論連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性

田立平，陳昌

(北京物資學(xué)院信息學(xué)院，北京 101149)

論連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性

田立平，陳昌

(北京物資學(xué)院信息學(xué)院，北京 101149)

給出了在不同區(qū)間具有不同性質(zhì)的連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)的充分條件或充要條件.

連續(xù)函數(shù);一致連續(xù)函數(shù);充分條件;充要條件;單調(diào)性

函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性是指它在區(qū)間內(nèi)的每一點都連續(xù)，是一個局部概念，而函數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)是一個整體性質(zhì)，反映的是函數(shù)在區(qū)間上更強的連續(xù)性［1］.關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)問題的理解與應(yīng)用不僅是一個重點而且是一個難點［2］.本文就有限和無限開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、具有單調(diào)性的連續(xù)函數(shù)、可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)、具有漸進性質(zhì)的連續(xù)函數(shù)以及具有周期性質(zhì)的連續(xù)函數(shù)給出一致連續(xù)的充分條件或充要條件.

1 有限開區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性條件

連續(xù)函數(shù)與一致連續(xù)函數(shù)在概念上的主要區(qū)別在于，連續(xù)函數(shù)定義中存在的δ與區(qū)間中不同的點有關(guān)，亦即不同點處的δ是不同的，由于區(qū)間中點的稠密性，一般無法找出一個滿足所有點處要求的公共的δ，這也正是連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)的原因.而一致連續(xù)概念中存在的δ是公用的，與不同的點沒有關(guān)系，因而是整體性質(zhì).因而證明或判斷是否一致連續(xù)關(guān)鍵看是否能夠找到共同的又與不同點沒有關(guān)系的δ.著名的Cantor定理，即函數(shù)f(x)在[a，b]上一致連續(xù)的充分必要條件是f(x)在[a，b]上連續(xù).其中一種典型的證明方法就是用有限覆蓋定理.實質(zhì)就是每一個開覆蓋對應(yīng)一個δi，而從有限個開覆蓋即從有限個δi中是能夠選出一個公共的δ的.我們在有限開區(qū)間上所給出連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性條件就是基于如此的考慮.具體思路為，在有限開區(qū)間的一個端點處給出極限值這一條件就蘊含著存在一個δ1，在另一端再給出極限值這一條件，就蘊含著存在另一個δ2，而由于在內(nèi)閉區(qū)間上一致連續(xù)，存在一個公用δ3，這樣在有限的δi中再找一個公用的δ就可以了.下面給出結(jié)論及其具體證明.

2 無限開區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性條件

推論4f(x)在(a，+∞)上一致連續(xù)的充分條件是f(x)在(a，+∞)上連續(xù)且f(a+)和f(+∞)都存在.

推論5f(x)在(－∞，b)上一致連續(xù)的充分條件是f(x)在(－∞，b)上連續(xù)且f(b－)和f(－∞)都存在.

3 具有漸進性質(zhì)的連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性條件

4 具有單調(diào)性質(zhì)的連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性條件

結(jié)論4若函數(shù)f(x)在有限或無窮區(qū)間(a，b)連續(xù)、單調(diào)、有界，則函數(shù)f(x)在(a，b)上一致連續(xù).

證明1)設(shè)函數(shù)f(x)在有限區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，又因為f(x)在(a，b)上有界，所以，函數(shù)f(x)在a處存在左極限f(a+0)，同時在b處存在右極限f(b+0).再由前面討論知，f(x)在(a，b)上一致連續(xù).

2)a為有限數(shù)，b=+∞，此時令

由此知f(x)在(－∞，+∞)上一致連續(xù).

5 具有可導(dǎo)性質(zhì)的連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性條件

結(jié)論5f(x)在X上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)f(x)在區(qū)間X上連續(xù)，且滿足f'(x)在X上有界.

6 具有周期性質(zhì)的連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性條件

結(jié)論6連續(xù)的周期函數(shù)一定一致連續(xù).

7 具有確界或振幅性質(zhì)的連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性條件

8 一般函數(shù)的一致連續(xù)性條件

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2005.

［2］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法［M］.2版.北京:高等教育出版社，2006.

On Uniform Continuity of Continuous Function

TIAN Li-ping，CHEN Chang

(School of Information，Beijing Wuzi University，Beijing 101149，China)

Gives sufficient conditions or necessary and sufficient conditions of uniform continuity of continuous functions with different properties in different intervals.

continuous function;uniform continuous function;sufficient conditions;necessary and sufficient conditions;monotonicity

O174

A

1007－0834(2011)03－0001－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.03.001

2010－09－17

北京市優(yōu)秀教學(xué)團隊——“數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)系列課程教學(xué)團隊”項目(PHR200907230);北京市教改課題“大學(xué)數(shù)學(xué)套餐制教學(xué)模式探索與研究”

田立平(1963—)，男，河北樂亭人，北京物資學(xué)院信息學(xué)院教授，主要研究方向:數(shù)學(xué)物理方程反問題和模型分析及參數(shù)估計方法在信息系統(tǒng)中的應(yīng)用.