainly introduces the dividing method in mathematical analysis.By analyzing the uniform continuity，the definition of the definite integration，the limit of integration，and uniform convergence we explore the application of the dividing method radically and get some useful conclusions.Based on that，we give some typical examples to illustrate the properties and methods we have got.The purpose of this paper is to improve our teaching effect and make the students learn the course well.

mathematical analysis;dividing method;uniform continuity

O 17

A

1672-2434(2011)03-0047-03

2010-12-28

孔海濤(1980-)，男，講師，從事研究方向:數(shù)學(xué)教育