變步長自適應濾波算法的諧波檢測

劉宏洋

(黑龍江科技學院 電氣與信息工程學院,哈爾濱 150027)

變步長自適應濾波算法的諧波檢測

劉宏洋

(黑龍江科技學院 電氣與信息工程學院,哈爾濱 150027)

為提高自適應濾波算法的收斂速度,并降低其穩(wěn)態(tài)誤差,建立了LMS算法理論最優(yōu)步長值與誤差信號和輸入信號之間的關系,提出了一種新的變步長LMS自適應諧波檢測算法。該算法的優(yōu)點是:根據(jù)誤差信號的平方時間均值估計來調(diào)節(jié)步長因子,克服了以往算法在自適應穩(wěn)態(tài)階段步長調(diào)整過程中的不足。即使待檢測信號的信噪比較低,檢測過程也具有較快的動態(tài)響應速度和保持較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。計算機仿真表明,該算法具有更好的收斂精度。

自適應濾波;LMS算法;變步長;最優(yōu)步長

0 引 言

近年來,大量非線性元件的應用使得電網(wǎng)諧波污染問題日趨突出,嚴重威脅著電網(wǎng)的電能質量和用戶設備的安全運行,因此有必要對諧波進行消除與抑制,從而提高電能質量。

為了消除與抑制諧波,首先對諧波進行檢測。傳統(tǒng)的固定步長LMS算法的缺點是收斂速度慢,它克服不了收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的固有矛盾。為了解決這一問題,人們提出了各種各樣的變步長LMS自適應濾波算法[1-5]。這些算法的指導思想是:在初始收斂階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時,步長應比較大,這使得算法有較快的收斂速度或對時變系統(tǒng)的跟蹤速度,然后隨著收斂的加深而逐漸減小步長來減小穩(wěn)態(tài)誤差。文獻[6]認為收斂速度、穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲、計算復雜度以及抗噪性能是衡量一種LMS算法優(yōu)劣的四個重要因素。一種好的 LMS算法應該具有好的抗噪性能,即在算法收斂以后,不管主輸入端的干擾噪聲v(n)有多大都應保持很小的調(diào)整步長以達到很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。文獻[4]嘗試將文獻[7-9]提出的算法應用到有源濾波器 (APF)中,發(fā)現(xiàn)這些算法沒有改善諧波檢測的性能,穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲較大。其原因是直接將自適應過程提供的某種回饋量作為標準來調(diào)節(jié)步長,即步長更新標準直接來自受噪聲v(n)污染的瞬時誤差,而不是實際跟蹤誤差信號。

在隨機信號處理中常利用某種回饋量的相干平均來進行強噪聲背景下弱信號的提取。根據(jù)該原理,筆者提出的變步長LMS算法以誤差信號的平方時間相干平均估計和輸入信號來調(diào)節(jié)步長,這樣就會使得在噪聲較大和諧波快速變化的情況下,諧波檢測過程具有較高的收斂精度和較快的響應速度。

1 基于LMS算法的諧波檢測

自適應濾波器的原理如圖 1所示,由圖 1得到其迭代公式為:

其中,X(n)和W(n)分別表示時刻n的輸入信號矢量和自適應濾波器的權系數(shù),d(n)為期望響應, e(n)是誤差信號,μ是控制穩(wěn)定性與收斂速度的步長因子。

圖1 自適應濾波器原理Fig.1 Sketch of adaptive filter

2 最優(yōu)步長分析

2.1 最優(yōu)步長

在進行LMS濾波器統(tǒng)計分析時,使用抽頭權值誤差向量比抽頭權值本身更加方便。抽頭權值定義為

其中,W0表示抽頭權向量的最優(yōu)維納解。

誤差信號可以寫成

其中,θ(n)表示額外誤差,θ(n)=UT(n)ε(n); v(n)是主輸入端的附加噪聲。

為了便于分析做以下假設:

(1)獨立性假設,即輸入信號U(n)與抽頭權值W(n)是統(tǒng)計獨立的,滿足

(2)參考輸入信號為零均值的高斯白噪聲。

(3)主輸入端的附加噪聲v(n)是零均值的高斯白噪聲,且滿足于:

下面求額外均方誤差Jex(n)。由式(3)可知

其中,R=E[U(n)UT(n)],為輸入信號自相關矩陣。

為了獲得理論最優(yōu)值,就需要使Jex(n)最小,式(4)對μ(n)求偏微分:

2.2 理論分析

在假設(2)和(3)的前提下,可得表達式:

式(11)是最優(yōu)步長的理論值。下面對這一最優(yōu)值進行分析。

(2)在算法收斂以后,在附加噪聲一定的前提下,式(11)的值只是隨著額外誤差的變化而變化,變化幅度很小。這樣就能保持較小的調(diào)整步長,從而有較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。

(3)在主輸入端,不可避免的會存在附加噪聲v(n)。由于這一噪聲的存在,就會引起失調(diào),且噪聲越大,失調(diào)越大。為了減少失調(diào),必須減小步長,式(11)滿足這一條件。

2.3 變步長算法

根據(jù)式(11)可構造一個新的變步長算法。令

其中,0<α<1,0<β<1是遺忘因子,用來控制過去信號對現(xiàn)在狀態(tài)的影響。

下面分析由式(12～14)組成的步長更新算法是最優(yōu)的。

其中,e0(n-1)為最優(yōu)維納濾波器產(chǎn)生的估計誤差,可認為它近似等于零。

將式(16)和(17)代入式(14)就可以得到式(11),故認為由式(12～14)構成的變步長算法是近似最優(yōu)的。

3 仿真研究

對畸變情況下的輸入電壓跟蹤效果進行分析。所有待分析信號均采用歸一化處理。

3.1 輸入信號

設輸入信號是周期為0.02 s的方波電壓,采樣頻率為 5 000 Hz。圖 2顯示了文中算法和固定步長LMS算法在輸入為方波時對基波的提取能力。從圖2中可以看出,在初始時刻,文中算法的收斂速度明顯快于固定步長LMS算法,當算法收斂以后,文中算法的誤差絕對值明顯小于固定步長LMS算法。

圖 3是步長變化曲線,在初始時刻,為了迅速跟蹤輸入信號,步長較大。隨著迭代次數(shù)的增加,誤差減小,步長也減小。這樣就能獲得較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。

3.2 幅值和相角突變信號

在基波檢測時信號的采樣率為fs=5 000 Hz,在諧波跟蹤時信號的采樣率為fs=20 000 Hz?；l率為f0=50 Hz,ω0=2πf0,t1=(1:1 000)/fs,t2=(1 001:2 000)/fs。

圖 4是文中算法與固定步長算法對于幅值與相角發(fā)生突變的信號的基波跟蹤效果。從圖 4中可以看出,文中算法在初始時刻跟蹤速度上明顯快于固定步長LMS算法。在算法收斂以后,誤差的絕對值比定步長算法小一個數(shù)量級。在系統(tǒng)受到外界干擾時,能迅速跟蹤信號,具有較好的魯棒性。

圖4 采用LM S算法的基波跟蹤效果Fig.4 Fundamental track performance of LM S

對比圖 4a和 b可知,固定步長算法在初始時刻和信號發(fā)生突變時跟蹤過程較長,主要原因是定步長LMS算法收斂速度較慢。在算法收斂之后,誤差明顯大于文中算法。這是因為此算法在收斂以后,步長變化較小,收斂精度較高,具有較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。

3.3 白噪聲

自適應濾波器在工作中,主輸入端不可避免的存在干擾噪聲v(n),以前的研究者將自適應濾波器應用到APF中,仿真分析時沒有考慮v(n)的影響。圖 5是考慮干擾噪聲v(n)影響時,該文算法與固定步長LMS算法對基波的跟蹤能力。仿真條件為:信號的采樣率為fs=5 000 Hz,基波頻率為f0=50 Hz,輸入電壓信號混有的白噪聲的方差為σx=0.01,干擾噪聲v(n)的方差為σv=0.002 5。從圖 5中可知,該文算法在初始時刻能夠迅速跟蹤基波的變化,并且算法收斂以后,基波信號的誤差絕對值小于固定步長LMS算法。

圖5 采用LM S算法的基波跟蹤效果Fig.5 Fundamental track performance of LM S

4 結束語

在權值誤差方程的基礎上,通過對額外均方誤差方程求偏微分,得到了一種新的變步長LMS自適應算法。該算法根據(jù)誤差信號的平方時間均值估計和輸入信號來調(diào)節(jié)步長因子。仿真結果表明:該算法在初始時刻具有較快的收斂速度,算法收斂之后具有較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。在待檢測信號發(fā)生突變時,它能迅速跟蹤,具有較好的魯棒性和較快的動態(tài)響應速度。

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Har monic detection based on variable step size adaptive algorithm

L IU Hongyang
(College of Electric&Infor mation Engineering,Heilongjiang Institute of Science&Technology,Harbin 150027,China)

Aimed at increasing the convergent speed of adaptive filtering algorithm and reducing its steady-state error,this paper describes the development of the relation among theoretical opt imal value of step forLMS algorithm,error signal and input signal and proposes a novel variable step-size LMS algorithm for harmonic detection.This algorithm presents following advantages:performing step size adjustment using the estimation of square of the time-average of error signal makes it possible to eliminate the shortcomings due to the adjustmentof step size using conventional adaptive steady-state process;besides, the resultant detection demonstrate a faster dynamic response and less steady-state offset noise despite lower SNR of the signals to be detected.Some computer simulation shows that this algorithm has a better convergent precision.

adaptive filtering;LMS algorithm;variable step size;optimum step size

T M464

A

1671-0118(2011)02-0133-05

2011-03-04

劉宏洋(1979-),男,黑龍江省雞西人,講師,碩士,研究方向:電力電子與電力傳動,E-mail:lhy-124@yahoo.com.cn。

(編輯晁曉筠)