數(shù)學娛樂 (八)——易經(jīng)卦象的起源與考古發(fā)現(xiàn)的奇字

耿 濟

(海南大學,海南 ?？?570228)

數(shù)學娛樂 (八)
——易經(jīng)卦象的起源與考古發(fā)現(xiàn)的奇字

耿 濟

(海南大學,海南 ?？?570228)

考古發(fā)現(xiàn)的奇字是一個 6位數(shù),應用 6個數(shù)字對應的奇數(shù)或偶數(shù)預卜兇吉,奇字是易經(jīng)卦象的起源.

易經(jīng);卦象;考古;奇字

本文是數(shù)學娛樂系列文獻[1-7]的續(xù)作.

1 自然數(shù)在數(shù)卜法的應用

中國古代盛行陰陽學說,譬如天為陽,地為陰;《周易·系辭傳》中“天一,地二;天三,地四;天五,地六;天七,地八;天九,地十”.把自然數(shù)一分為二,奇數(shù) 1,3,5,7,9為陽,偶數(shù) 2,4,6,8,10為陰.由于人類對自然數(shù)的神秘崇拜,自然界的變化莫測以及社會關系紛繁復雜,遇事無法預知行動的后果,期望獲得神明的保佑和指引,于是產(chǎn)生了數(shù)卜法,應用自然數(shù)的奇數(shù)和偶數(shù)預卜兇吉、禍福、勝敗.數(shù)卜法有 2種,即數(shù)學上的 3位數(shù)與 6位數(shù)之分.因為社會的需要,數(shù)卜法長期存在,世代相傳,不斷地改進和發(fā)展.

20世紀中葉以前四川涼山彝族地區(qū)流行的“雷夫孜”法[8],這是 3位數(shù)的數(shù)卜法,用于判斷械斗 (“打冤家”)、婚喪、出行等事的勝敗吉兇.由彝族的一位巫師 (稱為“畢達”)主持進行,左手握有一束細竹或草桿之類,右手任意取去部分,然后確定左手余下的數(shù)目是奇數(shù)或偶數(shù),如此重復進行 3次,結果得到 3次數(shù)目的奇數(shù)或偶數(shù).有時巫師用一根木片,以小刀在木片上任意刻畫許多痕跡,然后把木片 3等分,依次記下每段刻痕的數(shù)目 (確定出每段數(shù)目的奇數(shù)或偶數(shù)),結果得出 3段數(shù)目的奇數(shù)或偶數(shù),最后巫師從相應的辭文中找出答案,作出解釋.以械斗為例,有 8個答案的辭文:

奇奇奇 非勝即敗,勝則大勝,敗則大敗 (中下).

奇奇偶 戰(zhàn)斗與否,無甚影響 (平).

奇偶奇 戰(zhàn)必勝,擄獲必多 (上上).

奇偶偶 戰(zhàn)必敗,損失大 (下下).

偶奇奇 戰(zhàn)斗不太順利 (下).

偶奇偶 戰(zhàn)斗無大不利 (中平).

偶偶奇 戰(zhàn)斗有勝的希望 (上).

偶偶偶 不分勝負 (中平).

“雷夫孜”法具有迷信色彩,但與八卦、數(shù)學都有關系.

與數(shù)學的關系:“雷夫孜”法每次出現(xiàn) (奇數(shù)或偶數(shù))有 2種可能,3次得出不同的排列是一個數(shù)學問題,問題有 2種解法,即枚舉法與排列組合法.

枚舉法得到下面的結果

共有 8種不同的排列.

排列組合法:第 1次有 2種可能,第 2次每種又有 2種可能,第 3次每種還有 2種可能,所以,第 1次為 2,第 2次為 2×2=4,第 3次為 2×2×2=8,共有 8種可能的排列.

2 奇字由來及其研究

1168年 (北宋重和元年)湖北孝感縣出土西周 6件青銅器 (即安卅六器),其中有 1件中方鼎的銘文,見《嘯堂集古錄》一書,復制如下:

釋文

佳十又三月庚寅,

佳臣尚中臣□□.

過去長篇銘文最后兩個古文字無法識別,也沒有引起重視,個別學者進行考釋.

宋代薛尚功《歷代鐘鼎彝器款》一書認為是“赫赫”兩字.

近代郭沫若《西周金文辭大系》一書考釋為:“末二奇字殆中之族徽”,他認為是“族徽”,這是古文字學上奇字的由來.

關于奇字的研究有 2次重大的突破.第 1次突破是 1957年唐蘭《在甲骨文中所見的一種已經(jīng)遺失的中國古代文字》一文,收集考古上發(fā)現(xiàn)的 13個奇字加以研究,發(fā)現(xiàn)這些奇字都是 6位數(shù)由 6個數(shù)字組成,認為是中國已經(jīng)遺失的古代文字,因此,西周中方鼎銘文最后 2個奇字分別為 786666和 876666;第 2次突破是 1980年張政烺《試釋周初青銅器銘文中的易卦》一文,指出奇字中的 6個數(shù)字都是筮數(shù),奇數(shù)為陽爻,偶數(shù)為陰爻,6個數(shù)字組成重卦的新觀點,因此,西周中方鼎銘文最后 2個奇數(shù)的重卦分別為和,前者屬于經(jīng)卦艮上坤下,別卦剝,后者屬于經(jīng)卦坎上坤下,別卦比,釋為遇剝之比.第 2次突破與 1978年 12月在東北召開的中國古文字研究會有關,當時陜西考古研究所徐錫臺在會上報告 1977年陜西岐山鳳雛村出土卜骨上發(fā)現(xiàn)的奇字,引起與會代表的興趣,次日中國社會科學院歷史研究所張政烺在會上認為周原甲骨上的奇字可能是與《易》中的 8卦有關,提出自己的新觀點,徐也同意這一觀點.1979年徐與樓宇棟合作發(fā)表《西周卦畫探源》一文,張、徐兩位分別進行認真的考證和深入的研究,各自獨立發(fā)表關于奇字的多篇文章,為原始畫卦符號的認讀奠定基礎,現(xiàn)在張政烺提出奇字新觀點已經(jīng)得到學術界的承認.

圖1 西周中方鼎銘文

由此可知,考古發(fā)現(xiàn)的奇字是一個 6位數(shù),利用 6個數(shù)字對應的奇數(shù)或偶數(shù),奇數(shù)為陽爻,偶數(shù)為陰爻,預卜兇吉、禍福、勝敗.奇字是原始的卦畫符號,也是易經(jīng)卦象的起源.

本節(jié)主要內容參考拙作《〈周易〉·奇字·神秘數(shù)學》[9]一文.

3 青墩遺址發(fā)現(xiàn)的奇字及其影響

青墩遺址在江蘇海安縣西北方向的沙崗青墩村,位于里下河南部,地勢低洼,四面環(huán)水,中間有一條自南向北的青墩新河.

青墩遺址發(fā)掘出土文物中除石器、玉器、骨器和陶器外,還有罕見的大量麋鹿角和骨骼亞化石標本總數(shù) 987件,其中 419件上發(fā)現(xiàn)加工痕跡,8件上刻有奇字,目前文獻中經(jīng)常引用的有 2件,其中 1件是麋鹿角,還有 1件是麋鹿骨骼上刻有如下的奇字:

引起了《易》學界的興趣和重視.

現(xiàn)在把青墩遺址發(fā)現(xiàn)奇字中的數(shù)字與甲骨文數(shù)學、金文數(shù)字對照如下:

由此便能認識青墩遺址的奇字,(甲)為 353364,(乙)為 623531,它們都是 6位數(shù).張政烺指出青墩遺址發(fā)現(xiàn)的奇字都是易卦符號,還指出“在易卦發(fā)展史上應屬早期形形,可以據(jù)此探尋易卦起源地點問題.”古書記載伏羲作八卦,伏羲東方人,似有吻合之處.1990年江蘇張家港舉辦我國東南濱海古文化學術討論會上,對易卦起源地點問題也發(fā)生興趣.徐錫臺對于上述青墩遺址發(fā)現(xiàn)的奇字作出解釋:甲,乃由三五三三六四等 6個奇偶數(shù)組合而成的重卦卦畫,將其變換為《易》中陰陽符合,成卦形,屬于經(jīng)卦乾上艮下,別卦遁.遁,亨,小利貞 (天山遁);乙,乃由六二三五三一等 6個奇偶數(shù)組合而成的重卦卦畫,將其變換為《易》中陰陽符合,成卦形,屬于經(jīng)卦震上乾下,別卦大壯.大壯利貞 (雷天大利).

以外,在 1987年濟南召開的國際《周易》學術討論會上,學者們對于青墩遺址發(fā)現(xiàn)的奇字也很重視,現(xiàn)舉 2例如下:

徐錫臺指出:“目前見到最早的數(shù)字卦畫,即江蘇海安縣青墩遺址出土新石器時代崧澤文化骨角、骨匕上刻有“,兩組重卦卦形,…”.[10]

周立開指出:“1978年江蘇海安縣崧澤文化青墩遺,出土了一批骨角器有鹿角枝,發(fā)現(xiàn)其上有數(shù)字刻為八個,其中一例為釋為三五三三六四,一例為釋為六二三五三一,這種刻文圖案,有可能是原始筮占的數(shù)字記錄.崧澤文化,據(jù)考證屬新石器時代晚期,其年代約為公元前4 000年與前 3 500年之間,就其使用的筮數(shù)來看,在筮占發(fā)展史上可能屬于早期形態(tài)”.[10]

本文主要內容參考拙作《青墩遺址發(fā)現(xiàn)的奇字及其對易學研究的影響》[10]一文.

4 從殷周到戰(zhàn)國發(fā)現(xiàn)的奇字

2004年孫振聲《易經(jīng)入門》一書“出版說明”提到“青墩遺址”出土的奇字外,還有“殷墟甲骨、周原甲骨、西周青銅器、湖北江陵天星觀楚簡上”都有奇字發(fā)現(xiàn),缺少說明,簡介如下:

4.1 殷墟甲骨的奇字1950年河南安陽殷墟四盤磨村出土一片卜骨,上面有 3個奇字,刻成了 3行,左行、右行與中行的文字互為倒刻的:

根據(jù)古書記載“神農(nóng)氏又名魁隗氏,又曰連山氏”(見《史記》),古書又有三易之說,即連山,歸藏和周易,其中以連山為最早,有的學者認為這片卜骨似與連山易有關,引起重視.

張政烺認為“我疑心這是‘連山’易的篇首”,他把左行和右行的兩個奇字,按照奇偶畫成卦爻,正好是乾坤離坎四卦搭配而成,由于連山易久佚,不知其卦義,試以《周易》說之,《易緯·乾鑿度》中“乾坤者,陰陽之根本,萬物之祖宗也.離為日,坎為月,日月之道陰陽之經(jīng).”

4.2 周原甲骨的奇字1977年陜西岐山鳳雛村周初宮殿的一個窖穴中出土 17 000多片甲骨,其中 9片卜骨上有奇字,完整的奇字有 878785(),766766(),766718(),768676()等,其余為殘缺的.

4.3 西周青銅器上的奇字已知西周青銅器銘文上有奇字的達 10件之多.前面介紹第 2節(jié)西周中方鼎銘文的 2個奇字.現(xiàn)在敘述 1991年臺灣《故宮文物》上張光遠《西周早期—召南》一文指出:西周召卣銘文中有倒書的奇字 618611處,還有召字.他的解釋本銘若改作卦圖,便成兌下坎上的‘水澤節(jié)卦’,卦象是水在湖澤上,若無節(jié)制即有泛濫之災.比擬于人,即示節(jié)儉為吉.”召指召公,是文武成康四朝元老,勛績彪炳.“召公鑄器,用卦為銘,益彰其賢.”

4.4 湖北江陵天星觀楚簡的奇字1978年湖北江陵天星觀戰(zhàn)國中期楚墓發(fā)現(xiàn)一批竹簡,上面有 16個奇字,在 8處竹簡上出現(xiàn),都是兩兩對應.例如 166666,666666;166666,166666;…等,僅有 1塊缺少 1個數(shù)字.這里 16個奇字中 95個數(shù)字的分布情況:數(shù)字 1有 37次,數(shù)字 6有 49次,數(shù)字 8有 5次,數(shù)字 9有 4次,其他數(shù)字都沒有出現(xiàn).

4.5 其他奇字考古上發(fā)現(xiàn)的奇字,除了前面提到的外,還有一些值得注意的奇字.例如 2006年濮茅左《楚竹書周易研究》一書提到淳化石橋鎮(zhèn)西周陶罐,該罐上有 11組奇字:111111,116881,188111,685618,811816,181611,116185,116111,111688,161111,611511.這 11組奇字中出現(xiàn)的數(shù)字 1字 41次,5字 3次,6字 10次,8字 12次,其余數(shù)字都沒有發(fā)現(xiàn).

5 奇字到卦象以及卦象在數(shù)學上的影響

考古發(fā)現(xiàn)的奇字,以青墩遺址出土的 2個奇字為最早,這 2個奇字中含有數(shù)字 2,3,4.殷周到戰(zhàn)國出土的奇字中不再出現(xiàn)數(shù)字 2,3,4,因為“由一至四為積畫”.容易產(chǎn)生錯誤,采用其他數(shù)字來代替,原則是奇數(shù)用奇數(shù)代替,偶數(shù)用偶數(shù)代替,因此奇字已趨向符號化.由于奇數(shù)中書寫最方便的是數(shù)字 1即,偶數(shù)中書寫最方便的最數(shù)字 6即或者數(shù)字 8即)(,為了書寫的方便起見,奇字中數(shù)字進一步趨向符號化.最后把奇字中所有奇數(shù)用數(shù)字 1代替,所有偶數(shù)用數(shù)字 6或者數(shù)字 8代替,奇字完成符號化后,奇數(shù)用陽爻表示,偶數(shù)用陰爻 表示,這樣產(chǎn)生易經(jīng)的卦象.因而,易經(jīng)陽爻 由數(shù)字 1演變而來,陰爻 由數(shù)字 6或 8演變而來.

易經(jīng)的卦象不同的排列是一個數(shù)學問題,正如前面計算 8卦的排列方法,有枚舉法和排列組合法得出 26=64或 8×8=64.

《易經(jīng)·變卦圖》(圖 2)是另一種枚舉法,現(xiàn)以 8卦為例,按照陰陽分為 4種情況:3陽之卦,,僅有 1卦;2陽 1陰之卦;共有 3卦;1陽 2陰之卦,,共有 3卦;3陰之卦,僅有1卦.各卦相加得到

圖2 變卦圖 (部分)

應用上述方法能夠得出組合恒等式

易經(jīng)的卦象在數(shù)學上有一定的影響,筆者認為可能與數(shù)學上的兩項研究和發(fā)現(xiàn)有關.

第 1項是二項式系數(shù)表的發(fā)現(xiàn)和組合恒等式的研究有關.遠在 11世紀 (北宋仁宋時代)數(shù)字家賈寭《釋鎖算書》中已有二項式系數(shù)表的記載,可惜該書現(xiàn)已失傳;1261年 (南宋時代)楊輝《詳解九章算法》引用“開方作法本原”(如圖 3所示).

圖3 二項式系數(shù)表簡圖

楊輝指出圖 3為“出釋鎖算書,賈寭用此術”.1303年 (元代)朱世傑《四元玉鑒》一書卷首稱圖 3為“古法七乘方圖”,獲得的結果用組合記號表示為

其中,n=1時稱為“茭草垛”,n=2時稱為落一形 (三角垛)”,n=3時稱為“撒星形 (三角落一形)”,n=4時稱為“撒星更落一形”,n=5時稱為“三角撒星更落一形”.后來 1665年法國 Pacal發(fā)表《算術三角論》一文,從此圖 3在歐洲流傳.

第 2項是與二進制算術發(fā)現(xiàn)有關,卦象的本身與二進制的記數(shù)法是無關的,但是卦象卻能啟發(fā)二進制的記數(shù)法.簡單地說卦象是用陽爻和陰爻組成,自然數(shù)有奇數(shù)和偶數(shù),用 1和 0不僅能表示所有的自然數(shù),還能表示所有的實數(shù),這就是二進制的記數(shù)法,由此產(chǎn)生了二進制的算術.

中國的 8卦和 64卦在清代順治年間已傳入歐洲,見 1658年意大利衛(wèi)匡國 (傳教士)著《中國上古史》一書.德國數(shù)學家Leibniz可能受到卦象的啟發(fā),在 1679年發(fā)表二進制的文章和 1703年發(fā)表二進制算術的論文,為二進制算術奠定基礎,這項重大的發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)代電子計算機獲得應用,為現(xiàn)代科技的發(fā)展作出貢獻.

總的說來,奇字來源于數(shù)學,奇字產(chǎn)生易經(jīng)中的卦象,卦象影響著數(shù)學.

[1]耿濟.數(shù)學娛樂 (一)——夫妻問題的新證與應用 [J].海南大學學報:自然科學版,2007,25(4):321-324.

[2]耿濟.數(shù)學娛樂 (二)——牙牌問題的新證與推廣 [J].海南大學學報:自然科學版,2008,26(3):206-219.

[3]耿濟.數(shù)學娛樂 (三)——洛書定理與應用[J].海南大學學報:自然科學版,2008,26(4):303-308.

[4]耿濟.數(shù)學娛樂 (四)——Nasik幻方的性質與構造法[J].海南大學學報:自然科學版,2009,27(2):107-115.

[5]耿濟.數(shù)學娛樂 (五)——推廣 Fibonacci數(shù)列與冪級和[J].海南大學學報:自然科學版,2009,27(4):313-319.

[6]耿濟.數(shù)學娛樂 (六)——移棋相間[J].海南大學學報:自然科學版,2010,28(1):1-10,14.

[7]耿濟.數(shù)學娛樂 (七)——一個麻將和牌問題[J].海南大學學報:自然科學版,2010,28(2):93-98.

[8]汪寧生.八卦起源[J].考古,1972(4):242-243.

[9]耿濟.《周易》·奇字·神秘數(shù)學[J].海南大學學報:社會科學版,1993(4):28-35.

[10]耿濟.青墩造址發(fā)現(xiàn)的奇字及其對易學研究的影響[J].江蘇地方志,2006(1):32-33.

Mathematical Recreation(Ⅷ)——The Origin ofDivinatory Sy mbols in ChangesBook and StrangeWordsArchaeologistsDiscovered

GENG Ji

(Hainan University,Haikou 570228,China)

The strange word archaeologists discovered is a six-figure numbers,which make 6 numbers to match odd numbers or even numbers and predict good or bad fortune.The strange word is the origin of divinatory symbol in ChangesBook.

ChangesBook;divinatory symbol;archaeology;strange word

O 1-0 < class="emphasis_bold">文獻標志碼:A

A

1004-1729(2011)02-0099-06

2011-02-15

耿濟 (1929-),男,江蘇鎮(zhèn)江人,海南大學退休數(shù)學教授.