Boussinesq型方程初值問題局部解的存在性和整體解的不存在性

侯長順，程 煒

(河南工業(yè)大學理學院，河南鄭州 450052)

Boussinesq型方程初值問題局部解的存在性和整體解的不存在性

侯長順，程 煒

(河南工業(yè)大學理學院，河南鄭州 450052)

討論了一類Boussinesq型方程ut+ux=σ(u)x+f(x，t)的Cauchy問題，利用Fourier變換和壓縮映射原理證明了局部廣義解和古典解的存在唯一性，并證明了整體廣義解在半范數(shù)意義下的不存在性.

Boussinesq型方程;Cauchy問題;局部解;整體解

0 引言

有多種方法得到了Boussinesq型方程utt+uxxxx=σ(u)xx的精確孤立子解，對于它們的初邊值問題或初值問題，最近也有一些結(jié)果［1］.文獻［1］重點研究了方程的初邊值問題，在假設f∈H1(［0，T］;L2［0，1］)且f(0，t)=f(1，t)=0和σ∈R3，σ'(s)下有界，σ?(s)滿足局部Lipschitz條件且σ″(0)=0的情況下，證明了整體廣義解u∈C(［0，+∞);H4［0，1］)∩C1(［0，+∞);H2［0，1］)∩C2(［0，+∞);L2［0，1］)的存在唯一性，并給出了解爆破的充分條件.該問題的物理意義詳見文獻［1］所引的文獻.而對該方程的初值問題的研究尚未見到，本文在上述文獻的基礎上，研究(1)，(2)的初值問題:其中u(x，t)是未知函數(shù)，σ(s)是給定的非線性函數(shù)，f(x，t)為給定的函數(shù)，φ(x)，ψ(x)是已知的初始函數(shù)，下標x和t分別表示對x和t的導數(shù).本文采用以下記號和概念，記Lp為通常的R上所有p次可積函數(shù)組成的空間，并賦予范數(shù)‖f‖p=‖f‖Lp(1≤p≤∞)，特別地，‖f‖=‖f‖L2;記Hs是通常的R上的Sobolev空間，具有范數(shù)‖u‖Hs=‖(1+)‖，表示其相應的齊次空間，具有半范數(shù)=，其中s∈R，I是單位算子，u^(ξ，t)是u(x，t)關(guān)于x的Fourier變換.

1 預備知識

引理1設f∈C［s］+1(R)，f(0)=0，s≥1，則對于u∈Hs，有‖f(u)‖Hs≤C1(‖u‖∞)，其中C1(‖u‖∞)是與‖u‖∞有關(guān)的常數(shù).

引理2［2］設f∈C［s］+1(R)，s≥1.若u，v∈Hs，則‖f(u)－f(v)‖Hs≤C2(‖u‖∞)‖u－v‖Hs，其中C2(‖u‖∞)為依賴于‖u‖∞的常數(shù).

2 問題(1)，(2)的局部解的存在唯一性

首先考慮線性問題

由(6)、(9)可知(5)式成立，引理得證.

假定σ(0)=0，若不然，用σ(u)－σ(0)代替σ(u).定義S是把w映到方程(10)的唯一解的映射.下面證明對適當選擇的M和T，映射S在X(M，T)中有唯一的不動點.

引理4設s≥1，φ∈Hs，ψ∈Hs和σ∈C［s］+2(R)，σ(0)=0，f∈L∞(0，T;Hs－2)，則對充分大的M和充分小的T，S映射X(M，T)到X(M，T).

證明對M，T＞0和w∈X(M，T)，由引理3得

引理5假設引理4的條件成立，則當M充分大和T相對于M充分小時，S映X(M，T)到X(M，T)是嚴格壓縮的.

證明對M，T＞0和w1，w2∈X(M，T)，記u1=Sw1，u2=Sw2，w=w1－w2，U=u1－u2，顯然U滿足如下的初值問題t

由Sobolev嵌入定理和引理2，得

由壓縮映射原理及解的延拓性定理，易得下面定理成立.

定理1設s≥1，φ∈Hs，ψ∈Hs，σ∈C［s］+2(R)，σ(0)=0和f∈L∞(0，T;Hs－2)，則問題(1)，(2)有唯一的局部廣義解u(x，t)∈C(［0，T0);Hs(R))，其中［0，T0)是最大時間區(qū)間.

注1設u(x，t)∈C(［0，T0);Hs(R))是初值問題(1)，(2)的局部廣義解，若f∈C1(0，T;Hs－2)且s＞9/2，則u(x，t)∈C(［0，T0);C4(R))是問題(1)，(2)的局部古典解.

3 問題(1)，(2)整體解的不存在性

文獻［3］、［4］證明了Boussinesq-type方程utt+uxxxx=σ(u)xx的局部解u(x，t)∈H1∩H·－1的存在性，下面利用凸性原理證明該方程整體解的不存在性.

定理2假定引理7的條件成立.如果對?s∈R，sσ(s)≤(4+8λ)ρ(s)，λ＞0且λ是常數(shù)，則下列條件之一成立時，問題(1)，(2)的整體解u(x，t)不存在，

如果E(0)＞0，利用類似于文獻［6］所采用的變換，可證明定理2的(3).

［1］ CHEN Guowang，YANG Zhijian.Existence and nonexistence of global solutions for a class of non-linear wave equation［J］.Mathematical Methods in Applied Sciences，2000，23(2):615－631.

［2］ WANG Shubin，CHEN Guowang.Cauchy problem of the generalized double dispersion equation［J］.Nonlinear Analysis TMA，2006，64(1):159－173.

［3］ GUO Boling，MIAO Changxing.On inhomogeneous GBBM equation［J］.J Partial Differential Equation，1995，8(3):193－204.

［4］ VARLAMOV V.Existence and uniqueness of a local solution to the Cauchy problem for the Boussinesq equation［J］.Mathematical Methods in Applied Science，1996，19(8):639－649.

［5］ LIU Yachen，XU Runzhang.Global Wk，p(k≥3，1＜p＜∞)solution of semilinear pseudoparablic equation［J］.Journal of Harbin Engineering Univeisity，2005，26(2):277－279.

［6］ 王艷萍，郭伯靈.一類廣義Boussinesq型方程Cauchy問題［J］.數(shù)學年刊，2008，29A(2):185－194.

Existence of Local Solution and Nonexistence of Global Generalized Solution for Cauchy Problem of Boussinesq-Type Equations

HOU Chang-shun，CHENG Wei

(College of Science，Henan University of Technology，Zhengzhou450052，China)

Cauchy problem of a class of Boussinesq-type equationsutt+uxxxx=σ(u)xx+f(x，t)is discussed.The existence and uniqueness of local generalized solution and classical solution are proved by Fourier transform and the contraction mapping principle.The nonexistence of global solution is proved in the meaning of semi-norm.

Boussinesq-type equations;Cauchy problem;local solution;global solution

O175.2

A

1007－0834(2011)04－0006－04

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.04.003

2011－09－02

河南省教育廳自然科學研究基金(2009B110007);河南工業(yè)大學校基金(10XPT002)

侯長順(1980—)，男，河南平頂山人，河南工業(yè)大學理學院講師.