盧 曦,施維成
(1.江蘇技術(shù)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院,江蘇常州 213001;2.常州工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院,江蘇常州 213002)
矩陣中極小極大問題的研究綜述
盧 曦1,施維成2
(1.江蘇技術(shù)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院,江蘇常州 213001;2.常州工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院,江蘇常州 213002)
在經(jīng)典的Courant-Fisher定理基礎(chǔ)上,對不同類型矩陣中的極小極大問題的研究成果作了綜述,包括Hermite矩陣、復(fù)對稱矩陣、復(fù)正規(guī)矩陣中的極小極大問題,為該類問題的進(jìn)一步研究打下了基礎(chǔ).
Courant-Fisher定理;特征值;極小極大;奇異值
在矩陣?yán)碚撝?,Hermite矩陣的極小極大問題占有十分重要的地位,在概率論、控制優(yōu)化,經(jīng)濟(jì)管理等諸多領(lǐng)域都得到了重要應(yīng)用.本文分三部分總結(jié)了該問題:①Hermite矩陣中經(jīng)典的Courant-Fisher定理,奇異值的極小極大問題和實對稱矩陣中廣義特征值的極小極大問題,并且推導(dǎo)出了一個結(jié)論;②一般復(fù)對稱矩陣中的極小極大問題;③推廣了Courant-Fisher定理,解決了復(fù)正規(guī)矩陣中的極小極大問題.
定理1[1](Courant-Fisher定理)設(shè)A∈Mn是具有特征值λ1≤λ2≤…≤λn的Hermite矩陣,k是給定的整數(shù),1≤k≤n,那么
定理2[1]設(shè)A∈Mm,n,m≥n,設(shè)σ1≥σ2≥…≥σn≥0是A的有序奇異值,又設(shè)k是適合1≤k≤n的某個整數(shù),則
定理3[2]設(shè)A,B為實對稱矩陣且B正定,將A相對于B的廣義特征值(都是實數(shù))按大小順序排列為λ1≤λ2≤…≤λn,Vk是Rn的任意k維子空間,1≤k≤n,則
定理4以及復(fù)正規(guī)矩陣中的極小極大問題為筆者研究成果.
定理4設(shè)A∈Mn,令A(yù)的特征值為λj(j=1,2,…,n),且有λ1≤λ2≤…≤λn,若A滿足AAH=A2,k是給定的整數(shù),1≤k≤n,那么
證明設(shè)A∈Mn,滿足AAH=A2,因(AAH)H=AAH,則可以知道AAH為Hermite矩陣.由對角化定理知,存在復(fù)數(shù)域上酉矩陣U,滿足U-1=U-T=UH,使得
其中γ1,γ2,…,γn為AAH的特征值(皆為實數(shù)).又且
先證BH=B.下面分兩種情況:
故B1可逆.
再由(4)式可知B2=0,代入(3)式,則
兩邊同乘以,則可以得到1,即
綜合情況(1)和(2)可得BH=B.又A=UBUH,且U是酉陣,立得AH=A.
可知此時A為Hermite矩陣,可參照Courant-Fisher定理證得結(jié)論,詳見文獻(xiàn)[1].
文獻(xiàn)[3]對復(fù)對稱矩陣中的極小極大問題進(jìn)行了深入的研究,得出了一系列結(jié)論,包括定理5、定理6,以及推論1和推論2.
定理6設(shè)T是n×n復(fù)對稱矩陣,T的奇異值按遞減順序排列為σ1≥σ2≥…≥σn≥0,若數(shù)k滿足0≤k<n,那么
筆者在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[4~6]的基礎(chǔ)上解決了復(fù)正規(guī)矩陣的極小極大問題.
定理7若A為n×n復(fù)正規(guī)矩陣,λj為A的特征值,λj=aj+ibj,j=1,2,…,n,且a1≤a2≤…≤an,k是給定的整數(shù),1≤k≤n,那么
證明先證(5)式.存在酉矩陣U,使得
令y=UHx,于是
因此,如果任意給定w1,w2,…,wk-1∈Cn可得
這說明對任意k-1個向量w1,w2,…,wk-1,
為使等式成立,對向量wi作如下選取,記U=[u1,u2,…,un],令wi=ui(i=1,2,…,k-1),此時UHw1=(1,0,0,…,0)T= e1,UHw2=(0,1,0,…,0)T=e2,…,UHwk-1=ek-1,
結(jié)合(7),(8)兩式可得
又極值可以達(dá)到,故可以用max和min分別代替sup和inf,
同理可證(6)式.
具體證明類似于定理3.1的證明.
定理8A∈Mn,A=H(A)+iK(A),且H(A)K(A)=K(A)H(A),λj(j=1,2,…,n)為A的特征值,且Re λ1≤Re λ2≤…≤Re λn,則
具體證明類似于定理3.1的證明.
推論4A∈Mn,A=H(A)+iK(A),且H(A)K(A)=K(A)H(A),λj(j=1,2,…,n)為A的特征值,且Im λj1≤Im λj2≤…≤Im λjn,則
具體證明類似于定理3.1的證明.
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LU Xi1,SHI Wei-cheng2
Review of Minimax Problems for Matrices
(1.School of Mathematics and Physics,Jiangsu Teachers University of Technology,Changzhou213001,China; 2.School of Civil Engineering and Architecture,Changzhou Institute of Technology,Changzhou213002,China)
On the basis of classic Courant-Fisher theorem,summarizes researching results of minimax problems of different types of matrices,including Hermite matrix,complex symmetric matrix,complex normal matrix.Lays foundations for further study of this issue.
Courant-Fisher theorem;eigenvalue;minimax;singular value
O151.21
A
1007-0834(2011)04-0025-04
10.3969/j.issn.1007-0834.2011.04.009
2011-09-13
河海大學(xué)巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室開放基金項目(GH200904);常州工學(xué)院校級科研基金項目(YN1012)
盧 曦(1982—),女,江蘇常州人,江蘇技術(shù)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院教師.