n－李代數(shù)自同構(gòu)群和導子的提升

王 瑩，王永曦，王 頌，張慶成

（1.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春130024；2.清華大學理學院，北京 100084）

n－李代數(shù)自同構(gòu)群和導子的提升

王 瑩1，王永曦2，王 頌1，張慶成1

（1.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春130024；2.清華大學理學院，北京 100084）

構(gòu)造了n-李代數(shù)的uce函子并定義了它的乘法運算，給出了在函子作用下n-李代數(shù)自同構(gòu)群提升和導子提升的條件是n-李代數(shù)完全，完善了n-李代數(shù)的擴張理論.

n-李代數(shù)；自同構(gòu)群；導子

0 引言

1985年，V.T.Fillippov在文獻［1］中提出了n-李代數(shù)的概念，并給出了第一個n-李代數(shù)的例子，提出了一些結(jié)構(gòu)概念，如單性、冪零性及n＋1維n-李代數(shù)的分類.Sh.m.Kasymov在文獻［2-4］中討論了n-李代數(shù)的可解性和冪零性及其表示問題.1993年，L.A.Takhtajan在文獻［5］中給出了n-李代數(shù)的幾何和物理背景.文獻［6-8］介紹并研究了n-李代數(shù)的擴張、導子、同構(gòu)以及自同構(gòu)群；文獻［9-15］提出了n-李代數(shù)的型心、最大秩的冪零n-李代數(shù)與特征冪零的n-李代數(shù)的概念，并研究了其結(jié)構(gòu).為了完善對各種代數(shù)的研究，人們對它們的中心擴張及自同構(gòu)群和導子的提升問題都進行了研究，如Kac-Moody代數(shù)與Virasoro代數(shù)的中心擴張等.文獻［16］介紹了n-李代數(shù)中心擴張的一些基本概念和理論，給出了n-李代數(shù)L存在泛覆蓋的充分必要條件是L為完全的這一重要結(jié)論.文獻［17-18］對李三系進行了研究，給出限制李三系的一些性質(zhì).本文基于n-李代數(shù)中心擴張問題的已知結(jié)果，借助李超代數(shù)構(gòu)造和證明的一些方法和結(jié)論，主要研究n-李代數(shù)的自同構(gòu)群和導子提升.構(gòu)造了n-李代數(shù)的uce函子，給出并論證了當n-李代數(shù)L完全時，n-李代數(shù)L的自同構(gòu)f能提升為uce（L）的自同構(gòu)uce（f），n－李代數(shù)L的導子d能提升為uce（L）的導子uce（d）.

1 預備知識

如無特殊說明，本文所用的概念和符號均與文獻［16］相同.

2 n-李代數(shù)上uce函子的構(gòu)造

若Z（L）＝0，由性質(zhì)1.1知u（Z（uce（L）））＝Z（L）＝0，Z（uce（L））?Keru＝H2（L）?Z（uce（L）），故有H2（L）＝Z（uce（L））.

3 n-李代數(shù)自同構(gòu)群的提升

4 n-李代數(shù)導子的提升

［1］ FILIPPOV V T.n-Lie algebra［J］.Sib Mat Zh，1985，26（6）：126-140.

［2］ KSAYMOY SH M.On a theory ofn-Lie algebras［J］.Algebra Logika，1987，26（3）：277-297.

［3］ KSAYMOY SH M.On nil-elements and nil-subsets inn-Lie algebras［J］.Sibiskii Math J，1991，32（6）：77-80.

［4］ KSAYMOY SH M.Solvability in representations ofn-Lie algebras［J］.Siberian Math J，1998，39（2）：289-291.

［5］ TAKHTAJAN L A.On foundation of the generalized nambu mechanics［J］.Comm in Mathematical Physics，1994，160（2）：295-315.

［6］ 趙冠華.n-李代數(shù)的擴張及其性質(zhì)［J］.貴州師范大學學報：自然科學版，2007，25（4）：76-77.

［7］ 趙冠華，劉潔.n-李代數(shù)的同構(gòu)和擴張［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2006，24（2）：101-103.

［8］ 趙冠華.n-李代數(shù)導子和自同構(gòu)群［J］.河北師范大學學報：自然科學版，2004，28（2）：127-129.

［9］ 白瑞蒲，孟道驥.兩類冪零的n-Lie代數(shù)［J］.數(shù)學學報，2005，48（5）：909-918.

［10］ 白瑞蒲，張知學，李華君，等.n＋1維n-Lie代數(shù)的導子代數(shù)［J］.數(shù)學進展，2003，32（5）：553-559.

［11］ BAI RUIPU，ZHANG ZHIXUE.The inner derivation algebras of（n＋1）-dimensionaln-Lie algebras［J］.Comm in Algebra，2000，28（6）：2927-2934.

［12］ 白瑞蒲，姚玉平.關(guān)于n-Lie代數(shù)的一些結(jié)果［J］.河北大學學報：自然科學版，2002，22（2）：105-108.

［13］ BAI RUIPU，MENG DAOJI.Simplen-ary Lie algebras［J］.Hadronic Journal，2002，25（6）：713-724.

［14］ BAI RUIPU，MENG DAOJI.The centroid ofn-Lie algebras［J］.Algebras Groups and Geometries，2004，12（1）：98-132.

［15］ BAI RUIPU，MENGDAOJI.The strong semi-simplen-Lie algebras［J］.Comm in Algebras，2003，31（11）：5331-5341.

［16］ 白瑞蒲，張艷艷，孟道驥.n-李代數(shù)的中心擴張［J］.數(shù)學年刊：A輯，2006，27（4）：491-502.

［17］ 劉秀娟，徐曉寧，陳良云.限制李三系的若干性質(zhì)［J］.東北師大學報：自然科學版，2009，41（2）：7-12.

［18］ 吳晗，任麗，張永正.環(huán)上（p，q）型Lorentz李代數(shù)的 Killing型與理想［J］.東北師大學報：自然科學版，2010，42（1）：1-4.

Automorphisms and derivations’lifting ofn-Lie algebras

WANG Ying1，WANG Yong-xi2，WANG Song1，ZHANG Qing-cheng1
（1.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；
2.School of Sciences，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

In this paper，the uce functor is constructed ofn-Lie algebras and is defined the multiplication on it，and is given the lifting condition of automorphisms and derivations is that then-Lie algebra is complete，such consequence makes expansion theory of then-Lie algebras perfect.

n-Lie algebras；automorphism；derivation

O 152.5

110·21

A

1000-1832（2011）04-0013-07

2010-11-15

國家自然科學基金資助項目（10871057）；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目.

王瑩（1987—），女，碩士研究生，主要從事李代數(shù)研究；通訊作者：張慶成（1960—），男，博士，副教授，主要從事李代數(shù)研究.

陶 理）