一類廣義Vandermonde矩陣的求逆問題＊

劉思洪

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

一類廣義Vandermonde矩陣的求逆問題＊

劉思洪

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

Vandermonde矩陣是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)重要的矩陣類型，它的許多廣義形式在處理矩陣問題時(shí)能起到關(guān)鍵的作用．當(dāng)子塊Di的階數(shù)li比較大時(shí)，利用分塊矩陣法給出了一類廣義Vandermonde矩陣D的求逆方法及其逆矩陣的分塊結(jié)構(gòu)表達(dá)式．

廣義Vandermonde矩陣；分塊矩陣；逆矩陣

MSC 2000：32A30 32 H02

0 引言

Vandermonde矩陣是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)重要的矩陣類型，它有著許多相關(guān)的廣義形式，諸如Cauchy－Vandermonde矩陣、合流-Vandermonde矩陣等［1，2］，在處理一類矩陣問題以及線性方程組等相關(guān)問題上都涉及到 廣義Vandermonde矩陣的求逆，因而弄清該類廣義Vandermonde矩陣的逆矩陣的結(jié)構(gòu)表達(dá)式是非常有必要的．對(duì)于廣義Vandermonde矩陣求逆一般是采用構(gòu)造插值多項(xiàng)式建立遞推關(guān)系，然而當(dāng)子塊Di的階數(shù)比較大時(shí)，求逆的遞推關(guān)系不易建立．本文利用分塊矩陣的辦法給出了一類特殊的廣義Vandemonde矩陣的求逆方法及其逆矩陣的分塊形式．

1 相關(guān)概念

定義1 設(shè)n階方陣D＝［D1，D2，…，Dk］，其中1≤k≤n，

為n×li矩陣，λi為復(fù)數(shù)，li為自然數(shù)且當(dāng)p＜q時(shí)，規(guī)定0．矩陣D稱為n階廣義Vandermonde矩陣，Di稱為D的li階Vandermonde子塊，i＝1，2，…，k．

特別地，當(dāng)k＝n，li＝1（i＝1，2，…，k）時(shí)，D也稱為n階Vandermonde矩陣，記為D0，它可以表示為一個(gè)n階置換矩陣與常規(guī)n階Vandermonde矩陣的乘積，并且容易得到n階廣義Vandermonde矩陣D非奇異［1］．

定義2 對(duì)任意自然數(shù)n，形如互不相等時(shí)，

的n階矩陣稱為關(guān)于λ的n階完全廣義Vandermonde矩陣，記為Tn（λ）．

定義3［1］設(shè)A∈Cm×n，如果存在B∈Cn×m使得BA＝En，則稱A是左可逆的，其中Cm×n表示復(fù)數(shù)域C上所有m×n矩陣構(gòu)成的集合，En表示n階單位矩陣，并稱B為A的一個(gè)左逆．A的左逆一般不惟一，記

命題1［1］設(shè)A∈Cm×n，則A是左可逆 ?m≥n且rank（A）＝n，即A是列滿秩的．

命題2［1］設(shè)A∈Cm×n是左可逆的，A的相抵標(biāo)準(zhǔn)形為其中P為m階可逆方陣，那么，其中F可以是任意n×（m－n）矩陣．

2 主要結(jié)論

對(duì)于n階廣義Vandermonde矩陣D的li階Vandermonde子塊Di，將Di作分塊的自然分塊，其中，稱為Di

于是可得：

定理1 關(guān)于λ的n階完全廣義Vandermonde矩陣Tn（λ）非奇異，并且可表示為如下形式：其中

證明 對(duì)于任意自然數(shù)m，作m次多項(xiàng)式

它的前n－li－m個(gè)分量為0，1≤m≤n－li；Yi的（t，s）元為顯然矩陣［Xi，Yi］正好是關(guān)于其第一行元素的左平移矩陣，即［Xi，Yi］的結(jié)構(gòu)完全是由［Xi，Yi］的第一行確定的，而［Xi，Yi］的第一行的后面li＋1個(gè)分量正好可由多項(xiàng)式的系數(shù)確定．

定理2 矩陣Zi，Ti，Xi，Yi，i＝1，2，…，k滿足：

（i）（n－li）階方陣Xi是非奇異的，且Xi的逆矩陣可表示為如下形式：

證畢．

由上述定理3可知，只要將滿足（ii）、（iii）條件的Bi求出，那么就可以得到Qi，從而就可以求出D－1．為此，以MiNj為子塊作矩陣

以LiNj為子塊作矩陣

其中Ai、Ci分別是n－li階方陣及l(fā)i×（n－li）矩陣，i＝1，2，…，k．

定理4 （n－li）階方陣Ai是非奇異的，并且Bi＝－，i＝1，2，…，k．

證明 由于

故R（Ai）≤R（Mi）；另一方面，令

由于Ti（i＝1，2，…，k）都是非奇異的，故準(zhǔn)對(duì)角矩陣Ri也是非奇異的，但Ai是非奇異，故n－li階方陣Ki非奇異．

證畢．

注 在實(shí)際計(jì)算Bi的過程中，應(yīng)用推論2要比定理4方便些．

［1］陳景良，陳向暉．特殊矩陣［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2000：162～167，462～482．

［2］徐仲．范德蒙矩陣類的快速算法［M］．西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1997：26～32．

MSC 2000：32A30 32H02

The Inverse Problem of Generalized Vandermonde Matrix

LIU Si-hong
（School of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

The Vandermonde matrix is an important type of matrix in matrix theory，and many of its generalized forms are playing a key role in processing matrix problems．This paper provides the method of inverse of generalized Vandermonde matrix D and the block structure expression of its inversed matrix by using block matrices when the order number liof block matrix Diis comparatively large．

generalized Vandermonde matrix；block matrix；inversed matrix

O175．14

A

1009-1734（2011）02-0005-07

2011-03-07

劉思洪，講師，從事算子理論研究．